對(duì)數(shù)相關(guān)公式

1、對(duì)數(shù)相關(guān)知識(shí)概述：對(duì)數(shù)是高中代數(shù)中一塊重要內(nèi)容，主要考察對(duì)數(shù)函數(shù)以及與對(duì)數(shù)相關(guān)的 運(yùn)算等(包括各種公式)，在此總結(jié)如下：定義：對(duì)數(shù)源出于指數(shù)a* = N 二 x =loga N， a 0且a=1， N 0常用對(duì)數(shù)：lgN=log1()N ;自然對(duì)數(shù)：In N=logeN，一.代數(shù)基本關(guān)系式.(基礎(chǔ))把指數(shù)式代入對(duì)數(shù)式消去N，得到* (F1) log a ax， a 0 且 a=1， x R以a為底作指數(shù)運(yùn)算小乂 以a為底做對(duì)數(shù)運(yùn)算x 、，說明:xalog a a x特別地，對(duì)應(yīng)x=0和x=1的情況，有* (F1.1 ) loga1 =0， a 0且a=1(F1.2) logaa J a 0且a

2、 = 1把對(duì)數(shù)式代入指數(shù)式消去x，得到(F2)真數(shù)還原：aloga N 二 N，a 0 且 a = 1， N 0說明：N以a為底做對(duì)數(shù)運(yùn)算> loga N沖底做指數(shù)運(yùn)算> alogaN應(yīng)用舉例:1例 1:求值(E1) log32-256;(E2) 27log32 ; (E3) 27log92。1解：(E1) log32log252562* =log25 2 5(E2) 27叫2 =(33 汽23= 33log32 二 3log32=28(E3)為了底數(shù)變?yōu)橄嗤?，先分?27與9的關(guān)系,3327 =33 二 32 2 = 9"，所以27也23= 22.2注：需要使用的指數(shù)恒

3、等式：srar二ars =asr= as ， a_0。做這一類題的關(guān)鍵/ 3 og92923二 9log92 2在于關(guān)注底數(shù)是否相同，底數(shù)不同的想辦法化成同底數(shù)，然后應(yīng)用公式。自己動(dòng)手:(Q1) log7 49 ; (Q2) log 1 8 ; (Q3) log 1 243 ; (Q4) 2也5 ； (Q5) 32log3“227(F3) m logaN = NlogaM，a 0 且 a=1，M , N 0同理 agaNlogaM _(alogaN上面兩式的左邊底數(shù)相同,log指數(shù)的相等由乘法交換律保證著，所以MlogaN =NlogaM 。應(yīng)用舉例：例 1: (E2) 27log32 ; (

4、E3) 27log92解：用(F3)重新做：2 F3(E2) 27log32 =2log327 = 23 = 8 ; (E3) 27叫2 = 2呱27 = 2叫)=2忑=2應(yīng)。注：(F3)可以方便計(jì)算這一類題，在做選擇填空上可以快一點(diǎn)點(diǎn)。Fa <1 -log 5 7自己動(dòng)手:(Q6)箱二.積的對(duì)數(shù)、商的對(duì)數(shù)、;(Q7) 8log3227。幕的對(duì)數(shù)。(重點(diǎn))* (F4) loga MN -logaMlog a N , a0且 a = 1， M , N 0證法一：令M = a"，N = an，那么 m = log a M ， n = log a N，所以loga MN = loga

5、 am an = loga am n = m n = loga M loga N 。證法二：loga MN = loga alogaM alogaN = loga alogaM logaN = loga M loga N。證法一首先引入了輔助的m,n，最后求得結(jié)果后換回M,N。證法二是不引入輔助量而是利用了(卩2)和(F1)。兩種方法基本步驟一樣，沒有本質(zhì)區(qū)別。(F4.1)擴(kuò)展到多個(gè)數(shù)的積的情況：a 0且a胡，2小2,山，山 0loga N1NJ|Nk JogaN logaU 川 g N* (F5) loga M = loga M -loga N , a 0且 a =1， M , N 0N*

6、(F6) log a M n 二 n loga M，a 0且 a = 1，M 0，n R證法一：令M二am，那么m = log a M，所以證法二：loga M n =logalogaMn=loga am =logaamn 二 mn 二 nlogaM。alogaM n =loga anlogaM =nlogaM。應(yīng)用舉例:例 2:求值：(E8) Ig2+lg5 ； (E9) log3 72 3log 3 2 ; (E10) Ig14 2lg ?+lg 7 Ig18 ;3(E11) lg 2lg 50 lg25 ;解：(E8) lg2 lg5 = lg 2 5 =lg10 J ;(E9) Iog

