2019屆高三模擬考試試卷數(shù)學試題

1、2021屆高三模擬考試試卷數(shù) 學總分值160分，考試時間120分鐘2021.1s 1While 1<8I I + 2S 2I + 3End While Print S第4題5假設從2, 3, 6三個數(shù)中任取一個數(shù)記為a,再從剩余的兩個數(shù)中任取一個數(shù)記為b，那么“：是整數(shù)的概率為W . =丄£一亍：.其屮了 =丄£$ *參考公式：樣本數(shù)據(jù)X1 , X2,，xn的方差一、 填空題：本大題共14小題，每題5分，共70分.1. 集合 A = 0 , 1 , 2, 3 , B = x|0<xw 2，貝U AA B=W.2. 復數(shù)z= 2 i2i是虛數(shù)單位，貝U z的模為W

2、.3. 一組樣本數(shù)據(jù) 5, 4, X, 3, 6的平均數(shù)為5,那么該組數(shù)據(jù)的方差為 W.4. 運行如下列圖的偽代碼，那么輸出的結果S為W.6假設拋物線 y2 = 2px(p>0)的焦點與雙曲線x2 = 1的右焦點重合，那么實數(shù)p的值為W.17. 在等差數(shù)列an中，假設a5= 2, 8a6 + 2a4= a2,那么an的前6項和S6的值為W.8. 正四棱錐的底面邊長為2 ,3，高為1,那么該正四棱錐的側面積為 W.9. a, b R，函數(shù)f(x)= (x 2)(ax+ b)為偶函數(shù)，且在(0,+ )上是減函數(shù)，那么關于 x的不等式f(2 x)>0的解集為 W .1 110. a>

3、;0, b>0，且a + 3b=£ a，貝卩b的最大值為 W.n11. 將函數(shù)f(x)= sin 2x的圖象向右平移 個單位長度得到函數(shù) g(x)的圖象，那么以函數(shù) f(x)與g(x)的圖象的相鄰三個交點為頂點的三角形的面積為 W.->3 ?12. 在厶 ABC 中，AB = 2, AC= 3, / BAC = 60°, P ABC 所在平面內一點，滿足 CP = ?PB +2PA,那么Cp Ab的值為w .13. 在平面直角坐標系 xOy中，圓 C1： x2 + y2+ 2mx (4m+ 6)y 4= 0(m R)與以C2( 2,3)為圓心的圓相交于 A(X1

4、, y1), B(X2, y2)兩點，且滿足x? x2= y2 y2,那么實數(shù)m的值為W.14. x>0, y>0, z>0,且 x+ .3y+ z= 6,貝U x3+ y2+ 3z 的最小值為 W.二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15. (本小題總分值14分)亠亠2n在厶 ABC 中，sin A= 3, A, n ).(1) 求sin 2A的值；1(2) 假設sin B = 3，求cos C的值.16. (本小題總分值14分)如圖，在直三棱柱 ABCAiBiCi中，D, E, F分別是BiCi, AB, AAi的中點.(

5、1)求證：EF /平面 AiBD; 假設AiBi = AiCi，求證：平面 AiBD丄平面 BBiCiC.JieFfAcLKi17. (本小題總分值14分)如圖，某公園內有兩條道路AB, AP，現(xiàn)方案在 AP上選擇一點 C,新建道路 BC,并把 ABCn所在的區(qū)域改造成綠化區(qū)域 / BAC = , AB = 2 km.6(1) 假設綠化區(qū)域 ABC的面積為1 km2，求道路BC的長度；(2) 假設綠化區(qū)域 ABC改造本錢為10萬元/km2,新建道路 BC本錢為10萬元/km.設/ ABC =2 nqo< 0<-y)，當B為何值時，該方案所需總費用最小？18. (本小題總分值16分)

6、如圖，在平面直角坐標系 xOy中，橢圓C: a2+ b= 1(a>b>0)的離心率為且右焦點到右準線I的距離為1.過x軸上一點M(m, 0)(m為常數(shù)，且 m (0, 2)的直線與橢圓 C交于A, B兩點, 與I交于點P, D是弦AB的中點，直線 OD與I交于點Q.(1) 求橢圓C的標準方程；(2) 試判斷以PQ為直徑的圓是否經過定點？假設是，求出定點坐標；假設不是，請說明理由.yi廠*1T19. (本小題總分值 16 分 )函數(shù) f(x)= (x a)ln x(a R).(1)假設a= 1，求曲線y= f(x)在點(1, f(1)處的切線的方程； 假設對于任意的正數(shù)x, f(x)

