221橢圓及其標準方程

1、2.2.1橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程雙城市兆麟中學數(shù)學組雙城市兆麟中學數(shù)學組 闞振力闞振力教學目標：教學目標：1掌握橢圓的標準方程，能根據(jù)已知條件求掌握橢圓的標準方程，能根據(jù)已知條件求 橢圓的標準方程。橢圓的標準方程。2能用標準方程判定曲線是否是橢圓。能用標準方程判定曲線是否是橢圓。壓扁壓扁平面內到兩個定點平面內到兩個定點F F1 1、F F2 2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù)（大于大于F F1 1F F2 2）的點的軌跡叫橢圓）的點的軌跡叫橢圓定點定點F F1 1、F F2 2叫做橢圓的焦點叫做橢圓的焦點F1F2P橢圓上的點到兩個焦點的距離之和記為橢圓上的點到兩個焦點的距離之和記

2、為2a 2a ；兩焦點之間的距離：焦距，記為兩焦點之間的距離：焦距，記為2c,2c,即即:F:F1 1F F2 22c.2c.說明說明注意注意a c 0橢圓標準方程的推導：橢圓標準方程的推導：建立直角坐標系建立直角坐標系 列等式列等式求橢圓的方程可分為哪幾步？求橢圓的方程可分為哪幾步？設點坐標設點坐標代入坐標代入坐標化簡方程化簡方程如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?？如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?？原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單； ( (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線 作為坐標軸。作為坐標軸。) )y

3、xoF1F2P建立直角坐標系建立直角坐標系aPFPF221 yxoF1F2P以直線以直線F1F2為為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，軸，建立如圖坐標系。建立如圖坐標系?；喎匠袒喎匠探⒅苯亲鴺讼到⒅苯亲鴺讼翟O點坐標設點坐標代入坐標代入坐標列等式列等式F1F2 2caycxycx2)()(2222 aPFPF221 yxoF1F2P設設P(x,yP(x,y) )為橢圓上的任意一點，為橢圓上的任意一點，F(xiàn)F1 1F F2 22c(c0),2c(c0),則：則：F F1 1(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0)(c,0)以直線以直線F1F2為為x軸，線段軸

4、，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，軸，建立如圖坐標系。建立如圖坐標系?；喎匠袒喎匠探⒅苯亲鴺讼到⒅苯亲鴺讼翟O點坐標設點坐標代入坐標代入坐標列等式列等式2222)(2)(ycxaycx )ca(ayax)ca(22222222 22242222xccxa2a)yccx2x(a cx4a4y) cx(a4222 ,bca222 0b 0 ca0ca22 222222bayaxb 1byax2222 化簡方程化簡方程建立直角坐標系建立直角坐標系設點坐標設點坐標代入坐標代入坐標列等式列等式方程的推導PF2F1以直線以直線F F1 1F F2 2為為y y軸，線段軸，線段F F1

5、1F F2 2的垂直平分線為的垂直平分線為x x軸，軸，建立坐標系建立坐標系。方程的推導PF2F1。aPFPF221 a2x) cy(x) cy(2222 a2y) cx(y) cx(2222 橢圓的標準方程xOyF1F2P)0(12222 babxayF1(0 ,-c)、F2(0, c)下的分母大下的分母大2x下的分母大下的分母大2yxOyF1F2PF1(-c,0)、F2(c,0)0(12222 babyax222cab 最大最大中中、acba1 1、已知橢圓的方程為：、已知橢圓的方程為：則則a_，b_，c_， 焦點焦點坐標為：坐標為：_ ，焦距等，焦距等于于_。該橢圓上一點。該橢圓上一點P

6、到焦點到焦點F1的距的距離為離為8，則點，則點P到另一個焦點到另一個焦點F2的距離的距離等于等于_。11003622 yx2 2、若橢圓滿足、若橢圓滿足: : a5 , c3 , , 求它的標準方程。求它的標準方程。1162522 yx1251622 yx焦點在焦點在x x軸上軸上xOy例例1 1、已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線、已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為是一個橢圓，它的焦距為2.4 m2.4 m，外輪廓線上的點到兩，外輪廓線上的點到兩個焦點的距離和為個焦點的距離和為3 m3 m，求這個橢圓的標準方程，求這個橢圓的標準方程F1F2P解：以兩個焦點解

7、：以兩個焦點F F1 1，F(xiàn) F2 2所在的直線為所在的直線為x x軸，以軸，以線段線段F F1 1F F2 2的垂直平分線為的垂直平分線為y y軸，建立直角坐標軸，建立直角坐標系，則這個橢圓的標準方程為系，則這個橢圓的標準方程為)0( 12222 babyax根據(jù)題意知，根據(jù)題意知，2a=32a=3，2c=2.42c=2.4，即，即a=1.5a=1.5，c=1.2c=1.2。所以。所以b b2 2=a=a2 2-c -c2 2=1.5=1.52 2-1.2-1.22 2=0.81=0.81，因此，因此橢圓的標準方程為橢圓的標準方程為181. 025. 222 yx例例2 2、將圓、將圓x x

8、2 2+y+y2 2=4=4上的點的橫坐標上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊槐３植蛔?，縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得曲線的方程，并說明半，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線它是什么曲線因為因為xx2 2+y+y2 2=4,=4,所以所以x x2 2+4y+4y2 2=4,=4,即即1422 yx yyxx2這就是變換后所得曲線的方程這就是變換后所得曲線的方程, ,它表示一個橢圓它表示一個橢圓oxy解：設所得曲線上任一點解：設所得曲線上任一點P坐標為（坐標為（x x，y y），圓），圓x x2 2+y+y2 2=4=4上上的對應點的對應點PP的坐標為（的坐標為（x,yx,y),),由題意可得由題意可得PP小 結 0ba 1byax2222 0ba 1bxay2222 定定 義義方方 程程焦焦 點點F(c，0)a,b,ca,b,c的關系的關系222cab P|PF1+PF2=2a,2aF1F21