人教A版高中數(shù)學(xué)必修1第一章集合與函數(shù)概念1.1集合導(dǎo)學(xué)案

1、設(shè)A是有限集，A中元素的個(gè)數(shù)稱(chēng)為集合A的元素?cái)?shù)，記為At特別，|=0,| |二1A J B子集和元素的區(qū)別 符號(hào)包含屬于A=B當(dāng)且僅當(dāng)AQB且BJA。(用于證明)是否存在集合A和B,使得A三B且AGB ?若存在，請(qǐng)舉一例設(shè)八二包 , B=a,a,b,c,則有：AwB 且 A£B再例如：翹且宜內(nèi)設(shè)A是集合，A的所有子集為元素做成的集合稱(chēng)為 A的富集，記以P(A)或2A。12A | =2n：'(A)=S|S - A例：A=a,b,c,則：(A戶 , a,b,c, a,b,a,c,b,c, a,b,c事集合仍然是集合。例.寫(xiě)出集合a, b的嘉集合：正確的寫(xiě)法：(A戶 ,a,b,a,

2、b錯(cuò)誤的寫(xiě)法：'(A)= ,a,b,a,b集合A 一共有Cn0 + Cn1 + Cnn個(gè)子集設(shè)C是一個(gè)集合。若C的元素都是集合，則稱(chēng)C為集合族。若集合族C可表示為C=SddD,則稱(chēng)D為集合族C的標(biāo)志(索引)集。設(shè)A, B是兩個(gè)集合。由屬于集合 A而不屬于集合B的所有元素組成的集合，稱(chēng)為 A 與B的差集，記以A-B ,或AB。設(shè)A, B是兩個(gè)集合。則 A與B的環(huán)和(對(duì)稱(chēng)差，記以AB,定義為 AB=(A- B) U (BA) A與B的對(duì)稱(chēng)差還有一個(gè)等價(jià)的定義，即A©B=(AU B>(A PB)。設(shè)A, B是兩個(gè)集合，則 A與B的環(huán)積定義為 A ® B = A份B1

3、.分配律 An (B u c)=(a n B) u (A n C),AU (B n C)=(A U B) n (A U C)。證明：An (B u c)=(a n B) u (A n C)先證 An (B UC) (APB) U (AHO) 任取 a CAP (B U C),則a S并且a C BUG由 aC BU 知，aCB 或 aC C。若 ae,則 a SPB;若 aW,則 asnc。因此，a 8 nB 或 aSPC,即 a qA PB) U(A PC) o再證(APB) U (A DXA 門(mén)(B UC)。任取 a (A n B) U (A n C),則 a C AH B或 a C AH

4、 C。若 a C AH B,則a C A 且 a C B ;若 a C AH C,則a C A 且 a C C?？傊?，aCA,且aCB或aCC,即 aCA且 aC BUC,亦即 aC AH (B U C) o綜上：(A n B) n (A n C)=An (b u c)。將(ai,a2，an)稱(chēng)為有序n元組，其中，ai是其第一個(gè)元素，a2是其第二個(gè)素，an是其第n個(gè)元素對(duì)于有序n元組，當(dāng)n=2時(shí)，將其稱(chēng)作有序?qū)?，也稱(chēng)作序偶，或有序二元組設(shè)A, B是兩個(gè)集合，所有有序?qū)?x, y)做成的集合(其中x三A, yEB),稱(chēng)為A, B 的笛卡兒積(直乘積)，記以AMB。不滿足交換律和結(jié)合律AxB=(x

5、 , y)XAH yB0方法1利用定義來(lái)證明集合的包含關(guān)系 要證明A三B,首先任取xwA,再演繹地證出xwB成立。特別，當(dāng)A是無(wú)限集時(shí)，因?yàn)椴荒軐?duì)x WA,逐一地證明xwB成立，所以證明時(shí)“黑任取的”就特別重要。方?t 2設(shè)法找到一個(gè)集合 T,滿足A=T且T=B,由包含關(guān)系的傳遞性有 A<=B.方法3利用A三B的等價(jià)定義，即AB=B,Acb=A或A-B=e來(lái)證.例.證明A匚C且BQC當(dāng)且僅當(dāng)A=B1C.證明:必要性.（A 一 B） 一 C=（A 一 B） 一 C 一 C=（A 一 C） 一（B _ C戶C _ C=C,所以 A B-C.充分性.A 3c =（A，jC）uB=（A <

6、jB）.C=C , C三A=C ,所以 AlC=C ,故 ACC.同理可證B工C.方法5反證法例.證明若AC用C且A-C±B-C ,則AB.證明：若不然，則有 xA且x正B.若xWC ,則x三ACC但x更BC,與ACQBCC矛盾；若xmC,則x三AC但x三B-C ,與A-C2B-C矛盾。因此，A B.證明集合相等的常用方法方法1若A, B是有限集，證明 A=B可通過(guò)逐一比較兩集合所有元素均一一 對(duì)應(yīng)相等，若A, B是無(wú)限集，通過(guò)證明集合包含關(guān)系的方法證A三B, B三A即可。方法2反證法方法3利用集合的基本算律以及已證明的集合等式，通過(guò)相等變換將待證明的 等式左（右）邊的集合化到右（左）邊的集合，或者兩邊同時(shí)相等變換到同一 集合。例設(shè)A, B, C是三個(gè)集合，已知 AcB=AcC, A=B=AuC,求證 B=C。用方法2 :使用反證法。假設(shè)Bw C,則必存在x,滿足x w B,且x走C,或者x更B,且x w C。不妨設(shè)x w B ,且x更C,若x w A,則x w AcB,但x圭AcC ,與AcB=AcC矛盾。若x更A,則x w A=B,但x更A=C,與A，jB=AlC矛盾。所以原假設(shè)不對(duì)，B=Co用方法3:利用已知以及集合運(yùn)