7、 > 0恒成立，求實數(shù)a的值;(3) 假設函數(shù)f(x)存在兩個極值點，求實數(shù) a的取值范圍.20. (本小題總分值16分)數(shù)列an滿足對任意的 n N*，都有 an(qnan 1) + 2qnanan+1 = an+i(1 qnan+1),且 an+1 + anM 0, 其中 a1= 2, qz 0.記 Tn = a1+ qa2 + q2a3+ qn 1an.q ii(1) 假設q= 1，求T2 019的值；I1I(2) 設數(shù)列bn滿足 bn= (1 + q)Tn q*« 求數(shù)列bn的通項公式； 'I 假設數(shù)列 Cn滿足C1= 1,且當nA 2時，cn= 2bn 1 1

8、，是否存在正整數(shù) k, t，使C1, ck C1, Ct Ck成等比數(shù)列？假設存在，求出所有k, t的值；假設不存在，請說明理由 .2021屆高三模擬考試試卷II數(shù)學附加題Ii1(總分值40分，考試時間30分鐘)1I21. 【選做題】 在A , B, C三小題中只能選做 2題，每題10分，共20分.假設多做，那么按作答的前兩題計分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟A. (選修42:矩陣與變換)矩陣A =01, B =20 ，求A _1B2 318'B. (選修44:坐標系與參數(shù)方程)在極坐標系中，曲線C: P= 2cos e .以極點為坐標原點，極軸為x軸非負半軸建立平面

9、直角坐標系xOy,設過點A(3, 0)的直線I與曲線C有且只有一個公共點，求直線I的斜率.C. (選修45:不等式選講)函數(shù)f(x)= |x 1|.(1)解不等式 f(x 1) + f(x+ 3)> 6;b 假設|a|<1, |b|<1，且0，求證：f(ab)>|a|f(b).a【必做題】 第22, 23題，每題10分，共20分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演 算步驟22. 如圖， 在三棱錐 DABC 中，DA 丄平面 ABC,/ CAB = 90。，且 AC = AD = 1, AB = 2, BD的中點(1) 求異面直線AE與BC所成角的余弦值;(2) 求

10、二面角ACEB的余弦值23. 數(shù)列an滿足ai = 3,an+1= 2an+ 2an, n N*.1(1)用數(shù)學歸納法證明：an (0, )；1(2)令 bn =an,求證：2021屆高三模擬考試試卷五蘇北三市數(shù)學參考答案及評分標準1. 1 ,22. 53.24.2111513n5. 36.4 7. y 8. 8,39. 0,410. -11. 12.13. 614.3742n15.解：1由 sin A = 3，A y,n ，貝U cos A =1 sin 2a=, 1彳2=-3 , 2 分所以 sin 2A = 2sin Acos A = 2X-x 亞=4-5.6 分3 39n1- 32=警

11、，8 分2由A ,n ，貝V B為銳角.又 sin B = 3，所以 cos B =1 sin 2B = 所以 cos C= cos A+ B = cos Acos B sin Asin B12 分,V5、,2a/22、,12師 + 2 八=刁-2x 1=.14 分16. 證明：1因為E, F分別是AB, AA1的中點，所以EF / AB.3分因為EF?平面A1BD , A1B?平面A1BD ,所以EF /平面A1BD.6分2在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1丄平面 A1B1C1.因為 A1D?平面A1B1C1,所以BB1丄A1D. 8分因為A1B1 = A1C1，且D是B1C1的中點，

12、所以A1D丄BQ.10分因為 BB1A B1C1= B1, B1C1, BB1?平面 BB1C1C,所以A1D丄平面BB1C1C.12分因為 Aid?平面 AiBD , 所以平面 AiBD丄平面 BBiCiC. 14分n17. 解：1在厶 ABC 中，/ BAC=g，AB = 2 km ,1 n所以 ABC 的面積 S=X ABX ACX sin = 1，解得 AC= 2.2 分2 6n 在厶 ABC 中，由余弦定理得 BC2= AB2+ AC2-2 X ABX AC X cos 6=22+ 22-2 X 2X 2X cos -n = 8 4 3, 4 分所以 BC=8 4 .3 = 6 .2

