【KS5U解析】湖北省八校2020屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、華師一附中黃岡中學(xué)黃石二中荊州中學(xué)孝感高中襄陽四中襄陽五中鄂南高中2020屆高三八校第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】分別求出集合,根據(jù)交集定義即可得出結(jié)果.【詳解】，.故選:b.【點睛】本題考查集合的交集運算,屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則最大值為（ ）a. b. 2c. d. 3【答案】c【解析】【分析】令，,點a在以為圓心，的圓上,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)果.【詳解】，令，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，點a在以為圓心，

2、的圓上，.故選:c.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義在求復(fù)數(shù)模中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)依次判斷即可得出結(jié)果.【詳解】為增函數(shù),，為增函數(shù),，,即,，,.故選:a.【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)在比較大小中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.廣場上有一盞路燈掛在高9米的電線桿頂上，記電線桿的底部為a，把路燈看作一個點光源，身高1.5米的女孩站在離a點5米的點b處，女孩以5米為半徑繞著電線桿走一個圓圈，人影掃過的面積約是（取3.14）（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】設(shè),通過三角形相似,列出比例關(guān)系即可求得結(jié)果.

3、【詳解】設(shè)，根據(jù)題意得，解得，掃過的面積是.故選:c.【點睛】本題考查解三角形在實際問題中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的部分圖像大致為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性及特殊值代入即排除錯誤選項,得出結(jié)果.【詳解】，為奇函數(shù),排除選項d,因為,排除選項a, ,排除選項b,故選:c.【點睛】本題考查已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象問題,考查函數(shù)性質(zhì),及特殊值代入的排除法,屬于基礎(chǔ)題.6.2021年湖北省新高考將實行“3+1+2”模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生都準(zhǔn)備選物理與化

4、學(xué)，并且他們都對政治、地理、生物三科沒有偏好，則甲、乙、丙、丁4人中恰有2人選課相同的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】因為語文、數(shù)學(xué)、英語必選, 甲、乙、丙、丁4名學(xué)生都準(zhǔn)備選物理與化學(xué),即四人只需在政治、地理、生物,任選一門課程共有種方法,恰有兩人選課相同即為種方法,計算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意四人只需在政治、地理、生物,任選一門課程共有種方法,恰有兩人選課相同即為種方法,計算可得.故選:d.【點睛】本題考查排列組合在求古典概型概率中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7.已知點p為不等式所表示的可行域內(nèi)任意一點，點，o為坐標(biāo)原點，則的最大值為（ ）a. b. 1c. 2

5、d. 【答案】b【解析】【分析】作出不等式表示的平面區(qū)域, 令的夾角為,則,計算即可得出結(jié)果.【詳解】作出不等式表示的平面區(qū)域,如圖所示,令的夾角為,，結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化可得，可得最大值是1.故選:b.【點睛】本題主要考查不等式組表示的平面區(qū)域、目標(biāo)函數(shù)的最值，考查考生的作圖能力、分析問題的能力,屬于中檔題.8.已知雙曲線的左右焦點分別為，以線段為直徑的圓交雙曲線c的一條漸近線于點m（m在第一象限內(nèi)），若線段的中點n在雙曲線c的另一條漸近線上，且雙曲線c過點，雙曲線c的實軸長是（ ）a. 2b. 1c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意可知,可求得漸近線的傾斜角是，,計算即可得出結(jié)果.【詳解

6、】根據(jù)題意可知,設(shè),則,即,可得漸近線的傾斜角是，因此雙曲線方程，該曲線又過點，解得，所以實軸長為2.故選:a.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力,屬于中檔題.9.已知函數(shù)最大值為m，若存在實數(shù)m，n，使得對任意實數(shù)x總有成立，則的最小值為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】令,化簡可得,由題意可得，,計算即可得出結(jié)果.【詳解】令，由題意可知,，的最小值為.故選:b.【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡及正弦型函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.10.已知，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：若，則；若，則；“”是“”的充分不必要條件；命題“，”的否定是“，”

7、.其中正確的命題個數(shù)是（ ）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】c【解析】【分析】由直線和平面的關(guān)系,線面平行的判定定理可判斷命題的真假,由充分必要條件的定義可知命題的真假,由含有量詞的否定的表達(dá)形式可判斷命題的真假.【詳解】對于,由線面平行的判定定理可知正確; 對于若，則可以平行、相交、異面,故錯誤;對于“”可以得到“”,反之不可以,故“”是“”的充分不必要條件正確;對于命題“，”的否定是“，”.故錯誤.綜上正確.故選:c.【點睛】本題主要考查了命題以及充分與必要條件的判定,同時結(jié)合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理,三角函數(shù)值,及含有一個量詞的否定等知識進(jìn)行判定,屬于中檔題.11.如圖，在楊

