面積計(jì)算奧數(shù)題

1、六年奧數(shù)綜合練習(xí)題十答案（圖形面積）簡單的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容. 要會(huì)計(jì)算面積，首先要能識別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會(huì)計(jì)算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫在方格紙上，不但容易識別，而且容易計(jì)算.上面左圖是邊長為4的正方形，它的面積是4X4= 16 （格）；右圖是 3X5的長方形，它的面積是 3X5= 15 （格）.上面左圖是一個(gè)銳角三角形，它的底是 5,高是4,面積是5X4+2= 10 （格）；右圖是一個(gè)鈍角三角形，底是4,高也是4,它的面積是4X4+2 = 8（格）.這里特別說明，這兩個(gè)三角形的高線一樣長， 鈍角三角形的高線有可能在三角形的外

2、面.上面左圖是一個(gè)平行四邊形，底是5,高是3,它的面積是 5X 3= 15 （格）；右圖是一個(gè)梯形，上底是4 ，下底是7，高是4，它的面積是（4+7） X 4+2=22 （格）.上面面積計(jì)算的單位用“格”，一格就是一個(gè)小正方形.如果小正方形邊長是1 厘米， 1 格就是 1 平方厘米；如果小正方形邊長是1 米， 1 格就是 1 平方米 . 也就是說我們設(shè)定一個(gè)方格的邊長是1 個(gè)長度單位， 1 格就是一個(gè)面積單位. 在這一講中，我們直接用數(shù)表示長度或面積，省略了相應(yīng)的長度單位和面積單位 .一、三角形的面積用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個(gè)三角形來計(jì)算面積.三角形面積的計(jì)算公式是：三角形面積=底X

3、高+ 2.這個(gè)公式是許多面積計(jì)算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會(huì)靈活運(yùn)用.例 1 右圖中 BD 長是 4 ， DC 長是2，那么三角形ABD 的面積是三角形ADC 面積的多少倍呢？解： 三角形 ABD 與三角形 ADC 的高相同 .三角形ABD面積=4 X高+ 2.三角形 ADC面積=2 X高+ 2.因此三角形ABD 的面積是三角形ADC 面積的 2 倍 .注意：三角形的任意一邊都可以看作是底， 這條邊上的高就是三角形的高，所以每個(gè)三角形都可看成有三個(gè)底，和相應(yīng)的三條高.例 2 右圖中， BD ， DE ， EC 的長分別是2， 4，是線段AE 的中點(diǎn)，三角形ABC 的高為4.求三

4、角形DFE 的面積 .解：BC= 2+ 4+ 2= 8.三角形 ABC面積=8 X 4 + 2 = 16.我們把 A 和 D 連成線段，組成三角形 ADE ，它與三角形ABC 的高相同，而DE 長是4，也是BC的一半，因此三角形ADE 面積是三角形ABC 面積的一半.同樣道理，EF 是 AE 的一半，三角形DFE 面積是三角形ADE 面積的一半.三角形 DFE面積=16 + 4=4.例 3 右圖中長方形的長是20，寬是 12 ，求它的內(nèi)部陰影部分面積.解： ABEF 也是一個(gè)長方形，它內(nèi)部的三個(gè)三角形陰影部分高都與BE 一樣長 .而三個(gè)三角形底邊的長加起來，就是FE 的長 .因此這三個(gè)三角形的

5、面積之和是FEX BE - 2,它恰好是長方形ABEF 面積的一半.同樣道理， FECD 也是長方形，它內(nèi)部三個(gè)三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長方形ABCD 面積的一半，也就是20 X 12+2= 120.通過方格紙，我們還可以從另一個(gè)途徑來求解. 當(dāng)我們畫出中間兩個(gè)三角形的高線，把每個(gè)三角形分成兩個(gè)直角三角形后，圖中每個(gè)直角三角形都是某個(gè)長方形的一半，而長方形ABCD 是由這若干個(gè)長方形拼成.因此所有這些直角三角形（陰影部分）的面積之和是長方形ABCD 面積的的一半.例 4 右圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個(gè)角是直角，那么四邊形ABCD （陰影部分）

6、的面積是多少？解： 把 A 和 C 連成線段，四邊形ABCD 就分成了兩個(gè)，三角形ABC 和三角形 ADC.對三角形 ABC 來說， AB 是底邊，高是10，因此面積=4X10+2= 20.對三角形 ADC 來說， DC 是底邊，高是8，因此面積=7X8+2=28.四邊形 ABCD面積=20+ 28= 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.例5在邊長為6的正方形內(nèi)有一個(gè)三角形BEF,線段AE=3, DF = 2,求三角形BEF的面積.解： 要直接求出三角形BEF 的面積是困難的，但容易求出下面列的三個(gè)直角三角形的面積三角形 ABE面積=3X6X2= 9.三角形