13、km.5 分2由/ABC = 0,那么/ ACB =nn0+ 百,2 n 可.AC _ BC _ ABsin B sin A sin C'n在厶ABC中，/ BAC =, AB= 2 km，由正弦定理得62sin 01 一2所以 BC=, AC=.7 分nnsin0+ sin0+ _記該方案所需費用為F( 0),那么 F 0= 1x sin2sin 0n0+76x 2x 2x 10 +1nsin 0+ _6、10sin 0 + 12n八x 10 =n 0< 0<_y.1o 分sin 0+ G6令f0=血竺_23sinn、sin 0-"310 +，cos 01+ 2

14、込 1 .11 分-sin 0 + ?cos 02n由f' 0= 0,得0=石.n所以當0 0,石時，f' 00, f0單調遞減;當 張n6，牛時，f' B0, f0單調遞增.12分n所以當e =戸時，該方案所需費用最小6n答：當 社百時，該方案所需總費用最小.14分18解：1設橢圓的右焦點為c, 0，由題意，得c=J2a 2a217 - c =1,解得a= . 2,c= 1,所以a2 = 2, b2 =1,所以橢圓C的標準方程為X2 + y2 =1.4分2由題意，當直線AB的斜率不存在或為零時顯然不符合題意 設AB的斜率為k,那么直線AB的方程為y= kx m.又準線

15、方程為x = 2,所以點P的坐標為P2, k2 m.6分y = kx m，由 x2+ 2y2= 2,得 x2+ 2k2(x-m)2 = 2,即(1 + 2k2)x2 4k2mx+ 2k2m2 2 = 0,1所以xd =4k2m2k2m2k2m、km瑋=h, yD=k(2?rrm)=右,(8分)所以koD =*從而直線OD的方程為y=刃,1所以點Q的坐標為Q2, 1,(10 分)所以以PQ為直徑的圓的方程為(x 2)2+ y k(2 m)(y+ 十)=0,因為該式對？k豐0恒成立，所以：撫+ 2+ m + y2= 0,解得專：0± 2- 所以以PQ為直徑的圓經過定點(2 土.2 m,

16、0).(16分)19. 解：(1)因為 f(x)： (x a)ln x(a R)，所以當 a: 1 時，f(x):(x 1)ln x,1那么 f 'x)： In x+ 1 一.(1 分)x當 x： 1 時，f(1): 0, f' (1) : 0,所以曲線f(x)在點(1, f(1)處的切線的方程為y：0.(3分) 因為對于任意的正數(shù)x, f(x) > 0恒成立，所以當 Inx： 0,即卩 x： 1 時，f(x)： 0, a R； (5 分)當In x>0 ,即卩x>1時，x>a恒成立，所以a< 1;(6分)當In x<0，即卩x<1時，

17、x<a恒成立，所以a> 1.綜上可知，對于任意的正數(shù)x, f(x)> 0恒成立，a : 1. (7分)因為函數(shù)f(x)存在兩個極值點，a所以f' x)： In x - + 1存在兩個不相等的零點.x、ra ，1 a x+ a設 g(x):In x a + 1，那么 g x)：+ *：-.(8 分)當a> 0時，g' (x)>0 ,所以g(x)單調遞增，至多一個零點.(9分)當 a<0 時，x (0, a)時，g' (x)<0, g(x)單調遞減，x ( a,+s )時，g' (x)>0, g(x)單調遞增，所以 x

18、： a 時，g(x)min: g( a): ln( a)+ 2. (11 分)因為g(x)存在兩個不相等的零點，所以ln( a)+ 2<0,解得一e 2<a<0. 1因為一e 2<a<0，所以一>e2> a.a11因為 g(-) = ln(-)+ a2+ 1>0，所以 g(x)在(-a,+ )上存在一個零點.(13 分) aa- 11 因為一e 2<a<0，所以 a2< a.又 g(a2) = In a2F 1 = 2ln( a)+ 1,a a1 1設 t = a，那么 y= 2ln t + - + 1(0<t<g)

