專訓(xùn)4等腰三角形中四種常用作輔助線的方法

1、專訓(xùn) 4等腰三角形中四種常用作輔助線的方法名師點金：幾何圖形中添加輔助線，往往能把分散的條件集中，使隱蔽的條件顯露，將復(fù)雜的問題簡單化，例如：作“三線”中的“一線”，作平行線構(gòu)造等腰 (邊 )三角形，利用截長補(bǔ)短法證線段和、差關(guān)系或求角的度數(shù)，利用加倍折半法證線段的倍分關(guān)系作“ 三線 ”中的 “一線 ”1如圖，在 ABC 中， AB AC ， D 是 BC 的中點，過點 A 作 EF BC ，且 AE AF ，求證： DE DF.(第 1題)作平行線法2如圖，在 ABC 中， AB AC ，點 P 從點 B 出發(fā)沿線段 BA 移動，同時，已知點 Q 從點 C 出發(fā)沿線段 AC 的延長線移動，點

2、 P， Q 移動的速度相同， PQ 與直線 BC 相交于點D.(1)如圖，求證：PD QD.(2)如圖，過點P 作直線 BC 的垂線，垂足為E，當(dāng) P， Q 在移動的過程中，線段BE ，ED ，CD 中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由(第2題)截長補(bǔ)短法3如圖，在ABC 中， AB AC ， D 是 ABC 外一點，且 ABD 60°， ACD 60°.1求證： BD DC AB.(第 3題)4如圖，在 ABC 中， BAC 120 °，AD BC 于 D ，且 AB BD DC ，求 C 的度數(shù)(第 4題)加倍折半法5如圖， CE， CB 分別是 ABC

3、， ADC 的中線，且AB AC. 求證： CD 2CE.(第 5題)2答案1 證明： 如圖，連接AD. AB AC ，BD CD， AD BC. EF BC ， AD EF. DAE DAF 90°. AEAF ，AD AD ， Rt ADE Rt ADF. DE DF.(第 1題)2 (1) 證明： 如圖，過點 P 作 PFAC 交 BC 于 F.點 P 和點 Q 同時出發(fā)，且速度相同， BP CQ.PF AQ， PFB ACB ， DPF CQD. AB AC ， B ACB. B PFB. BP FP. FP CQ.在 PFD 和 QCD 中， DPF DQC ， PDF Q

4、DC ， FPCQ， PFD QCD( AAS) PDQD.(2)解： ED 的長度保持不變理由如下：如圖，過點P 作 PF AC 交 BC 于 F.由 (1)知 PB PF. PE BF ， BE EF.由 (1) 知 PFD QCD ， FD CD. ED EF FD 1BE CD 2BC. ED 的長度為定值181(第 2題)3 證明： 如圖，延長BD 至 E，使 BE AB ，連接 CE ，AE. ABE 60°， BE AB ， ABE 為等邊三角形 AEB 60°， AE AB.又 ACD 60°， ACD AEB. AB AC ，AB AE ， AC

5、 AE. ACE AEC. DCE DEC. DC DE. AB BE BD DE BD DC ，即 BD DC AB.3(第3題)4 解： 如圖，在 DC 上截取 DE BD ，連接 AE ， AD BC， BD DE ， AD AD ， Rt ABD RtAED. AB AE ， B AED. AB BD CD， DE BD ， AB DE CD. 而 CD DE EC， AB EC. AE EC.故設(shè) EAC C x， AEB 為 AEC 的外角， AEB EAC C2x. B 2x， BAE 180° 2x 2x 180°4x. BAC 120 °， BAE EAC 120 °，即 180 ° 4x x 120 °，解得 x 20°，則C 20°.(第 4題)5 證明： 如圖，延長CE 到點 F，使 EF CE，連接 FB ，則 CF 2CE.CE 是 ABCBE AE ，的中線， AE BE.在 BEF 和 AEC 中， BEF AEC ，EF EC， BEF AEC( SAS) EBF A ， BF AC. 又 AB AC ， ABC ACB. CBD A ACB EBF ABC CBF. CB 是 ADC 的中線， AB B