4不等式的應(yīng)用

1、不等式的應(yīng)用、知識梳理:1.幾個(gè)重要不等式(1)若a- R,則|a|30,a >0(2) 若 a,bR,則 a2+b22ab (當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號)TOb (當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號)(3) 如果a,b都是正數(shù)，那么 422、一最-值一定理：若 X, y r+,x + y = S, xy = P 貝U： 如果P是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最 如果S是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最注意： 前提：“一正、二定、三相等”，如果沒有滿足前提，則應(yīng)根據(jù)題目創(chuàng)設(shè)情境;還要注意選擇恰當(dāng)?shù)墓剑?“和定積最大，積定和最小”，可用來求最值； 均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請注意每處取等的條件是否

2、一 致。3、不等式的應(yīng)用是不等式的重點(diǎn)內(nèi)容，它在中學(xué)數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，主要表現(xiàn)在:(1) 求函數(shù)的定義域、值域;求函數(shù)的最值；(3) 討論函數(shù)的單調(diào)性；(4) 研究方程的實(shí)根分布；(5) 求參數(shù)的取值范圍；(6) 解決與不等式有關(guān)的應(yīng)用題.4、不等式與數(shù)學(xué)各知識點(diǎn)聯(lián)系緊密，主要有 運(yùn)用不等式研究函數(shù)問題(單調(diào)性、最值等) 運(yùn)用不等式研究方程解的問題;運(yùn)用不等式研究幾何關(guān)系問題（如相切、相交、相離，圓內(nèi)、圓外）5、數(shù)學(xué)有關(guān)知識點(diǎn)轉(zhuǎn)化為不等式問題，其轉(zhuǎn)化的途徑有:利用幾何意義； 利用判別式； 應(yīng)用變量的有界性; 應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性; 應(yīng)用均值不等式.、填空題1、（ *）若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=2,

3、則2a+ 2b的最小值是2、（ *）3、（ *）函數(shù) y=x2+H1函數(shù) f (X ) = (2 -a2+1的值域?yàn)椋﹛+a在區(qū)間0,1】上恒為正，則a的取值范圍是若函數(shù)f（X ）= X +1x-2(X >2),g(x)= f (xH0 )，貝 U f(x )與 g(x )的X2 /大小關(guān)系是5、（*）當(dāng)xJ1,2 ）時(shí)，不等式x2+mx+ 4<0恒成立，則m的取值范圍是6（ *）I 1 x >0已知f（x2-1,，x<0，則不等式Xf（X宀蘭2的解集是7、（ *）若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是已知f（x）、g（x）都是奇函數(shù)，f（x） >0

4、的解集是（a2, b）, g（x） >0的解集是（名，I），則f（x ） g（x） >0的解集是9、（ * ）知X、嚴(yán)R +,則使 忑+石勻斤耳恒成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍是8、（ *）10、(* )若不等式丄2Ct+2t2 +9 <at2，在t忘（0,2上恒成立，則a的取值范圍是方法提煉:三、解答題r+，且 a+ b+c=1，求證：p-1a丿lb丿11、 （*）若a、 b、 c壬丄方法提煉:12、（*）老師給學(xué)生出了這樣一道題：“已知兩正數(shù)x,y滿足x+y=1,求z=xV X人y丿兩個(gè)學(xué)生甲，乙的解法分別是:1甲解：因?yàn)閷>0,恒有a +-工2,從而z=ax+1Yy+丄

5、>4,所以z的最小值是4。I X人 y丿方法提煉:xyy-y13、(* )若 2(log1 x)7log 1 X +3<0，求 f(X)= (log 2-)(log 2-)的最大值和最-2422厶幵小值。方法提煉：14、（*）圍建一個(gè)面積為360m的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m, 設(shè)利用的舊墻的長度為x（單位：元）。（I）將y表示為x的函數(shù)：（n）試確定X,使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用15、(* )已