19、.2t一 111因為 y'=-2 <0,所以 y= 2ln t+ - + 1(0<-<-2)單調遞減.tte1又函數(shù)圖象是連續(xù)的，所以y>2ln -2+ e2+ 1= e2-3>0,e1所以g(a2)= In a2-1+ 1>0，所以在(0，一 a)上存在一個零點 綜上可知，e-2<a<0.(16分)20. 解：(1)當 q= 1 時，由 an(qnan 1) + 2qnanan+1= an+1(1 qnan+1),得(an +1+ an)2= an+ 1+ an.又 an+ 1 + anM 0,所以 an+ 1 + an= 1.(2 分

20、)又 a1= 2,所以 T2 019= a1+ (a2 + a3)+ (a4 + a5) + + (a2 018 + a2 019)= 1 011.(4 分)(2) 由 an(qnan 1)+ 2qnanan+1= an+1(1 qnan+1), 得 qn(an+1+ an)2= a*+1 + an.又 an+ 1 + an M 0,所以1八an+ 1 + an= qn.(6 分)M因為 Tn= a1 + qa2 + q2a3+ + qn 1an,所以 qTn= qa1 + q2a2 + q3a3+ + qnan,所以(1 + q)Tn= a1 + q(a1 + a2)+ q2(a2+ a3)

21、+ q3(a3+ a4)+ qn 1(an1 + an) + qnan,bn = (1 + q)T n q"an= a1 + 1 + 1 + 1 + q"an q"an = a1 + n 1 = n + 1,所以 bn= n+ 1.(10 分) 由題意，得 Cn= 2bn-1 一 1 = 2n 1, n?2.因為 c1， ckc1，ctck 成等比數(shù)列，所以(Ck一 ci)2= ci(ct Ck),即(2k 2)2= 2l 2k,(12 分)所以 2t= (2k)2 3 2+ 4,即2 = (2k 1)2 3 2一2+ 1 (*).由于Ck ci豐0,所以kz 1

22、，即卩k> 2.當 k= 2 時，2七=8，得 t = 3.(14 分)當k> 3時，由(*)得(2k 1)2 32 2+ 1為奇數(shù)，所以t 2 = 0, 即卩t= 2,代入(*)得22k一2 2= 0, 即卩2k= 3,此時k無正整數(shù)解綜上， k= 2， t= 3.(16 分)2021屆高三模擬考試試卷五蘇北三市數(shù)學附加題參考答案及評分標準_ 3 121. A.解：由題意得A_ AE= (0 , 1 ,?,BC = (1 , 2 , 0),=2 2, (5分)1 0所以=4.(10 分)B.解：曲線C: p= 2cos B的直角坐標方程為x 12+ y2= 1.4分設過點A3,0

23、的直線I的直角坐標方程為 x= my+ 3,因為直線I與曲線C有且只有一個公共點,所以11 3|.'1 + m2=1，解得m=土,;3.(8 分)從而直線I的斜率為±33.10分C. 1解：不等式的解集是一8, 3 U 3,+ .4分 證明：要證 f(ab)>|a|f(a)，只要證 |ab 1|>|b a|,只需證(ab 1)2>(b a)2.而(ab 1)2 (b a)2= a2b2 a2 b2+ 1 = (a2 1)(b2 1)>0,從而原不等式成立 (10分)22. 解：因為DA丄平面ABC,/ CAB = 90 °所以以A為坐標原點，

24、建立如下列圖的空間直角坐標系 Axyz.因為 AC = AD = 1, AB = 2,所以 A0, 0, 0, C1, 0, 0, B0 , 2 , 0 , D0 , 0 , 1.1因為點E為線段BD的中點，所以E0 , 1, p.所以 cos Ae , Bc>所以異面直線AE與BC所成角的余弦值為4.(5分)(2)設平面 ACE 的法向量為 ni= (x, y, z)，因為 AC = (1 , 0, 0), Ae= (0, 1 , *), 所以 ni AC= 0, ni Ae = 0,即 x= 0 且 y+ *z= 0,取 y= 1,得 x= 0, z= 2, 所以ni = (0, 1, 2)是平面ACE的一個法向量.設平面 BCE 的法向量為 n2= (x, y, z),因為 BC = (1 , 2, 0), BE = (0, 1, *), ff1所以 n2 BC= 0 , n2 BE = 0,即 x 2y= 0 且一y + 2z= 0,取 y= 1,得 x= 2 , z= 2 , 所以n2= (2 , 1 , 2)是平面BCE的一個法向量.n1 n2 3 -J 5所以cosn1 , n一而2T市