7、BCF 面積=6X （6-2） +2= 12.三角形 DEF 面積=2X （6-3） +2= 3.我們只要用正方形面積減去這三個(gè)直角三角形的面積就能算出：三角形 BEF 面積=6 X 6-9-12-3 = 12.例 6 在右圖中， ABCD 是長方形， 三條線段的長度如圖所示， M 是線段 DE 的中點(diǎn)， 求四邊形 ABMD （陰影部分）的面積.解： 四邊形 ABMD 中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設(shè)法求出三角形DCE 與三角形 MBE 的面積，然后用長方形ABCD 的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD 的面積 .把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個(gè)三角形.三角形

8、 DCE的面積是7X2+2=7.因?yàn)镸是線段DE的中點(diǎn)，三角形 DMC與三角形 MCE面積相等，所以三角形MCE面積是7+2一.因?yàn)锽E = 8是CE= 2的4倍，三角形 MBE與三角形 MCE高一樣，因此三角形MBE面積是X 4= 14.長方形 ABCD 面積=7X （8+2） =70.四邊形 ABMD 面積=70-7- 14 = 49.二、有關(guān)正方形的問題先從等腰直角三角形講起.一個(gè)直角三角形，它的兩條直角邊一樣長，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個(gè)直角（ 90 度），還有兩個(gè)角都是45 度，通常在一副三角尺中.有一個(gè)就是等腰直角三角形.兩個(gè)一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個(gè)

9、正方形，如圖（ a） .四個(gè)一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個(gè)正方形，如圖（ b） .一個(gè)等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長，從圖（a）知，它的面積是直角邊長的平方+ 2.當(dāng)知道它的斜邊長，從圖（b）知，它的面積是斜邊的平方+ 4例 7 右圖由六個(gè)等腰直角三角形組成. 第一個(gè)三角形兩條直角邊長是8. 后一個(gè)三角形的直角邊長， 恰好是前一個(gè)斜邊長的一半，求這個(gè)圖形的面積.解： 從前面的圖形上可以知道，前一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)拼成的正方形，等于后一個(gè)等腰直角三角形四個(gè)拼成的正方形.因此后一個(gè)三角形面積是前一個(gè)三角形面積的一半，第一個(gè)等腰直角三角形的面積是8X8+2=32.這一個(gè)圖形的面積是32

10、+ 16+ 8+ 4 + 2+ 1 = 63.例 8 如右圖，兩個(gè)長方形疊放在一起，小長形的寬是2， A 點(diǎn)是大長方形一邊的中點(diǎn)，并且三角形ABC 是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少？解： 為了說明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母 D ， E ， F， G.三角形 ABC的面積=2X2-2= 2.三角形 ABC ， ADE ， EFG 都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長，因此三角形ADE面積=ABC面積X 2=4.三角形EFG的斜邊與三角形 ABC的直角邊一樣長.因此三角形 EFG面積=ABC面積+ 2=1.陰影部分的總面積是4+1 = 5.例9如右圖

11、，已知一個(gè)四邊形ABCD的兩條邊的長度AD =7, BC=3,三個(gè)角的度數(shù)：角 B和D是直角，角 A 是 45° .求這個(gè)四邊形的面積.解： 這個(gè)圖形可以看作是一個(gè)等腰直角三角形ADE ，切掉一個(gè)等腰直角三角形BCE.因?yàn)锳 是 45 °，角 D 是 90 °，角E 是180° -45° -90° = 45° ,所以 ADE 是等腰直角三角形， BCE 也是等腰直角三角形.四邊形 ABCD 的面積，是這兩個(gè)等腰直角三角形面積之差，即7X 7 - 2-3 X 3+2 = 20.這是 1994 小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來試題

12、圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué)， 用直線 AC 把圖形分成兩個(gè)直角三角形，并認(rèn)為這兩個(gè)直角三角形是一樣的，這就大錯(cuò)特錯(cuò)了 . 這樣做，角 A 是 45 °，這一條件還用得上嗎？圖形上線段相等， 兩個(gè)三角形相等， 是不能靠眼睛來測定的， 必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過幾何，千萬不要隨便對圖形下結(jié)論 .我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45°和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題 .例10在右圖11X15的長方形內(nèi)，有四對正方形（標(biāo)號相同的兩個(gè)正方形

13、為一對），每一對是相同的正方形，那么中間這個(gè)小正方形（陰影部分）面積是多少？解： 長方形的寬，是“一”與“二”兩個(gè)正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”、 “三”與“二”三個(gè)正方形的邊長之和.長-寬=15-11 =4是“三”正方形的邊長.寬又是兩個(gè)“三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此中間小正方形邊長 =11-4X2 = 3.中間小正方形面積 =3X3= 9.如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了 .例 11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為 1 米的長方形土地（見圖），剩下的長方形土地面積是15.75 平方米 . 求劃出的長方形土地的面積.解： 剩下的長方形土地，我們已知道長-寬=1

