2015真題與解析

1、2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(二)試題解析，只有一個選項符合、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)下列反常積分收斂的是()(A):1xdx(B)(C)三丄dx2 xlnx(D):x2護【答案】(D)【解析】=_(x 1)e_，則 dx = _(x 1)e*e-bo22t工函數(shù)f x齊叫1 x)t在(：，：)內(nèi)()(A)連續(xù)(B)有可去間斷點(C)有跳躍間斷點有無窮間斷點【答案】(B)(D)x1 2sin t x2Sin t lim【解析】f(x)=1叫(1 )t 二 &0, x t二ex，

2、 x = 0，故f (x)有可去間斷點x = 0 .設(shè)函數(shù)f x =x：cos*,x 0G0/0)，若f' x在x = 0處連續(xù)則：()(A) >0(C)# >2-T- < 2【答案】(A)【解析】x ：0時,f x=0 f_ 0 =0x 0時,二 x 4 cos丄x _ ysinxa1門x cosp 01f 0 二 lim x二 lim x 4 cos j10xXTx1f x 在 x = 0 處連續(xù)則：f _ 0 = f. 0 = lim x - cos 0 得:-10x J0x1 1 、f 0 = lim+ f x = lim+ :x A cos x'A

3、si n =0TT IxHxHJ得：- -10，答案選擇A設(shè)函數(shù)f (x)在：，二內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù) f “(X)的圖形如圖所示，則曲線y = f (x)的拐點的個數(shù)為(A) 0【答案】(B) 1(C) 2(C)(D)3【解析】根據(jù)圖像觀察存在兩點,為2個.設(shè)函數(shù)f u,v滿足f x y=x1 2-y2，則二階導(dǎo)數(shù)變號則拐點個數(shù),:uu=1v=1u=1v=1依次是(A) 2,0【答案】(D)(B) 0,舟(D)【解析】此題考查二元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)的求解令 u = x y,vx從而f(x y)二 x2xo-y變?yōu)橐蚨鴉cuu -1v=1Pl2 uv+ v二 u.故-丄故選(D).2.:u2u(1-

4、v)2u2(6)設(shè)D是第一象限由曲線2xy = 1，4xy = 1 與直線y =x，-：v2 ?(1 v)y = . 3x 圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f x, y在D上連續(xù)，則11 f x, y dxdy二jiD(B)JT J為d日 門2h f(rcos日,rsin日 ydr4；2sin 2(C)H1-3dv sini2- f rcosv,rsindr42sin2-i(D)匹1啟曲f(rcosO,rsin日 pr護sin 2 H【答案】【解析】（B）根據(jù)圖可得，在極坐標(biāo)系下計算該二重積分的積分區(qū)域為所以=舟(r,8) <0J_<r< 亠3 ' 2sin 2二、sin 2=J

5、T1f(x,y)dxdy = 3d1si；G f (r cosv,rsin = )rdr.2sin 2 d11 1 '*1、設(shè)矩陣A =1 2 a,b =dJ 4 a丿<d2>4故選B.若集合門解的充分必要條件為()D=12，則線性方程組 Ax = b有無窮多(A)(B)(D)由 r(A)(C)廣1111、r1111 、【解析】（A,b） =12adT01a-1d-1J42 adje0(a-1)(a-2)(d-1)(d2)【答案】(D)=t( A,b) ： 3，故 a =1 或 a = 2,同時 d =1 或 d = 2 故選(d)（8）設(shè)二次型f x1,x2, X3在正交

6、變換x = Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y2 y2 y3，其中P = （e1,e2,氏），若Q= （-氏，e2）則f =（X1,X2,X3）在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為（）（A） 2yj -y：?。˙） 2yf W2 2 2 2 2 2(C) 2yi -y2 -y3(D) 2% g 七【答案】(A)【解析】由 x =Py，故 f 二xTAx 二 yT(PTAP)y =2y2 y2 - y3(2 0 O' 且 ptap = ：o 10 .(0 0 -b廣100A由已知可得Q = P 001 = PC<0 -1 0<2 0 0A故 QTAQ =CT(PTAP)C = 0-10 L0 0

7、 b所以 f = xT Ax = yT (QT AQ) y = 2 y2 - y； y；.選(A)指定位置上.二、填空題：9 14小題,每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙(9)y【答案】x =arctant-3t t348【解析】= 48.d2y d dx2 dx212=12t(1 t2)2FTd2ydx2t 土(10)函數(shù)f(x) =x2公在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)f n(0)二【答案】n n T In 2 °【解析】根據(jù)萊布尼茨公式得：f(n )(0 ) = C：2(2x 陽 =n(n T)2(l 門2廠=n(n- 1)(l n 2 )n x=o2x2(11)設(shè) f x 連續(xù)，

