導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、§57導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【考點(diǎn)及要求】了解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過函數(shù)圖象能直觀地理解導(dǎo)數(shù)的 幾何意義。【基礎(chǔ)知識(shí)】1 . 一般地，函數(shù) f (x)在區(qū)間x1,x2上的平均變化率為，平均變化率反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上平均變化的趨勢(shì)(變化快慢)，或說在某個(gè)區(qū)間上曲線陡峭的程度；2 .不妨設(shè)P(xi, f (Xi),Q(Xo, f(xo),則割線PQ的斜率為，設(shè)X1 X0=4X,則xi =Ax+ xo,kpQ ,當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線向點(diǎn) Q無限靠近時(shí)，割線 PQ的斜率就會(huì)無限逼近點(diǎn) Q處切線斜率，即當(dāng)*無限趨近于0時(shí)，kPQ f(Xo X)"丸)無 PQX限趨近點(diǎn)Q

2、處切線。3.曲線上任一點(diǎn)(xo, f(xo)切線斜率的求法:f(XoX)f (Xo) x無限趨近于o時(shí)，k值即為(Xo, f(xo)處切線的，記為.4.瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度： 位移的平均變化率：s" H，,稱為；當(dāng)無限趨近于 o時(shí), tt=to時(shí)的；速度的平均變化率:迎一t) S(to)無限趨近于一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)稱為 t"0t) v(to),當(dāng)無限趨近于 o時(shí)，"0 v(to)無限趨近于一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù) tt稱為t=to時(shí)的.【基礎(chǔ)練習(xí)】2 ,1 .已知函數(shù)f (x) ax在區(qū)間1,2上的平均變化率為，則f (X)在區(qū)間-2,-1上的平均變化率為.2 . A、

3、B兩船從同一碼頭同時(shí)出發(fā)，A船向北，B船向東，若A船的速度為3okm/h,B船的速度為4okm/h,設(shè)時(shí)間為t,則在區(qū)間t 1,t 2上,A,B兩船間距離變化的平均速度為 【典型例題講練】例1 ,已知函數(shù)f(x)=2x+1,分別計(jì)算在區(qū)間-3, -1, 。, 5上函數(shù)f(x)的平均變化率;.探求一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間m, n上的平均變化率的特點(diǎn)；練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=x2+2x,分別計(jì)算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率；1 , 2;3, 4;1, 1;2, 3【課堂檢測(cè)】1.求函數(shù)y f (x)在區(qū)間1,1 +*內(nèi)的平均變化率2.試比較正弦函數(shù) y=sinx在區(qū)間 0,- 和 , 上的平

4、均變化率，并比較大小。63 2§58導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【典型例題講練】例2.自由落體運(yùn)動(dòng)的物體的位移s (單位：s)與時(shí)間t (單位：s)之間的關(guān)系是：s(t)= gt2(g2是重力加速度),求該物體在時(shí)間段tl, t2內(nèi)的平均速度；1 C練習(xí)：自由洛體運(yùn)動(dòng)的位移s(m)與時(shí)間t(s)的關(guān)系為s= - gt 2求t=t0s時(shí)的瞬時(shí)速度；(2)求t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度；(3)求t=3s時(shí)的瞬時(shí)加速度；例3.已知f(x)=x2,求曲線在x=2處的切線的斜率。練習(xí)：1.曲線y=x3在點(diǎn)P處切線余率為k,當(dāng)k=3時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為 .2.若曲線y x4的一條切線與直線 x 4y 8 0垂

5、直，則的方程為.1 21 33.曲線y 2 x2與y - x3 2在交點(diǎn)處切線的夾角是 .2 43 1 24.已知函數(shù)f(x) 2x-xm (為常數(shù))圖象上處的切線與x y 3 0的夾角為，則點(diǎn)的2橫坐標(biāo)為.5,曲線y=x3在點(diǎn)(1, 1)處的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為 .36.過曲線y x x 1上一點(diǎn)P的切線與直線y 4x 7平仃，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.1 例4.求f (x) 一過點(diǎn)(1,1)的切線方程 x練習(xí)：過點(diǎn) P( 1,2)且與曲線 y 3x2 4x 2在點(diǎn)M (1,1)處的切線平行的直線方程是_【課堂小結(jié)】 【課堂檢測(cè)】1 .求曲線yx33x21在點(diǎn)(1, 1)處的切

6、線方程.一一一 .3.2.一一一.2 .已知函數(shù)f (x) x bx ax d的圖象過點(diǎn) P (0, 2),且在點(diǎn) M( 1, f ( 1)處的切線方程為6x y 7 0.求函數(shù)y f(x)的解析式；3 .已知曲線f(x) 我上的一點(diǎn)P(0,0)的切線斜率是否存在？說明理由 【課堂作業(yè)】1.與直線y 4x 1平行的曲線y x3 x 2的切線方程是_1 一 1 ,2 .設(shè)曲線y=-2和曲線y= 一在匕們交點(diǎn)處的兩切線的夾角為，則 tan的值為.xx3 .若直線y=是曲線y x3 3x2 ax的切線，則a =.4 .求曲線y x(x 1)(x 2)在原點(diǎn)處的切線方程§59導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(1)