14、 （米）.還知道它的面積是15.75 平方米，那么能否從這一面積求出長與寬之和呢？如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了 .我們把長和寬拼在一起，如右圖 .從這個(gè)圖形還不能算出長與寬之和，但是再拼上同樣的兩個(gè)正方形，如下圖就拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和.可是這個(gè)大正方形的中間還有一個(gè)空洞 .它也是一個(gè)正方形，仔細(xì)觀察一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它的邊長，恰好是長方形的長與寬之差，等于1 米 .現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：X 4+1 X 1 = 64 （平方米）.64是8 X 8,大正方形邊長是8米，也就是說長方形的長+寬=8 （米）.因此長=（8+1） +

15、 2=（米）.寬=（米）.那么劃出的長方形面積是X 1 = 4. 5 （平方米）.例 12 如右圖.正方形ABCD 與正方形 EFGC 并放在一起. 已知小正方形EFGC 的邊長是 6， 求三角形AEG （陰影部分）的面積.解： 四邊形 AECD 是一個(gè)梯形.它的下底是AD ，上底是 EC ，高是 CD ，因此四邊形AECD面積=（小正方形邊長 +大正方形邊長）X大正方形邊長+2三角形 ADG 是直角三角形，它的一條直角邊長DG= （小正方形邊長+大正方形邊長），因此三角形ADG面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）X大正方形邊長+2.四邊形 AECD 與三角形 ADG 面積一樣大.四邊形 AH

16、CD 是它們兩者共有， 因此， 三角形 AEH 與三角形 HCG 面積相等，都加上三角形EHG 面積后，就有陰影部分面積=三角形ECG 面積=小正方形面積的一半=6X6-2= 18.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關(guān)，而與大正方形邊長卻沒有關(guān)系 .三、其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少， 請讀者仔細(xì)體會(huì) .例 13 畫在方格紙上的一個(gè)用粗線圍成的圖形（如右圖），求它的面積.解：直接計(jì)算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計(jì)算.周圍小正方形有3 個(gè)，面積為1 的三角形有5 個(gè)，面積為的三角形有1 個(gè)

17、，因此圍成面積是4 X 4-3-5 =.例 6 與本題在解題思路上是完全類同的 .例14下圖中ABCD是6X8的長方形，AF長是4,求陰影部分三角形AEF的面積.解：三角形AEF 中，我們知道一邊AF ，但是不知道它的高多長，直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形AEB ，底邊 AB ，就是長方形的長，高是長方形的寬，即 BC 的長，面積就可以求出 .三角形 AEB 的面積是長方形面積的一半，而擴(kuò)大的三角形AFB 是直角三角形，它的兩條直角邊的長是知道的，很容易算出它的面積.因此三角形AEF面積=（三角形AEB面積）-（三角形 AFB面積）=8X6-2-4 X 8-2=8.這一例題告訴我

18、們，有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形，當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9 的解法，也是這種思路 .例 15 下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16，寬是10. 中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積（陰影部分）有多大？解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底X高.從圖上可以看出，底是2,高恰好是長方形的寬度.因此這個(gè)平行四邊形的面積與10X2的長方形面積相等.可以設(shè)想，把這個(gè)平行四邊形換成10X2的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上（如前頁右圖），草地部分面積（陰影部分）還是與原來一樣大小，因此草地面積=（16-2）

19、 X （10-2） = 112.例 16 右圖是兩個(gè)相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.解：實(shí)際上，陰影部分是一個(gè)梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來求它的面積.陰影部分與三角形BCE 合在一起， 就是原直角三角形.你是否看出， ABCD 也是梯形， 它和三角形BCE 合在一起，也是原直角三角形. 因此，梯形ABCD 的面積與陰影部分面積一樣大.梯形 ABCD 的上底 BC ，是直角邊 AD 的長減去3，高就是DC 的長 .因此陰影部分面積等于梯形 ABCD 面積=（8+8-3） X 5-2=.上面兩個(gè)例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等積變

20、形. 要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對圖形的觀察能力 .例 17 下圖是兩個(gè)直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知AF ， FE ， EC 都等于 3 ， CB ， BD 都等于4.求這個(gè)圖形的面積.解：兩個(gè)直角三角形的面積是很容易求出的 .三角形 ABC 面積=（3+3+3） X 4+2=18.三角形 CDE 面積=（4+4） X 3+2=12.這兩個(gè)直角三角形有一個(gè)重疊部分- 四邊形 BCEG ，只要減去這個(gè)重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出 .因?yàn)閍f = FE= EC = 3,所以 AGF , FGE , EGC是三個(gè)面積相等的三角形.因?yàn)镃B =BD = 4,所以CGB , BGD是兩個(gè)