7、3 72-3log32 =log3 72 Iog3 2=log3 72 2 =log39 = 2 ;/L"、7(7(E10) log5142log5-+log57log518 =log5 14 江一 I x7xi8 |=log51=03L13丿注：把所有減法做成加法，把所有除法做成乘法。(E11) lg2lg 50 lg25 = lg 2 lg 2 52lg25 = lg2 lg2 2lg5 lg252 2 2=lg 2 2lg 2lg5 lg 5 = lg 2 lg5 1例 3: (E12)已知砸玄18二m , log a 2 n , a 0 且 a=1，求 log a 1.5。分

8、析：質(zhì)因數(shù)分解：18=2 32，24 =23 3，而1.5 =2 J 3，它們都由以2或3為 底的幕所“組成”。注意這里要解一元二次方程組。解：因?yàn)?loga18 =loga2 2log a3 =m(1)同理 loga 24 =3log a 2 loga 3 =n(2) 從上面兩式解出loga2和loga3 ( m和n是已知量，把loga 2和loga3看作未知量) 2 1(2 )2-(1) :5loga2=2nm= loga2nm5531(1)3-(2 ):5loga3=3m-n =loga 3mn55所以 loga1.5 =loga 3 -loga 2 = 4 m - 3 n55自己動(dòng)手:

9、1 2(Q8 2log5 10 log 5 0.25 ； (Q9 lg_lg25 ； (Q10 lg22 lg 5lg 20 ； 4(Q11) lg2 5 2lg 2-lg22 ；(Q12已知lg2=a，lg3 =b，lg7=c，求下列各式的值：5(Q12.1) lg105 ； (Q12.2) lg75 ； (Q12.3) lg2.8 ； (Q12.4) lg6三：對(duì)數(shù)式連鎖。(這個(gè)恒等式比較難，有興趣的同學(xué)可以看一下)Byy（F7） log_： log-： = log 一 , :，:. 0,1 U 1,二，0。（類比：CL P CL證明：記n = log甘，應(yīng)用（F6）與（F2）,有l(wèi)og

10、log -：二 n log - - log n =log ：. "ogF =log ：.。（F7.1）擴(kuò)展應(yīng)用:： o,r,:三 i0,1 U 1, = , ：r 0log ：o ： i log：2 III log：njn log =log n1-"-2. .-<n 1 、fnn類比： n n%«15/C（njL«0應(yīng)用舉例: 例 4： （ E13） loga blogb clog c a ；（ E14） log23log 34。解：由（F7.1）: （E13） logablogbclogca = logaa =1，a,b,c 0,1 U 1,：。

11、（E14） log23log 3 4 = log2 4 = 2自己動(dòng)手：（Q13 log 54log 4 3log 3 2log 2 5 ； （ Q14 log45log 5 6log 6 7log 78。四：換底公式。（既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)）b b/ c、J贏）前面的恒等式的變換（F1 F6）都沒有觸及底數(shù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算大多要求底數(shù)相同， 當(dāng)?shù)讛?shù)不同時(shí)，對(duì)底數(shù)進(jìn)行變換令其變?yōu)橄嗤浅１匾?所以換底公式是為了在 運(yùn)算中統(tǒng)一底數(shù)，降低運(yùn)算難度而出現(xiàn)的。*（ F8） logab 二 ，a,c 0,1 U 1, ：，b 0。（類比：logca證法一:證法二:注意到,的形式,由（F7）得 logca lo

12、gab=logcb，即 log a。logcaloga b =皿丄log冷屛1 =夕令 a =c-， b = c 一，那么=logc a，- = logc b，所以logcb。logca換底公式從左到右的應(yīng)用過程中，底數(shù)由 a變?yōu)閏,右邊成為對(duì)數(shù)的商 其中c可以在0,1 U 1,=范圍內(nèi)根據(jù)實(shí)際情況任意選取。只需對(duì) c取些特殊值，便可得到換底公式一些常用形態(tài)。（F8.1 ）取 c=10，logab 二皿；lg aIr> K(F8.2 )取 c二e, gb二;In a1底數(shù)與真數(shù)互換之后的log ba(F8.3)取 c=b， loga b，即 logab logba=1，對(duì)數(shù)式與原對(duì)數(shù)式互

13、為倒數(shù)；s*（F8.4） log rMs= logaM，a：0且a1，Ma0 , a r證明：用換底公式（F8），把底數(shù)換成a，得到logar M saiogaMsloga ar再應(yīng)用（F6）二型0魚M，結(jié)合起來便得到（F8.4）。r與（Fl），有匹Mloga a恒等式（F8.4）是恒等式（F6）的增強(qiáng)版本。,對(duì)數(shù)式的成為Iog4 9 ,（F8.5）對(duì)數(shù)式中，底數(shù)和真數(shù)同時(shí)進(jìn)行同指數(shù)乘方（該指數(shù)非零）值不變loga M = logan M n， a>0且 a1， M >0， n0這樣底數(shù)a可以換成與之關(guān)系比較密切的an，例如log?3可以“擴(kuò)充” 也可以“收縮”成為log、&quo

