高考數(shù)學(xué)試題中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

1、高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家高考數(shù)學(xué)試題中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用山東省棗莊市第二中學(xué)（郵編:277400） 張慧敏1.數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)為研究其對應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結(jié)合起來，解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法它能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化,在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用 具體地說，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)

2、量關(guān)系的討論 2.運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：高考資源網(wǎng)（WWW） (1)等價性原則要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來的負面效應(yīng)； (2)雙方性原則既要進行幾何直觀分析，又要進行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯； (3)簡單性原則不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二是選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三是要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線為佳 3.數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，不僅在解決選擇題、填空題顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學(xué)問題中常起到

3、事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強，其發(fā)展趨勢不容忽視歷年的高考都有關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的考查，且占比例較大 4.高考試題對數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及： (1)考查集合及其運算問題韋恩圖與數(shù)軸； (2)考查用函數(shù)圖象解決有關(guān)向題（如方程、不等式等問題）； (3)考查運用向量運算解決的有關(guān)問題； (4)考查三角函數(shù)圖象及應(yīng)用； (5)數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用； (6)數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達式幾何意義的應(yīng)用；(7)解析幾何中的數(shù)形結(jié)合一.解決集合、函數(shù)問題利用韋恩圖、數(shù)軸及常見函數(shù)圖象例1 設(shè)A=x|-2x<a，B=y|y=2x+3且xA，

4、C=z|z=x2且xA，若CB，求實數(shù)a的取值范圍點撥 解決集合問題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為數(shù)學(xué)語言，進而分析條件與結(jié)論特點，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決解析 y=2x+3 在-2,a上是增函數(shù)，-1y2a+3，即B=y|-1y2a+3，作出z=x2的圖象，該函數(shù)定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下： (1)當(dāng)-2a0時，a2z4,即C=z|a2z4，要使CB，必須且只需2a+34,得a，與-2a<0矛盾.(2)當(dāng)0<a2時，0z4，即C=z|0z4，要使CB，由圖可知：必須且只需解得a2.(3)當(dāng)a>2時，0za2，即C=z

5、|0za2，要使CB，必須且只需，解得2<a3.(4)當(dāng)a<-2時，A=，此時B=C=，則CB成立，綜上所述，a的取值范是(-,-2),3.拓展提升: (1)解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C,進而將CB用不等式這一數(shù)學(xué)語言加以轉(zhuǎn)化，借助數(shù)形結(jié)合思想解決(2)韋恩圖、數(shù)軸，不僅可以使各集合之間的相互關(guān)系直觀明了，而且也便于將各元素的歸屬確定下來，使抽象的集合問題，通過直觀形象的圖形解決，為問題的解決創(chuàng)設(shè)有益的情景練習(xí):一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（ ）（A） (B) (C) (D)【分析及解】這是一道函數(shù)

6、,數(shù)列,函數(shù)圖象綜合在一起的選擇題,需要通過數(shù)列的性質(zhì)研究函數(shù)圖象的特征.實際上,只要設(shè),則有且,并對所有都成立,因此選(A).二.解決方程、不等式問題利用數(shù)軸法和圖象法來解決例2 若方程1g(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有惟一的實數(shù)解，求a的取值范圍 解析 方法一：原方程可化為：x2+20x=8x-6a-3， 即x2+12x=-6a-3，(x+6)2=-6a+33，欲使方程有根須：-6a+330，即這時兩根為.x2+20x>0，x>0或x<-20.(1)-6+<-20，或-6+>0.即<-14（無解）或>6，解得：(2)-6->0

7、(無解）或-6-<-20,即14，解得.綜上所述當(dāng)時，有兩根當(dāng)時僅有一根.故時方程有惟一實數(shù)根.方法二： 原方程等價于即x2+12x+3=-6a(x0或x<-20），由數(shù)想形，令C: y=x2+12x+3=(x+6)2-33(x0或x<-20)，再令l：y=-6a,原方程有惟一解，即直線l與拋物線C有惟一交點，從圖中可知，當(dāng)x=-20時，y=163；當(dāng)x=0時，y=3，當(dāng)3-6a163，即時，原方程有惟一實數(shù)解方法三：原方程等價于即方程x2+12x+6a+3 = 0在(-,-20)(0, +)上有惟一實數(shù)根令f(x)=x2+12x+6a+3,其圖象在(-,-20)(0, +)

8、內(nèi)和x軸有且只有一個交點，如圖函數(shù)f(x)=x2+12x+6a+3的圖象開口向上，對稱軸方程為x=-6.拓展提升 對照以上三種解法，顯然解法二、三其有很大的優(yōu)越性(1)解決這類問題時要注意準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域(2)用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式（有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解(3)在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；要正確確定參數(shù)的取