8、x l= ；0 xf t dt，若1 =11 =5，【答案】2x21 則可得 dz|(00)= _dx _ dy = _(dx + 2dy ). 33(14)若3階矩陣A的特征值為2,-2,1，B =A2 - A E，其中E為3階單位陣，則行列式B =.【答案】21【解析】A的所有特征值為2,-2.B的所有特征值為3,7,1 所以 |B | = 3 7 1 =21三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙 指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、x222【解析】 已知(x) =x o f(t)dt，求導(dǎo)得(x) f(t)dt 2x2f(X2)，故有1:二 0f(t)dt =1,:(1) =

9、1 2f (1)=5,則 f (1)=2.(12)設(shè)函數(shù)y = y x是微分方程y" y' -2y =0的解，且在x=0處y x取得極值3,則y x =.【答案】e2x 2ex【解析】由題意知：y0 =3，y 0 =0，由特征方程：，2_2=0解得=1,= -2所以微分方程的通解為： y=Gex C2e°x代入y 0=3，y 0=0解得：G =2 C2 =1 解得：y = 2ex ex(13)若函數(shù)Z =z(x, y )由方程ex知卡z+xyz=1確定，則dz(0,0)=.1【答案】 dx 2dy3【解析】當(dāng)x = 0, y = 0時z =0，則對該式兩邊求偏導(dǎo)可得

10、x 2y 3zzx 2y 3z(3exy) yz -eex(3ex 2y 3z - xy) = -xz -2ex 2y 3z.將( 0,0,0)點值代入即有.z:x(0,0)1 _cz_3,石(0,0)證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù) f(x)=x aln(1 x) bxsinx , g(x)二 kx3 若 f(x)與 g(x)在 x > 0 時是等價無窮小，求a, b,k的值.【答案】-1, ,b3【解析】方法一:x2x3_ _3因為 ln(1 x) = xo(x )， sin x = x233o(x3)，那么,1=lim3=lim= limJ 0kx3 aln(1

11、>)bxsinxx 0 g(x) x fikxa 2 a 33(1 a)x (b )x2x3 o(x3)所以,a = -1*b = 12, 1k =I 3可得：b-a=0,2a方法二: 由題意得1 -limx 0 g(x)二 limX0x a ln(1 x) bx sin xkx31 bsinx bx cosx二 lim2x 3kx2由分母 lim3kx2二 0，得分子lim (1 absinx bxcosx) = lim (1a)= 0，求得x 0X0 '1 亠 xx >0X 'c;是1二limt g(x)11bsin x bx cosx1 x=lim1x2x Q

12、3kxx b(1 x)sin x bx(1 x)cosx二 lim2x03kx(1 x)_lim x +b(1 +x)s i nx +bx(1 +x)c o xxT3kx2lim 1 + bsin x +b(1 +x)cosx +b(1 +x) cosx + bxcosx bx(1 + x)sin x _x 06kx由分母lim 6kx = 0，得分子 x 0I叫1 bsin x 2b(1 x) cosx - bxcosx -bx(1 x) sin x = lim (1 2b cosx) = 0，1求得b -；2b值代入原式進一步，f(x)1 =limx0 g(x)1111 sin x-(1

13、x)cosx xcosx x(1 x)sinx Jim222x°6kx1=lim -x )01 111 11cosx - cosx (1 x)sinxcosx xsinx (1 x)sin x xsinx x(1 x)cosx2 2 2 2 2 26k1-212，求得k6k3(16)(本題滿分10分)設(shè)A>0 , D是由曲線段y=Asin x(0乞x _ ?)及直線y = 0，312所圍成的平面區(qū)域，V1，V2分別表示D繞x軸與繞y軸旋轉(zhuǎn)成旋轉(zhuǎn)體的體積，若【答案】8【解析】由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，得TtKo2 二f 2(x)dx 二:二(Asinx)2dx 二-A虧1 一 cos2

14、x ,2dx =n22xf (x)dx =-2二A 2 xd cox 2A000由題V1 =V2,求得A .jiV2 二(17)(本題滿分11分)已知函數(shù) f (x, y)滿足 fx；(x, y) =2(y 1)ex，fx(x,O)x2=(x 1)e，f(0, yy 2y，求f (x,y)的極值.【答案】極小值f(0, -1) = -1【解析】fxy(x, y)二2(y1)ex兩邊對y積分，得1 2x2xfx(x, y)=2(yy)e (x) =(y 2y)e (x),2故 fx(x,O) = ：(x) =(x 1)ex,求得(x)二 ex(x 1),故 fx(x, y) =(y2 2y)ex

15、 ex(V x)，兩邊關(guān)于 x積分，得 f (x, y) =(y2 2y)ex 亠 i ex(1 x)dx二(y2 2y)ex(1 x)dex=(y2 2y)ex (1 x)ex - exdx=(y2 2y)ex (1 x)ex-ex C=(y2 2y)ex xex C由 f (0,y) =y2 2y C =y2 2y，求得 C =0.所以 f (x, y) = (y2 2y)ex xex.，求得丿x = 0fx = (y2 2 y) ex ex xex f；=(2y+2)ex =0又 fxx =(y2 2y)ex 2ex xex,fxy =2(v 1)ex, fyy=2ex,當(dāng) x =0,y

