高等數(shù)學(同濟第六版)課件第六章 1.元素法幾何應用

1、abxoyix1x1 ix1 nx(1)將將a,b分成分成n個小區(qū)間個小區(qū)間(2)任取任取i xi-1, xi, 計算計算f(i)xi(3)作和作和 iinixfS )(1(4)取極限取極限 i iinixf )(lim10 badxxf)()(xfy (1)將將a,b分成分成n個小區(qū)間個小區(qū)間(2)任取任取i xi-1, xi, 計算計算f(i)xi(3)作和作和 iinixfS )(1(4)取極限取極限 iinixf )(lim10 badxxf)(abxoy)(xfy 設想設想a,b分的無限細，分的無限細，xdxx (1)(2)兩步合為：兩步合為：計算計算 dxxf)(3)(4)兩步合為

2、：兩步合為： badxxf)(（1）選取一個變量）選取一個變量 x為積分變量，為積分變量，（2）設想把區(qū)間）設想把區(qū)間a,b分的無限細，分的無限細， badxxfU)(3) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上作定積分，得上作定積分，得 并確定它的變化區(qū)間并確定它的變化區(qū)間a,b；在任一小區(qū)間在任一小區(qū)間求出部分量求出部分量: dU=f(x)dx； x,x+dx上，上，即得所求的量即得所求的量 xyo)(1xfy )(2xfy abdxdxxfxfdA)()(12 badxxfxfA)()(12xyo)(1ygx )(2ygx cddydyygygdA)()(12 dcdyygygA)()(12解解).4 ,

3、 8(),2, 2( 422xyxy選選 y 為積分變量為積分變量4, 2 ydyyydA)24(2 xy22 4 xy例例1 計算由曲線計算由曲線 和直線和直線xy22 4 xy所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積. dyyyA 422)24(4232642 yyy=18dy選選 x 為積分變量為積分變量dxxdA221 dxxxdA)42(2 dxxA 2022dxxx)42(82 xy22 4 xydxdx解解橢圓方程橢圓方程 tbytaxsincos aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab taxcos 令令0 tax20 tx例例2 求橢圓求

4、橢圓12222 byax的面積的面積. 寫出下列圖形的面積的定積分表示式：寫出下列圖形的面積的定積分表示式：2.由由 y =ex與該曲線過原點的切線及與該曲線過原點的切線及y軸圍成的圖形。軸圍成的圖形。 1.由曲線由曲線xxeyey ,及直線及直線x=1所圍成的圖形所圍成的圖形其中其中 連續(xù)連續(xù)xo d d 面積元素面積元素 ddA2)(21面積面積.)(212 dA)( 設由曲線設由曲線)( 與與)( 0)( 及射線及射線圍成一曲邊扇形，求其面積圍成一曲邊扇形，求其面積例例3 求阿基米德螺線求阿基米德螺線 (a 0)上相應于上相應于 從從0到到 的一段與極軸圍成圖形的面積的一段與極軸圍成圖形

5、的面積 a 2-30-20-10010203040-30-20-100102030o a解解.)(21220 daA 20326a解解.232a daA202)cos1(212 da)coscos21(202 02sin2a例例4 求心形線求心形線)cos1( a所圍圖形的面積所圍圖形的面積( a 0) da)2cos1(2102 2a 221a 022sin21a小小 結結面積的求法：面積的求法：一、直角坐標：一、直角坐標：（1）選擇合適的積分變量，寫出面積元素）選擇合適的積分變量，寫出面積元素 （2）積分計算。）積分計算。先畫出圖形先畫出圖形二、極坐標：二、極坐標：（1）轉化成曲邊扇形問題

6、）轉化成曲邊扇形問題（2）利用曲邊扇形面積公式：）利用曲邊扇形面積公式：.)(212 dA寫出下列圖形面積在極坐標下的定積分表示式：寫出下列圖形面積在極坐標下的定積分表示式：1. 由由 及及 所確定圖形所確定圖形. cos3 cos1.cos9232 d 302)cos1(dA2.螺線螺線 a的第一與第二圈之間及極軸所圍圖形的第一與第二圈之間及極軸所圍圖形 -30-20-10010203040-30-20-100102030o xoabxdxx 若一個立體在若一個立體在x軸上的投影區(qū)間為軸上的投影區(qū)間為a,b, ,)(dxxAdV .)( badxxAVA(x)為過點為過點x且垂直于且垂直于x

7、軸的截面面積，軸的截面面積，A(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù), 求立體體積求立體體積V.RR xyo解解 取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122.tan323 R例例5 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角并與底面交成角, 計算這平面截圓柱體計算這平面截圓柱體所得立體的體積所得立體的體積解解取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRh

8、VRR 22.212hR 例例6 求以半徑為求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積的正劈錐體的體積 旋轉體旋轉體就是由一個平面圖形饒這平面內一條直就是由一個平面圖形饒這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸旋轉軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺2)()(xfxA xxyo體積為體積為dxxfVba)(2 )(xfy 求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線 y=f(x)、直線、直線 x=a、x=b 及及x 軸軸所圍成的曲邊梯形繞所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉一周軸旋轉一周而成的旋轉體體積？而成的旋轉

