電磁場數(shù)值計算3-西安交通大學電氣工程學院

1、第三章 有限元法基礎通常將有限元法分為兩大類：變分法和加權(quán)余量法。兩種方法的出發(fā)點不同，但最后都歸結(jié)為：離散化：用若干個子區(qū)域（即單元）代替整個連續(xù)區(qū)域，算子解析方程，即偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組：區(qū)域的物理性質(zhì)可以用節(jié)點上有限個自由度來描述，再應用離散系統(tǒng)分析方法將其匯集在一起。3-1 算子方程及變分原理3.1.1 算子的概念（1）靜電場中，泊松方程 可以寫為 ，其中稱為算子。（2）穩(wěn)態(tài)磁場中，雙旋度方程 其中算子是（3）時變場中，波動方程 其中算子3.1.2 泛函1、泛函的概念泛函是函數(shù)空間H中，函數(shù)到數(shù)的映像，如也可以說泛函是函數(shù)的函數(shù)，函數(shù)空間中的某一函數(shù)有一個I值與之對應，變量I就是

2、D空間的函數(shù)的泛函。例如 求所表示的曲線長度及所圍面積。 曲線長度 曲線所圍面積 不同的，有不同的I與之對應，不同的 圖3-1 求曲線長度及所圍面積構(gòu)成了函數(shù)空間H。2、泛函連續(xù)若對于的微小改變，有泛函的微小改變與之對應，就稱泛函是連續(xù)的。3、線性泛函若泛函滿足 c為常數(shù)或 則稱其為線性泛函。4、函數(shù)的變分泛函的宗量的變分是的微小增量 5、泛函的變分對于宗量的變分，泛函的增量為式中，是對的線性泛函，是的主要部分，稱為一階（或一次）變分是誤差項。與dy的區(qū)別：當自變量x的增量充分小時，可用dx來表示，dx稱為x的微分。相應地，函數(shù)y的增量 當充分小時，可用dy來表示，dy稱為y的微分，dy 是x

3、的變化引起的微分，是函數(shù)增量 的線性主要部分，即可記為在泛函中，當宗量的增量足夠小，即有變分時，泛函的增量其中，對而言為線性，稱為一階變分。 圖3-2 函數(shù)的增量 圖3-3 泛函的增量6、泛函的極值設時泛函取得極值，那么，泛函在極值函數(shù)上的變分等于0，即當泛函是多元函數(shù)的泛函，泛函在上有極值時，變分。因此，泛函取得極值的必要條件是使變分。3.1.3 算子（微分、積分、矩陣方程）方程的變分原理各種類型電磁場的微分方程都可對應于D空間中的算子方程它可以轉(zhuǎn)化為與之等價的變分問題，即泛函求極值問題。定理：若L為正算子，而在D上有解，則此解必然使泛函取極小值。反之，在D上使泛函I取得極小值的函數(shù)，必是方

4、程的解。（證明略，參見顏威利電氣工程電磁場數(shù)值分析P24-25.也就是說，當L為正算子時，求解算子方程的問題與求泛函的極小值問題等價，即與泛函的變分問題等價。3.1.4 算子方程的泛函公式1、靜態(tài)場對于靜電場和恒定磁場，泛函I有明確的物理意義，它代表場域中的總位能，即當總位能最小時，場是穩(wěn)定的（湯姆遜定理），因此，對應于無界空間中的算子方程的泛函形式應該為 （1） 泊松方程的變分公式泊松方程 為了得到正算子L，改寫上式 對應的算子方程 式中，若材料為均勻，為常數(shù)。邊界條件： 相應的泛函為有內(nèi)積的定義（在單元中可以認為是常數(shù)）根據(jù)格林定理泛函可以寫為由于算子方程與變分等價，最后一項是在泛函的H空

5、間的邊界上積分，因此，D空間（即空間）邊界條件不能直接代入。應該將泛函的被積函數(shù)寫成D空間的積分形式，再代入邊界條件，即因此泛函可以寫為也可以寫成能量泛函由于第二、三類邊界條件已包含在泛函中，其極值問題就只需要滿足第一類邊界條件。（強調(diào)從偏微分方程要求函數(shù)二階連續(xù)偏導，降低為一階連續(xù)偏導，得到弱解，適用范圍更廣；為不同媒質(zhì)分界面上自動滿足場的切向分量連續(xù)或法向分量連續(xù)的證明打下基礎；因為泛函具有能量的意義和量綱，故又稱能量泛函，描述靜電現(xiàn)象的“最小作用原理”，即湯姆遜定理。）（2） 恒定磁場方程的變分公式矢量泊松方程 若材料是線性的 邊界條件 （場的切向分量，位函數(shù)的法向分量）相應的泛函為根據(jù)

6、矢量恒等式 有 泛函可以寫為有高斯散度定理泛函的一般表達式為根據(jù)矢量恒等式因此 同上理由，邊界條件不能直接代入泛函，將被積函數(shù)寫成積分形式后再代入邊界條件，則有泛函可以寫為也可寫成能量泛函形式2、簡諧時變場（現(xiàn)代計算電磁學基礎王長清） 簡諧時變場分析中，場量可以用復數(shù)形式表示。泛函沒有明確的物理意義，不是能量泛函。由于波動方程的算子都是自伴的，因此存在泛函。（1） 標量波動方程設為位函數(shù)或場分量，算子方程算子，如果媒質(zhì)是無耗的（p和k2為實數(shù)），且滿足第一、第二類齊次邊界條件，那么L是自伴的，等價的變分問題的泛函為（上述推導利用了格林定理及第二類齊次邊界條件。）（2） 矢量波動方程算子方程 若

