曲線的凹向漸近線及圖像的描繪PPT課件

1、 學習要求 能熟練地求出函數(shù)的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線 熟練掌握判斷函數(shù)的凹向與拐點的方法 了解函數(shù)圖形描繪的步驟第1頁/共36頁一、曲線凹向的定義問題:如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形位于任意點切線的下方xyo)(xfy 1x2x圖形位于任意點切線的上方ABC第2頁/共36頁 定義1：如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧總位于其上任一點切線的上（下）方，則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是上（下）凹的。第3頁/共36頁( ) , ,( , ),( , )(1)( )0,( ) , ;(2)( )0,( ) , .f xa ba ba bfxf xa bfxf xa b如如果果在在上上連連續(xù)續(xù) 在

2、在內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階和和二二階階導導數(shù)數(shù) 若若在在內(nèi)內(nèi)則則在在上上的的圖圖形形是是上上凹凹的的則則在在上上的的圖圖形形是是下下凹凹的的二、曲線凹向的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理1第4頁/共36頁例13.yx判斷曲線的凹向解,32xy ,6xy 時，時，當當0 x, 0 y(,0曲線在為下凹的；時，時，當當0 x, 0 y0,)曲線在為上凹的；(0,0).點是曲線由下凹變上凹的分界點注意到,DR第5頁/共36頁三、曲線的拐點及其求法連續(xù)曲線上凹連續(xù)曲線上凹、 下凹、 下凹的分界點稱為曲線的拐點的分界點稱為曲線的拐點

3、. . 1、定義注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.2、求拐點的步驟第6頁/共36頁第7頁/共36頁例243341.yxx求曲線的拐點及凹向解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00上凹下凹上凹拐點拐點)1 , 0()2711,32(第8頁/共36頁2(,0,).32 1120,33 27上凹區(qū)間為下凹區(qū)間為拐點 0，1 ， ，第9頁/共36頁例3.3的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解,0時時當當 x,3132 xy532,9yx .,0均不存在均不存在是不可導點是不可導

4、點yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但在但在;0 ,(上是上凹的曲線在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上是下凹的曲線在.)0 , 0(3的拐點的拐點是曲線是曲線點點xy 第10頁/共36頁xyo第11頁/共36頁xyo第12頁/共36頁.)(,)(一條漸近線一條漸近線的的就稱為曲線就稱為曲線那么直線那么直線趨向于零趨向于零的距離的距離到某定直線到某定直線如果點如果點移向無窮點時移向無窮點時沿著曲線沿著曲線上的一動點上的一動點當曲線當曲線xfyLLPPxfy 四、漸近線定義:1.鉛垂?jié)u近線)(軸的漸近線軸的漸近線垂直于垂直于 x000lim( )lim( )( ).xxxxf xf x

5、xxyf x 如果或那么就是的一條鉛垂?jié)u近線第13頁/共36頁例如,)3)(2(1 xxy有鉛直漸近線兩條:. 3, 2 xx第14頁/共36頁2.水平漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一條水平漸近線的一條水平漸近線就是就是那么那么為常數(shù)為常數(shù)或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如,arctanxy 有水平漸近線兩條:第15頁/共36頁22123xyxx例例1：1：求求曲曲線線的的漸漸近近線線 limxf x解：221lim23xxxx2lim22xxx型lim2x型11.y 是曲線的水平漸近線第16頁/共36頁例4.1)3)(2(2)(的漸

6、近線的漸近線求求 xxxxf解)., 1()1 ,(:D )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲線的鉛垂?jié)u近線x第17頁/共36頁二、圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形. 確定函數(shù)的定義域和值域； 討論函數(shù)的奇偶性（對稱性）、周期性； 討論函數(shù)的增減性和極值； 討論函數(shù)的凹向與拐點； 確定曲線的漸近線； 求出曲線的一些特殊點（例如曲線與x軸、y軸的交點等）； 作出函數(shù)的圖形。第18頁/共36頁三、作圖舉例例5.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxf解, 0: xD非奇非偶函數(shù),且無對稱性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令,

7、2 x得駐點得駐點, 0)( xf令令. 3 x得特殊點得特殊點2)1(4lim)(lim2 xxxfxx2 第19頁/共36頁第20頁/共36頁2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得鉛垂?jié)u近線列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹向區(qū)間及極值點和拐點:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在拐點極值點間斷點)926, 3( 第21頁/共36頁A:補補充充點點);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作圖xyo2 2111 2 3 6BC第22頁/共36頁2)1(4)(

8、2 xxxf第23頁/共36頁例6.1)(23的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxxf解),(:D無奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得駐點得駐點, 0)( xf令令.31 x得特殊點得特殊點:補補充充點點),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C列表確定函數(shù)升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點與拐點:第24頁/共36頁x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐點極大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 極小值0 xyo)0 , 1( A)1 , 0(B)85,23

9、(C11 3131 第25頁/共36頁123 xxxy第26頁/共36頁小結(jié)曲線的彎曲方向凹向;改變彎曲方向的點拐點;凹凸性的判定.拐點的求法漸近線的求法鉛垂?jié)u近線、水平漸近線第27頁/共36頁單減函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究,是導數(shù)應用的綜合考察.xyoab最大值最小值極大值極小值拐點上凹下凹單增)(xfy 第28頁/共36頁思考題設設)(xf在在),(ba內(nèi)二階可導，且內(nèi)二階可導，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，則，則,(0 x)(0 xf是否一定為是否一定為曲線曲線)(xf的拐點？舉例說明的拐點？舉例說明.第29頁/共36頁思考題解答因為因為0)(0 xf只是只是,(

10、0 x)(0 xf為拐點為拐點的的必要條件必要條件，故故,(0 x)(0 xf不一定是拐點不一定是拐點.例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并不是曲線并不是曲線)(xf的拐點的拐點.第30頁/共36頁思考題 兩坐標軸兩坐標軸0 x，0 y是否都是是否都是函數(shù)函數(shù)xxxfsin)( 的漸近線？的漸近線？第31頁/共36頁思考題解答0sinlim xxx0 y是其圖象的漸近線是其圖象的漸近線. 0 x不是不是其圖象的漸近線其圖象的漸近線. 1sinlim0 xxxxxysin 第32頁/共36頁一、一、 填空題：填空題： 1 1、 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在（在（ba,）可導，則曲線）可導，則曲線)(xf在在( (ba,) )內(nèi)內(nèi)上上凹的充要條件是凹的充要條件是_._. 2 2、 曲線上曲線上_的點，稱作曲線的拐點的點，稱作曲線的拐點 . . 3 3、 曲線曲線)1ln(xy 拐點為拐點為_._. 4 4、 曲線曲線xey1 的水平漸近線為的水平漸近線為_._. 5 5、 曲線曲線11 xy的水平漸近線為的水平漸近線為_，鉛直漸，鉛直漸近線為近線為_._. 練 習 題 第33頁/共36頁二、解答題二、解答題 1 1、判斷函數(shù)判斷函數(shù)32695yxxx的的單調(diào)性，并求其極單調(diào)性，并求其極值，以及判斷曲線值，以及判斷曲線32695yxxx的凹向區(qū)間，并的凹