8、輝三角中，斜線l的上方從1按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個“鋸齒形”數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，將該數(shù)列中的奇數(shù)項依次取出組成一個新的數(shù)列，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)題意數(shù)列中，觀察數(shù)列特點可知,利用累加法,易求得,由裂項求和計算可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意數(shù)列中,觀察數(shù)列特點可知,利用累加法可求得得，.故選:d【點睛】本題歸納推理,考查累加法求數(shù)列的通項公式,考查裂項求和的方法求數(shù)列的和,屬于中檔題.12.已知，如圖正三棱錐中，側(cè)棱長為，底面邊長為2，d為ac中點，e為ab中點，m是pd上的動點，n是平面pce上的動點，則最小值是（ ）a. b. c.

9、d. 【答案】b【解析】【分析】取中點,連接交于點,易證得面,要求最小,即求mn最小,可得，又可證明,再把平面pod繞pd旋轉(zhuǎn),與面pda共面,則結(jié)合數(shù)據(jù)解三角形即可.【詳解】取中點,連接交于點,易證得面,要求最小,即求mn最小,可得，又可證明,再把平面pod繞pd旋轉(zhuǎn),與面pda共面,又可證得.，即，可得，.故選:b.【點睛】本題考查空間幾何體中的距離最值問題需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象和思維能力,綜合性較強(qiáng).在解決此類最值問題時,一般采用側(cè)面展開的形式將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分；其中16題第一空3分，第二空2分.13.在等比數(shù)列中，則_.【答

10、案】31【解析】【分析】由已知求得公比,利用等比數(shù)列的求和公式計算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比,易求得，.故答案為: 31.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式和求和公式中基本量的計算,屬于基礎(chǔ)題.14.自湖北武漢爆發(fā)新冠肺炎疫情以來，武漢市醫(yī)護(hù)人員和醫(yī)療、生活物資嚴(yán)重短缺，其他兄弟省市紛紛馳援武漢等地.某運輸隊50輛汽車載滿物資急赴武漢，如圖是汽車經(jīng)過某地時速度的頻率分布直方圖，則這50輛汽車速度中位數(shù)的估計值是_.【答案】65【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)是從左數(shù)小矩形的面積之和為0.5的矩形底邊上點的橫坐標(biāo)，計算求解.【詳解】根據(jù)圖形可列式，解得.故答案為: 65.【點睛】本題考查頻率分布直方圖

11、的相關(guān)知識,直方圖中的各個矩形的面積代表了頻率,所有各個矩形面積之和為1,也考查了中位數(shù),屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)，若存在實數(shù)，滿足，且，則的最大值為_.【答案】【解析】【分析】由題意可知,解得,結(jié)合已知則有,此時,構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)即可求出最值.【詳解】根據(jù)題意得，即，又，此時，構(gòu)造函數(shù),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即.故答案為: 【點睛】本題主要利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),屬于難題.16.已知不過原點的動直線l交拋物線于a，b兩點，o為坐標(biāo)原點，且，若的面積最小值是32，則（1）_；（2）直線過定點_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由可知,設(shè)，,設(shè)與拋物線聯(lián)立, ,由借

12、助韋達(dá)定理化簡可得,代入三角形面積公式結(jié)合已知條件可求得,進(jìn)而求出直線經(jīng)過的定點.【詳解】設(shè)直線與拋物線交于a，b兩點，易知可得，得到，又令代入拋物線中，可得方程，由韋達(dá)定理得，即，解得，得求得定點.故答案為: (1). ,(2). .【點睛】本題考查了直線與拋物線的綜合,考查了直線恒過定點問題,考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用及范圍問題的解決方法,屬難題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.已知函數(shù).（1）求最小正周期及對稱中心；（2）在銳角中，a，b，c分別為角a，b，c的對邊，且，

13、求面積的取值范圍.【答案】（1），對稱中心是；（2）【解析】【分析】(1)首先將函數(shù)的解析式化簡為的形式，然后確定其最小正周期和對稱中心即可；(2)由已知可解得,由于為銳角三角形,可求得,利用正弦定理化簡可得,根據(jù)面積公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】（1），.；又，即對稱中心是.（2），又為銳角三角形，且，即，得到，而在中，即，.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡與性質(zhì)，正弦定理解三角形的方法等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力,難度較易.18.已知，如圖四棱錐中，底面為菱形，平面，e，m分別是bc，pd中點，點f在棱pc上移動.（1）證明無論點f在pc上如何移動，都有平面平面；（2）當(dāng)