9、值范圍，以防重復(fù)和遺漏；精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于問題求解誤區(qū)警示：作圖時，圖形相對位置不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯誤練習(xí):設(shè)定義域為R的函數(shù)，則關(guān)于的方程有7個不同實數(shù)解的充要條件是（ ）(A) 且 ( B)且 (C)且 (D)且【分析及解】畫出函數(shù)的圖像,該圖像關(guān)于對稱,且,令,若有7個不同實數(shù)解,則方程有2個不同實數(shù)解,且為一正根,一零根.因此, 且,故選(C).三.解決三角函數(shù)、平面向量問題借助單位圓及三角函數(shù)線和三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決；聯(lián)想一些特殊的圖形，用向量的有關(guān)概念及運算解題例3 設(shè)關(guān)于的方程在區(qū)間(0,)內(nèi)有相異的兩個實根、.(1

10、)求實數(shù)a的取值范圍； (2)求的值點撥 (1)若令x = cos, y = six,則由題設(shè)知直線：,與圓=1，有兩個不同的交點(cos, sin)和(cos, sin) ,運用直線與圓的位置關(guān)系可求得a的范 圍及的值 (2)可將原方程化為，原問題可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點時，求a的范圍及的值 解析 方法一：(1)設(shè)x = cos, y = six,則由題設(shè)知，直線：與圓=1有兩個不同的交點 A(cos, sin)和B(cos, sin) 所以原點O到直線l的距離小于半徑1，即又、,且直線l不過點(1，0)，即，即(2)如右圖，不妨設(shè)xOA=,xOB=，作OHAB，垂足為H

11、,則方法二：（1）原方程可化為，作出函數(shù)的圖象.由圖知，方程在內(nèi)有相異實根的充要條件是(2)由圖知：當(dāng),即時，直線與三角函數(shù)的圖象交于C、D兩點，它們中點的橫坐標(biāo)為,.當(dāng)，即時，直線與三角函數(shù)的圖象有兩交點A、B，由對稱性知，,綜上所述, 或拓展提升 (1)此題若不用數(shù)形結(jié)合法，用三角函數(shù)有界性求a的范圍，不僅過程繁瑣，而且很容易漏掉a的限制，而從圖象中可以清楚地看出當(dāng)a=時，方程只有一解(2)在解決三角函數(shù)的有關(guān)問題時，若把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖象之中，將數(shù)(量)與圖形結(jié)合起來進行分析、研究，可使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來，這是解決三角函數(shù)問題的一種有效的思維策略誤區(qū)警

12、示：本例在得到后，由易誤得而導(dǎo)致結(jié)果錯誤練習(xí):設(shè)函數(shù)f (x)的圖象與直線x =a，x =b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f (x)在a，b上的面積，已知函數(shù)ysinnx在0，上的面積為（nN*），（i）ysin3x在0,上的面積為；（ii）ysin（3 x）1在，上的面積為 .【分析及解】本題給出了ysinnx在0，上的面積為,需要由此類比ysin3x在0,上的面積及ysin（3x）1在，上的面積,這需要尋求相似性,其思維的依據(jù)就是已知條件給出的面積的定義和已知函數(shù)的面積,因此要研究這個已知條件,要注意已知條件所給出的是半個周期的面積,而第(1)問則是時一個周期的面積,第(2)問又是ysin

13、3x經(jīng)過平移和翻轉(zhuǎn)后一個半周期的面積,畫出ysin（3 x）1在，上圖像,就可以容易地得出答案.四.解決幾何問題幾何問題代數(shù)化，借助解方程（組）、不等式（組）、向量坐標(biāo)運算來確定圖形關(guān)系例4 已知定點A(0，t)(t0)，點M是拋物線y2=x上一動點,A點關(guān)于M的對稱點是N. (1)求N點的軌跡方程； (2)設(shè)(1)中所求軌跡與拋物線y2=x交于B、C兩點，求當(dāng)ABAC時，t的值 點撥 求解第(1)問，要抓住A,N關(guān)于M的對稱關(guān)系；而求t的值，要找到ABAC的斜率條件，并設(shè)法運用這一斜率條件來列出關(guān)于t的方程解析 (1)設(shè)M(x0,y0)、N(x,y),即(y+t)2=2x為所求軌跡方程 (2

14、)由得y2-2ty-t2=0.=8t2>0，交點存在設(shè)B(xl，y1)、C(x2，y2),若ABAC,則kAB·kAC=-1，拓展提升 曲線是軌跡的幾何形式，具有直觀形象的優(yōu)點，在坐標(biāo)系中通過點的坐標(biāo)建立起曲線的方程，方程是軌跡的代數(shù)形式，便于運算，具有可操作性的優(yōu)點，曲線和方程是同一軌跡的兩種表示形式，在不同形式下各有所長，把二者緊密結(jié)合起來，能揚長避短，各得其所因此充分利用平面直角坐標(biāo)系，使數(shù)形緊密結(jié)合起來，以便發(fā)揮各自的優(yōu)勢誤區(qū)警示：解答易忽視轉(zhuǎn)化的等價性，若涉及求曲線的交點問題，一般轉(zhuǎn)化為方程（組）的問題來解決，即借助“代數(shù)運算”以解決“幾何問題”.類題練習(xí):1.如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則 ;【解析】如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則根據(jù)橢圓的對稱性知，同理其余兩對的和也是，又， =352.已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，實數(shù)，若，則