9、體體積？積分變量為積分變量為 xa,b截面面積：截面面積：例例7 證明底圓半徑為證明底圓半徑為r高為高為h的圓錐體的體積為：的圓錐體的體積為：hrV231 證證建立坐標系如圖建立坐標系如圖yrhPxoxhry 直線直線OP方程為方程為dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr a aoyx解解,323232xay 332322xay ,aax dxxaVaa33232 .105323a 例例8 求星形線求星形線 ( a 0 )繞繞 x 軸旋轉軸旋轉323232ayx 構成旋轉體的體積構成旋轉體的體積. 旋轉體的體積旋轉體的體積xyo)(yx cddyyVdc2)( 直線直線 y=c,

10、y=d 及及 y 軸所圍成的曲邊梯形軸所圍成的曲邊梯形)(yx 如果旋轉體是由連續(xù)曲線如果旋轉體是由連續(xù)曲線繞繞 y 軸旋轉一周而成的立體，軸旋轉一周而成的立體，體積為體積為:解解dxxyVax)(220 022)cos1(2ta 0323)coscos3cos31(2dtttta.532a a 2a )(xy分別繞分別繞 x 軸、軸、),sin(ttax )cos1(tay 例例9 求擺線求擺線的一拱與的一拱與 y=0 所圍成的圖形所圍成的圖形,y 軸旋轉構成旋轉體的體積軸旋轉構成旋轉體的體積.繞繞 x 軸旋轉的旋轉體體積軸旋轉的旋轉體體積 dtta)cos1( dyyxVay)(2202

11、dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222)cos1()sin(tadtta 022)cos1()sin(tadtta 2023sin)sin(tdttta.633a 繞繞 y 軸旋轉的旋轉體體積軸旋轉的旋轉體體積 練練 習習1.由由)0( 22 ppxy),2(pp處的法線所處的法線所和它在和它在圍成的圖形繞圍成的圖形繞y軸旋轉所得旋轉體的體積軸旋轉所得旋轉體的體積. .2.由由xy22 和和x=0, y=1圍成的圖形繞圍成的圖形繞y=1旋轉所得旋轉體的體積旋轉所得旋轉體的體積. .小小 結結一、旋轉體體積一、旋轉體體積 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 y=f(x

12、)、直線、直線 x=a、x=b 及及x 軸所圍軸所圍成的曲邊梯形，成的曲邊梯形，1.繞繞 x 軸旋轉一周而成的旋轉體：軸旋轉一周而成的旋轉體：dxxfVba2)( 2.繞繞 y 軸旋轉一周而成的旋轉體：軸旋轉一周而成的旋轉體：dxxfxVbay| )(|2 二、平行截面面積已知立體體積二、平行截面面積已知立體體積 平行截面面積為：平行截面面積為：A(x) 體積體積.)( badxxAVxoyAB1M2M1 nM,10MMA 依次連接相鄰分點依次連接相鄰分點,接折線，其長為接折線，其長為且每個小弧段的長度都趨向于零時且每個小弧段的長度都趨向于零時,得內得內0M nM 稱此曲線弧為稱此曲線弧為可求

13、長的可求長的。|11 niiiMM的極限存在，的極限存在，設曲線弧設曲線弧AB,在弧上插入在弧上插入分點分點稱此稱此極限極限為曲線弧為曲線弧 AB的弧長的弧長當分點無限增多當分點無限增多,|11 niiiMMBMn ,xNMTRxdxx yodydxds22)()(dydxds 弧微分：弧微分：是否所有的曲線弧是否所有的曲線弧都是可求長的？都是可求長的？定理：光滑或分段光滑定理：光滑或分段光滑的曲線弧是可求長的。的曲線弧是可求長的。如何求弧長如何求弧長xy1sin xoyabxdxx 22)()(dydx dxy21 弧長元素弧長元素dxyds21 弧長弧長.12dxysba 設曲線弧為設曲線

14、弧為 y=f(x)(bxa 其中其中 y=f(x) 在在 a,b上有一階上有一階連續(xù)導數(shù)連續(xù)導數(shù), 取積分變量為取積分變量為 x在在a,b上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 x, x+dx小切線段的長小切線段的長: x=g(y)(dyc x=g(y)在在c,dy在在c,d y, y+dydyx21 dyxds21 .12dyxsdc 解解,21xy ,1dxxds 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab bax23)1(32 例例10 計算曲線計算曲線 2332xy 相應于相應于x從從a到到b的一段弧的長度的一段弧的長度.曲線弧為曲線弧為,)()( tytx)( t22)()(dydxds 2222)()(dttdtt dttt)()(22 弧長弧長.)()(22dttts 其中其中 在在 上具有連續(xù)導數(shù)上具有連續(xù)導數(shù) )(),(tt , 解解 taytax33sincos)20( t根據(jù)對稱性根據(jù)對稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a a aoyx例例11 求星形線求星形線 ( a 0)的全長的全長 323232ayx 曲線弧為曲線弧為)( )( sin)(cos)(yx)( 22)()(dydxds ,)()(22 d弧長弧長.)()(22 ds)( 其中其中 在在 上具有連續(xù)導數(shù)上具有連續(xù)導數(shù) )( , 例例