7、【考點(diǎn)及要求】理解導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y c, y x, y x2, y1的x導(dǎo)數(shù)；能利用導(dǎo)數(shù)數(shù)公式表和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！净A(chǔ)知識(shí)】1.基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式：(C) (x ),(“ 為常數(shù))；(ax), (a 0,a 1)(logax) =, (a 0,a 1)；注：當(dāng) a=e 時(shí)，(ex), (Inx),(sinx) , (cosx) ；2.法則1兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的，即'u(x) v(x)法則2常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的法則3兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二

8、 個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即(u(x)v(x) 法則4兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于，即%(V(x) 0) .【繚礎(chǔ)練習(xí)】1 .求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù).(1) yx 5(2)y4x0, a 0, a,x 1) 1，(4)ylog3x (5)y1(x10gx(一)a(6) y=sin( - +x)【典型例題講練】(7) y=sin 3(8) y=cos(2 兀一x) (9) y= f (1)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),.、32(1) y x sinx；(2)y (2x3)(3x 2)；(兩種方法)2(3) y 5x10 sin x 2-Tx cosx 9； (4) y=;.sin x(2)求 y= cosx的導(dǎo)數(shù).x 3練習(xí)

9、：(1)求y=-在點(diǎn)x=3處的導(dǎo)致.x2 3(3).4 x3,，求y=-的導(dǎo)數(shù).x cosxx(4) .求y 3 xlnx的導(dǎo)數(shù).【課堂檢測(cè)】f (x) x(x k)(x 2k)(x3k),且 f (0) 6,則;x 2yFi(4)y=1 cosx2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):3 x(1) y= x 5(3)y= (4 x3 In x)(cos x sin x)§60導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(2)例2.求滿足下列條件的函數(shù)f(x) f(x)是三次函數(shù)，且 f(0) 3, f '(0) 0, f '(1)3, f '(2) 0(2) f'(x)是一次函數(shù)，x2f'(x

10、) (2x 1)f (x) 1練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的圖象過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)M處(-1 ,f(-1)處的切線方程為6x-y+7=0 ,求函數(shù)的解析式例3.已知點(diǎn)P在函數(shù)y=cosx的圖象上(0W xw 2兀)，在點(diǎn)P處的切線斜率大于 0,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的 取值范圍.53x ax2練習(xí)：已知函數(shù) f(x) a (a 3)x a ,且對(duì) x R, f (x) 0,53求證： 3 a 61例4.右直線y x b為函數(shù)y 圖象的切線，求b的值和切點(diǎn)坐標(biāo).練習(xí)：1.求曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程；2,求曲線y=x2過點(diǎn)(0,-1)處的切線方程；3,已知直線y x

11、1,點(diǎn)P為y=x2上任意一點(diǎn)，求P在什么位置時(shí)到直線距離最短； 【課堂小結(jié)】【課堂檢測(cè)】1 .已知函數(shù) f (x)ax33x2 2, f "(-1)=4 ,則 a=.2 .過拋物線y x2上的點(diǎn)M (工，)的切線的傾斜角是.2 4 a -3 .對(duì)正整數(shù)n,設(shè)曲線y xn(1 x)在x= 2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 則數(shù)列 的 n 1前n項(xiàng)和的公式是.124 .曲線y -和y x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 x5,已知曲線y=和這條曲線上的一點(diǎn)P(2,),求曲線y=在點(diǎn)P處的切線方程.【課堂作業(yè)】1 .若曲線y=x2- 1與y=1x3在x=x0處的切線互相垂直

12、，則X0等于.2 .求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y=lg(1+cos2x) (2) y=eXlnx3 .設(shè)函數(shù) f(x)=ax3+3x2+2，若 f' ( 1)=4,試求 a 的值.4 .已知拋物線y=ax2+bx+c通過點(diǎn)(1,1),且在點(diǎn)(2,1)處與直線y=x 3相切，求a、b、c的值.運(yùn)1導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用【考點(diǎn)及要求】熟練掌握導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；通過數(shù)形結(jié)合的方法直觀了解函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能在指定區(qū)間上確定不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極值、最值?！净A(chǔ)知識(shí)】1 .用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判別函數(shù)增減性的方法：若 f (x) 0,

13、則函數(shù)f(x)為，若f (x) 0,則函數(shù)f(x)為；2 .求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：確定函數(shù)f(x)的；求f (x),令f (x) 0,解此方程，求出它在定義域外區(qū)間內(nèi)的一切；把上面的各實(shí)根按由的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f (x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；確定f (x)在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)白符號(hào)，根據(jù)f(x)的判斷函數(shù)f (x)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性；3 .函數(shù)極值的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)，都有f(x) f (Xo)(或f(x) f(x。)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值；和統(tǒng)稱為極值；4 .求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在a,b上的最大或最小值