7、媒質(zhì)是無耗的，在齊次邊界條件下，與算子方程等價的變分問題的泛函為利用格林定理和矢量恒等式利用齊次邊界條件若媒質(zhì)是有耗的（略）。如果邊界條件是非齊次的，所對應的算子是非自伴的，可采用修正變分原理。總結(jié)上述可以看到， 只有算子是自伴算子（或是修正后的自伴算子），才有泛函的極值問題，因此，不是所有微分方程都有其對應的泛函極值問題；泊松方程、拉普拉斯方程、波動方程可用基于變分原理的FEM擴散方程、非簡諧波動方程可用基于伽遼金法的FEM 為什么要將微分方程定解問題轉(zhuǎn)化為變分問題微分方程定解問題要求解具有二階連續(xù)導數(shù)，而變分方程只要解的一階導數(shù)平方積分即可，既引入變分是為了降低對解的光滑性要求，使得一些原

8、來不具備連續(xù)二階導數(shù)的解的微分方程在變分意義上有可能存在條件稍弱的解，既擴大了求解范圍。 解微分方程定解問題時，第二、三類邊界條件是作為定解條件必須列出，而在等價變分問題時，齊次的第二、三類邊界條件是自然滿足極值解的，無需作為定解條件列出，因此稱為自然邊界條件。第一類邊界條件必須作為定解條件列出，因此稱為強加邊界條件。3.1.5 基于變分原理（里茨（Rayleign-Ritz）方法）的有限元離散方法以靜電場為例，暫不考慮邊界條件，泛函為 （3-1）構(gòu)造一個函數(shù)空間M，為近似解，設為 （3-2）式中，是待定位函數(shù)值，即電位在節(jié)點上的值，是n個線性無關(guān)的已知坐標函數(shù)，因為它與節(jié)點的坐標有關(guān)，故稱為

9、形狀函數(shù)，或坐標函數(shù)，也稱為基函數(shù)。將式（3-2）代入（3-1），成為的多元函數(shù)也稱為里茨函數(shù)，多元函數(shù)取極值的條件是這樣，可以得到n個未知數(shù)的n階方程組，稱為Ritz方程組，解出，代入式（3-2），便可得到變分問題的近似解。以泊松方程的邊值問題為例其等價變分問題為設近似解，代入泛函后得到，令對的偏導數(shù)為零，即求極值 得到可寫為 即 式中 對換i,j的位置， Kij不變，表示剛度矩陣的對稱性矩陣形式 解之，可得到離散解 3-2 加權(quán)余量法3.2.1 加權(quán)余量法設方程 的近似解為，那么方程的余量（即任一點的余量）為邊界余量 式中，第一類第三類最佳的值應能使余量在D域內(nèi)所有的點上有最小值，如果D域

10、內(nèi)有m個節(jié)點，是這m個節(jié)點坐標的函數(shù)（若為子域：是剖分單元節(jié)點坐標的函數(shù)），其中有n個節(jié)點不受約束（即節(jié)點不在第一類邊界上），那么，要選擇n個不同的權(quán)函數(shù)，強使每一個權(quán)函數(shù)與余量的乘積在整個區(qū)域積分后為零n個權(quán)函數(shù)線性無關(guān)，是完備函數(shù)系中線性獨立函數(shù)，這是某種平均意義下的誤差為零。這樣，可以得到n個方程，從中解出。這就是加權(quán)余量法。 設近似解為 式中，為待求系數(shù)（函數(shù)值），是一組線性無關(guān)的直交基序列，那么（不考慮邊界）是節(jié)點上的值，與積分無關(guān)，提出積分號外即 或 矩陣形式 系數(shù)矩陣 注：（1）加權(quán)余量法可以用于微分方程，也可以用于積分方程，前者對整個定義域剖分，后者只要對邊界及源區(qū)剖分。 （2

11、）選取不同的權(quán)函數(shù)，構(gòu)成不同的計算方法，在微分方程中經(jīng)常采用若權(quán)函數(shù)取為形狀函數(shù)，即，稱為伽遼金法；若權(quán)函數(shù)取為Dirac函數(shù)，即，稱為點匹配法；若權(quán)函數(shù)取為1，即，稱為子域配置法。 (3) 加權(quán)余量法不需要找到問題的泛函便可得到離散的代數(shù)方程組，因此應用范圍更廣，使用更方便。（4）用加權(quán)余量法時，離散的代數(shù)方程組的系數(shù)陣不一定是對稱、稀疏。它取決于是用于微分方程，還是積分方程（如邊界積分方程）；權(quán)函數(shù)的選取。3.2.2 伽遼金有限元法當權(quán)函數(shù)時，可以得到對稱、稀疏系數(shù)矩陣，因此，廣泛用于有限元法中，稱為伽遼金有限元法。設近似解為由于基函數(shù)是完備函數(shù)系，因此，方程的余量也是連續(xù)的，只有當與完備函數(shù)系中每一個元素正交時，內(nèi)積才為零因此，伽遼金有限元法可以解釋為使方程余量正交于完備函數(shù)系的每一個函數(shù)。基函數(shù)特性，表明節(jié)點i處的余量=0（因為在節(jié)點i處的=1，若，積分后也不為零），其它地方余量很小。這樣保證了誤差限制在