16、 =-1 時，A 二 fxx(0, -1)=1, B 二 fxy(0,-1) =0, C 二 fyy(0,-1) =2 ,2AC - B 0, f(0, -1) = T 為極小值.(18)(本題滿分10分)計算二重積分 nx(x y)dxdy，其中 D - "x, y) x2 y2 _ 2, y _ x2'DH 2 【答案】一-蘭4 5【解析】iix(x y)dxdy 二x2dxdyDD1 2/ 2=2 dx 2 x dy0x2=2 °x1所以函數(shù)f （X）在（-:：，）及（-，：）上各有一個零點，所以零點個數(shù)為2. 2 （20）（本題滿分10分）( 2 x2 x2

17、)dx=2 'x2、2 -x2dx -二5x 2sint714 2sin 2t2cos2tdt2 u謬t ：少=2:sin22tdt 蔦匚角n2udu 飛 (19)(本題滿分11分)已知函數(shù)f Xi；二t2dt X .1 tdt，求f X零點的個數(shù)?【答案】2個【解析】f (x) = - 1 x2 2x. 1 x2 = . 1 x2(2x -1)令f (x) =0,得駐點為X1,211在(-：,_) , f(x)單調(diào)遞減，在(_,：) , f (x)單調(diào)遞增221 故f()為唯一的極小值，也是最小值.2 1 而 f 二1. 1 t2dt 亠 If(b) f(b) f(b) f(b)f(

18、b)-f () f (b f ( ) f (b)( ) f (b)f ()因為(x)0所以f (x)單調(diào)遞增所以 f (b) f ()所以怡一a 0，即X0 a，所以a x0 : b，結(jié)論得證, 1 tdt 二 1. 1 t2dt- 八 1tdt2224 1 二 1.1 t2dt - 1 .1 td - 1 -1 td2 2 4< .1 t，故 1.1 t2dt - 1 , 1 tdt < 02 21從而有f ( ) : 02lim f(x) = lim . 1X X X2t2dt : .fldt2x2 t2dt=+oC=JimFldt _1 t2dtf / +tdt2xJ1 +x

19、2考慮 lim _1Xlim，所以 lim f(x)=:.1 t2dt x 心門 x2x 心30min1后該物體降至30 C，若要將該物體的溫度繼續(xù)降至21 C，還需冷卻多長時間?【答案】30min【解析】設(shè)t時刻物體溫度為x(t)，比例常數(shù)為k( . 0)，介質(zhì)溫度為 m,則dx k(x m)，從而 x(t) =Ce 上七 m， dtx(0) =120, m =20，所以 C TOO ,即 x(t) =100e» 201 1又 x() =30,所以 k= 2ln10，所以 x(t) 口 202100當(dāng)x =21時，t = 1,所以還需要冷卻3 0 min.(21)(本題滿分10分)

20、f '' x 0，證明已知函數(shù)f x在區(qū)間a,+ ： 1上具有2階導(dǎo)數(shù)，f a=0, f x 0, 設(shè)b a，曲線y = f x在點b, f b 處的切線與x軸的交點是 x°,0 , a ： x0 : b .【證明】根據(jù)題意得點 (b, f(b)處的切線方程為y - f (b) = f (b)(x-b)令 y =0，得 x0 =bf (b)因為f (x)0所以f (x)單調(diào)遞增，又因為 f(a) =0所以f (b)0，又因為f (b)0又因為x0 -a =b - a -丄型，而在區(qū)間(a,b)上應(yīng)用拉格朗日中值定理有 0f (b)f(b) -f(a)b -a=f (

21、)/(a,b)所以 -a =b _a'a10、設(shè)矩陣A =1a-1且 A3 =021a >(1) 求a的值；(22)(本題滿分11分)(2若矩陣X滿足X _ XA2【答案】E為3階單位陣，求X .-AX AXA2 - Ea = 0, X =-1-1I2a10010 A3 =0二A=0=1a-1=1-a2a-101a_a1a【解析】=a = 0= a = 0(II)由題意知X -XA2 _AX AXA2 二E= X E _A2 -AX E _ A2E1 12一-J22=E-AX E-A =E= X =E - A E - A i；=仲 - A E - A2 二 X 二 E - A -AS-11、2E-A A= -111 ，廠1-12P -1 1M005-1-1MD-10"-111M010T0-11 M100l1-1 2M001<-1-12M00b廣1-1-1M0-10-1-1M0-10"T01-1M100T01-1M100<0-21 M0-1h衛(wèi)0-1M2 -1b-10憧0-r100M31-2T010M1