6、知f(x)是定義在1, 1上的奇函數(shù)，且f (1)=1，若m n 1,1 , m+n0 時(shí)有 f(m)中 f)0.m + n(1)判斷f(X)在1, 1上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；f 1、1、X + < f1 2丿1丿(2)解不等式：f(3)若 f(X)G2-2at+1 對所有 x 1, 1 , a 1, 1恒成立，求實(shí)數(shù) t的取值范圍.方法提煉:答案：1、4 22,址)3、0 < av 2 4、f(x):>g(x) 5、m < _5& x|x<1 7 、ab>9 8、|a2,-V 2丿2b)( b 2)'_ kJ I ，aI 29、t &g

7、t;2 10、«a |JI413<a<1>11、證明：_1J-a=b+C，又 a>0 ,aa a2；ca 1,2(ab> ,1 >b cc，即 1-ax2Jbc .同理 Ja aa abG j尸8 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時(shí)，等號成立12、解：分析：甲解：等號成立的條件是=當(dāng)log2 X =1即X = 2時(shí)f(X)有最小值-1且y=,即x=1且y=1,與x + y = 1相X y矛盾。乙解：等號成立的條件是 =xy,即xy=72，與0vxy<相矛盾。xy4因此兩個(gè)同學(xué)的解答都是錯(cuò)誤的。2T的z丄1、/丄1、丄1丄y丄X丄1丄(X + y) -2

8、xy 2丄正解：z=(x +)(y +)=xy + + Z + = xy + + =+ xy-2，X yxy X yxyxyxy令t=xy,則0 Ct =xy <(M)2 =2，由f(t)=t+2在缶,1上單調(diào)遞減，故當(dāng)24t V 4t=1時(shí)f(t)十2有最小值T所以當(dāng)x T =1時(shí)z有最小值7。A13、解：2(log 1 X)2+7log1 X+3 乞0= (2log 1 + 1)(log 1 + 3)乞 0=log 1-Q22222厶1=-蘭 log 2 X 蘭 32x2f(X)=(log 2 x)(log2 (log 2 x)(log 2 x-2) = (log 2 x T) -1

9、4當(dāng)log2 X = 3即X = 8時(shí)f (x)有最大值3 14、解：（1）設(shè)矩形的另一邊長為a m則 yX1 -45x-180(x-2)+180- 2a=225x+360a-360 高考資源網(wǎng) 由已知xa=360,得a=360X所以 y=225x+360 360(x A0)w.w.w.k.s.5.u.c.o.mX(II)寫 X0, 225X 十360' 3 2丿225咒3602 =10800X36023602”y =225x +-360 >10440.當(dāng)且僅當(dāng) 225x=時(shí)，等號成立.XX即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元.w.w.15分析：可利用

10、定義法判斷單調(diào)性，再利用單調(diào)性解決問題（2）,問題（3）只要 f (x) maW (t -2at+1)' '、'min解：（1）任取一K X1VX2W 1,則f (X1) f (X2)= f (x1)+f ( X2)=f 儀1)+ f(X2) ,(X1 X2)X1 X2 1 < X1<X2< 1 , Xl+ ( X2)工 0,由已知 fg+fl-X2 )>0,又 X1 X2< 0,Xi -X2 f（X 1） f（X 2） 0,即 f（X）在1, 1上為增函數(shù).（2）v f（X）在1, 1上為增函數(shù)，故有11 <x + <1,I3X 一蘭X吒一122<1,由此解得X T+ 1 1X + V ,(3) 由(1)可知：f (x)在1, 1上是增函數(shù)，且f (1)=1，故對x l ,1，恒有 f (x)< 1.所以要使 f (x )< t2-2at+1，對所有 x 1, 1 , a 1, 1恒成立,即要t2 -2at +1 > 1成立，故t2 -2at >0成立.記 g(a)=t22at 對 a 1, 1 , g(a) > 0 恒成立，只需 g(a)在