14、直線af與平面pcd所成角最大時，求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】(1)易證得,即證得平面,進(jìn)而證得結(jié)論.(2) 以ae，ad，ap所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)向量法求出線面成角的正弦值,求出取最大值時的參數(shù),依次求出法向量即可得出結(jié)果.【詳解】（1）連接ac.底面abcd為菱形，是正三角形，是bc中點，又，又平面，平面，又，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知，ae，ad，ap兩兩垂直，以ae，ad，ap所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知：，而且，設(shè)平面pcd的法向量，取，.根據(jù)題意，線面角當(dāng)時，最大，此時

15、f為pc的中點，即，.設(shè)平面aef的法向量為，平面aem的法向量為，解得，同理可得，所以二面角的平面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定方法,考查向量法解決線面成角,面面成角問題,屬于中檔題.19.某品牌布娃娃做促銷活動：已知有50個布娃娃，其中一些布娃娃里面有獎品，參與者可以先在50個布娃娃中購買5個，看完5個布娃娃里面的結(jié)果再決定是否將剩下的布娃娃全部購買，設(shè)每個布娃娃有獎品的概率為，且各個布娃娃是否有獎品相互獨立.（1）記5個布娃娃中有1個有獎品的概率為，當(dāng)時，的最大值，求；（2）假如這5個布娃娃中恰有1個有獎品，以上問中的作為p的值.已知每次購買布娃娃需要2元，若有中獎，則中獎

16、者每次可得獎金15元.以最終獎金的期望作為決策依據(jù)，是否該買下剩下所有的45個布娃娃；（3）若已知50件布娃娃中有10個布娃娃有獎品，從這堆布娃娃中任意購買5個，若抽到k個有獎品可能性最大，求k的值.（k為正整數(shù)）【答案】（1）；（2）買下剩下所有的45個布娃娃；（3）【解析】【分析】(1) 求出的表達(dá)式,再進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出的最大值點.(2) 由(1)可知,設(shè)剩下45個布娃娃中有y個獎品,獲利為x元,則，又,求出即可得出結(jié)果;(3) 設(shè)抽到k個有獎品的可能性為，則，根據(jù)題意可得,計算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，令得.當(dāng)時, ；當(dāng)時, 的最大值點為,因此當(dāng)時,取最大值.（

17、2）由(1)可知，設(shè)剩下45個布娃娃中有y個獎品，獲利為x元，則，又.因此因此買下剩下所有的45個布娃娃.（3）設(shè)抽到k個，有獎品的可能性為，則，根據(jù)題意可得，即且，化簡得，解得，從而.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用,考查二項分布及其應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)期望的計算及其應(yīng)用,考查超幾何分布概率最大值時求對應(yīng)的參數(shù)問題,屬于中檔題.20.已知，分別為橢圓的左右焦點，點在橢圓c上，且（1）求橢圓c的方程；（2）設(shè)a為橢圓c的左頂點，過點的直線l橢圓c于m，n兩點，記直線am，an的斜率分別為，若，求直線方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)已知可得,點代入橢圓方程中,即可得出結(jié)

18、果.(2)討論直線斜率是否存在,存在時設(shè)出直線方程和橢圓方程聯(lián)立,設(shè),由已知借助韋達(dá)定理化簡即可求得斜率,求得結(jié)果.【詳解】（1）易求得，點代入橢圓中,可解得:，橢圓方程：.（2）易求得右焦點，若直線l斜率不存在時，不合題意，舍去；設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程，化簡得.由題意易知恒成立，設(shè)直線l與橢圓c兩個交點為，根據(jù)韋達(dá)定理得，而，又有，即，解得.直線，即.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查韋達(dá)定理在解決直線和橢圓的位置關(guān)系問題中的應(yīng)用,考查計算求解能力,難度較難.21.已知函數(shù)，其中；（l）判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；（2）討論在上函數(shù)的零點

19、個數(shù).【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】(1) ，設(shè)，因此單調(diào)遞減,討論正負(fù)即可判斷出極值情況;(2)由(1)可知若時,恒為增函數(shù),計算可知,此時無零點, 若時, ,可求得,討論與的關(guān)系,及若，,函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性及函數(shù)值在區(qū)間端點的符號,即可得出結(jié)論.【詳解】（1），設(shè)，因此單調(diào)遞減，又時，若，即時，使；當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，在處取極大值，不存在極小值.若，即，在單調(diào)遞增，此時無極值.（2）由第一問結(jié)論可知：（i）若時，由上問可知：，即時函數(shù)沒有零點.（ii）若時，時單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減.由，得，從而，再設(shè)，則，從而a關(guān)于單調(diào)遞增.若，此時，若得或，所以時無零點；若得，所以時有一個零點；當(dāng)，有一個零點.因此時無零點；時有一個零點；此時，設(shè)，則，所以，若即，即時無