14、的一般步驟和方法：求函數(shù)f (x)在(a,b)上的值；將極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a), f(b)比較，確定最值?！净A(chǔ)練習(xí)】1 .若函數(shù)f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，則 f (x) >0是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)遞增的條件.2 .如果函數(shù)f(x)=x4-8x2+c在-1, 3上的最小值是一14,那么=.33.已知a 0,函數(shù)f(x) x ax在1,)是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大 值是32.24 .函數(shù)f (x) x ax bx a在x 1時(shí)，有極值10,那么a, b的值為.5 .已知f(x)=ax 36ax2+b在-1, 2上的最大值為3,最小值為一29,則a=.【典型例題

15、講練】例1.已知函數(shù)f(x) x3 bx2 ax d的圖象過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)M( 1,f( 1)處的切線方程為6x y 7 0.(2)求函數(shù)y f (x)的單調(diào)區(qū)間(1)求函數(shù)y f(x)的解析式練習(xí)：1.已知函數(shù)f(x) x5 ax3 bx 1 ,僅當(dāng)x= 1及x=1時(shí)取得極值，且極大值比極 小值大4,求a、b的值。23 x 2.設(shè)f(x) x 2x 5 (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；2(2)當(dāng)xC1, 2時(shí)，f(x)vm恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。【課堂檢測(cè)】1.函數(shù)f(x)x3 3x2 1是減函數(shù)的區(qū)間為 .322 .函數(shù)f(x) x ax 3x9,已知f(x)在x3

16、時(shí)取得極值，則.3 .函數(shù)y4x3 3x2 6x的單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為.4 .已知：f(x)2x36x2a(a為常數(shù))在2,2上有最大值是3,那么2,2在上的最小5 . (1)函數(shù)y f(x)的圖象過原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)y f(x)的圖象是如圖所示的一條直線，則y f(x)的圖象的頂點(diǎn)在第象限3(2)如果函數(shù)f (x) xbx (為常數(shù))在區(qū)間(0, 1)內(nèi)單調(diào)遞增，并且f(x) 0的根都在區(qū)間2, 2內(nèi)，那么的范圍是.，一，3_2_ .一、一6.已知函數(shù)f(x) x 3x 9x a,(1)求f(x)的單倜遞減區(qū)間;(2)若f(x)在區(qū)間2, 2上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小

17、值§62導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用(2)【典型例題講練】例2.已知函數(shù)f(x) 2x3 ax與g(x) bx2 c的圖象都過點(diǎn)P(2, 0)且在點(diǎn)P處有相同 的切線.(1)求實(shí)數(shù)a,b,c的值;(2)設(shè)函數(shù)F(x) f(x) g(x),求F(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出F(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性練習(xí)：已知f(x)是三次函數(shù)，g(x)是一次函數(shù)，且f(x) - -1 g(x)= - x3+2x2+3x+7 , f(x)在x=1處有極值2,求f(x)的解析式和單調(diào)區(qū)間。例3.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x) x3 x2 x a.(1)求f (x)的極值.(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線y f (x)

18、與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).練習(xí)：已知向量a (x2,x 1),b (1 x,t),若函數(shù)f(x) a b在區(qū)間(1,1)上是增函數(shù)，求 t的取值范圍.【課堂小結(jié)】【課堂檢測(cè)】1.函數(shù)f (x) x3 ax2 3x 9 ,已知f (x)在x3時(shí)取得極值，則=.322.函數(shù)f (x) x 3x1是減函數(shù)的區(qū)間為.3.函數(shù)f (x)3ax x 1有極值的充要條件是.4.已知函數(shù)y xf (x)的圖象如右圖所示(其中 f '(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個(gè)圖象中 yf (x)的圖象大致是(2x 2 + mx,1.亞】xFxMnxi-2函數(shù)取得極大偵,則m的彳%時(shí), 341-2 -10f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(鏟)僅+5),貝U f' (0)=2.函數(shù)f(x) = x2x1D5在區(qū)間2, 3上的最大值與最小值分別是.33,已知函數(shù)y=- x 22x+3在區(qū)間a, 2上的最大值為3-,則a等于.44.設(shè)函數(shù)y=f(x)是一次函數(shù)，已知 f(0)=1 , f(1)= - 3,則該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x)=.5,已知函數(shù)y=3x3+2x21在區(qū)間(m, 0)上是減函數(shù)，則 m的取值范圍是 326.已知x 1是函數(shù)f(x) mx 3(m 1)x nx 1的一個(gè)極值點(diǎn)m, n R, m 0,(1)求m與n的關(guān)系式；(2)求f