14、t;3，也可以“倒轉(zhuǎn)”成為log! -，視乎需要使用。2 3（F8.6）多個(gè)對(duì)數(shù)式連乘積中，將所有真數(shù)以任意順序重排，將所有底數(shù)以任意 順序重排，得到新的對(duì)數(shù)式連乘積的值與原式相等。這個(gè)公式寫出來比較麻煩，下面用例子說明：如log34log56log78log910真數(shù)是：4,6,8,10，底數(shù)是：3,5,7,9，我們把真數(shù)隨意重排：6,10,8,4，底數(shù)重排后：7,5,3,9，新的對(duì)數(shù)式 log7 6log 510log 3 8log 9 4log3 4log 5 6log 7 8log 910lg 4 lg 6 lg8 lg10 lg3 lg5 lg 7 lg9log 6log 10八 c

15、, 4 lg6 lg10 lg8 lg 4 log 7 6log 510log 3 8log 9 4 -lg7 lg5 lg3 lg 9觀察上面兩式右邊，分子和分母分別都只是順序不同而已，乘法交換律保證了兩 對(duì)數(shù)式連乘積的相等。log 3 4log 5 6log 7 8log 910 = log 7 6log 510log 3 8log 9 4應(yīng)用舉例:111例 5： （E15）log2log?-log5-；（E16） log4 3 log8 3 log32 Iogg2。2589解:（E15）對(duì)數(shù)式的連乘，與對(duì)數(shù)式連鎖有點(diǎn)相似，但稍微復(fù)雜，應(yīng)用換底公式1 1 112 lg 2 lg3 lg5l

16、og 1 log1 log1lg25lg8lg9-2lg5 -3lg 2-2lg3log 2 log 3 log 512589lg 2Ig3Ig5另外，應(yīng)用（F8.6 ），保持真數(shù)順序不變，底數(shù)2,3,5重排為：5,2,3，有111 111log2 25log3 8log5 9 "log5 25log2 8log3 -21 i 3 i 2 = -12(E16)括號(hào)之內(nèi)底數(shù)不同，不能直接相加，全部換成常用對(duì)數(shù)log4 3 log8 3 logs 2 log9 2 =YIg2 十 Ig2 1 丄 12lg2 392人麗+血lg3 lg32 3 Ig2 2 lg3 4例 6： （ E17）

17、已知 log2 3 二 a，log3 7 二 b，試用 a， b 表示 log42 56 ；(E18)已知 log3 2 二 a， log5 2 二 b，試用 a， b 表示 log 30 90。解：（E17）解法一：全部換成常用對(duì)數(shù)Ig3a = log2 3Ig3 = a lg 2， b = log3Ig27 = =Tg 7 = b lg3 =Tg 7 二 ab lg 2 lg3(這樣lg 3 , lg 7都可以用a , b , lg 2表出,代入后便可以達(dá)到消元的目的）嘰56”*3lg 2 ablg23 abIg42 一 Ig2 Ig3 lg lg 2 alg 2 ablg 2 一 1 a

18、 ab解法二：事實(shí)上，如果把底數(shù)統(tǒng)一換成2或3的話，log23二a，log37二b兩個(gè)式子中有一個(gè)不用變換底數(shù)，會(huì)比較方便,這里以3為例a - log2 3 二1 二 log32) alogs 23 .1 + b log4256 二啞63log32 log37亠_log3 42Iog3 2 Iog3 3 Iog3 71 1ba 3 ab1 a ab（E18）題目條件給出的是log32二a，log52二b，般來說，把底數(shù)換成2，3或5都可以使問題簡(jiǎn)化，這里以2為例（事實(shí)上，把底數(shù)換成3或5運(yùn)算量更少）。1 1 11a =log3 2log2 3， log 5 2log 2 5 =-“alog 2

19、 5blog 2 3log 2 51 1log 90 log2 90 log 2 2 + 2log 2 3 + log 2 5a b a 十 2b + ablog 30 90 = log2 30log2 2+log23 + log251+a ba b ablog2 3)a b ab（或 log30 90 = 1 logs。3 = 121 atIog2 2 + log2 3 + log2 51+2+la b注：這里解題關(guān)鍵是注意觀察，熟悉質(zhì)因數(shù)分解和對(duì)數(shù)運(yùn)算恒等式，以及選取適當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底。1 1 1例7：（ E19）已知正數(shù)x,y,z滿足：3x=4y=6z，求證：丄丄 1 ； z x 2y(E20)已知 logaX=2，logbX=3，logcX=6，求 log abcx 的值。（E19）證明：引入設(shè)而不求的未知數(shù)，令 3x =4y =6z =t，那么x = gt， y 二 log4t， z 二 gt（觀察上面三式，真數(shù)相同而底數(shù)不同，所以把底數(shù)統(tǒng)一換成 利用（F8.3），可得t將會(huì)方便運(yùn)算）1logt 3 二一x11，logt 4， logt6 二一yz、1 1所以logt 6 - logt 3