相遇及追及問(wèn)題有答案

1、專題：相遇及追及問(wèn)題一.相遇及追及問(wèn)題1 .特點(diǎn)：追及問(wèn)題是兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。兩個(gè)物體的速度相等往往是解題的關(guān)鍵，此時(shí)兩物體間的距離可能最大，也可能最小。2 .解題方法：選同一坐標(biāo)原點(diǎn)、同一正方向、同一計(jì)時(shí)起點(diǎn)，分別列出兩個(gè)物體的位移方程及速度方程。解題的關(guān)鍵是找出兩物體間位移關(guān)系、速度關(guān)系。當(dāng)位移相等時(shí)，兩物體相遇；兩物體速度相等時(shí)，兩物體相距最遠(yuǎn)或最近。這類問(wèn)題如能選擇好參照物，可使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化。巧用運(yùn)動(dòng)圖象亦可使 解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化。例1、車從靜正開始以1m/s2的加速度前進(jìn)，車后相距S0為25m處，某人同時(shí) 開始以6m/s的速度勻速追車，能否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。解

2、析：依題意，人與車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，設(shè)為 to當(dāng)人追上車時(shí)，兩者之 問(wèn)的位關(guān)系為：S人+S0=S車即： v人 t+ s 0= at 2/2由此方程求解t,若有解，則可追上；若無(wú)解，則不能追上。代入數(shù)據(jù)并整理得：t2 12t+50=0 =b2-4ac=122-4X 50X 1 = -56<0所以，人追不上車。在剛開始追車時(shí)，由于人的速度大于車的速度，因此人車間的距離逐漸減 ??；當(dāng)車速當(dāng)于人的速度時(shí)，人車間的距離逐漸增大。因此，當(dāng)人車速度相等 時(shí)，兩者間距離最小。at =6 t ' =6s在這段時(shí)間里，人、車的位移分別為：s人=v 人 t=6 x 6=36ms =at' 2/2

3、=1 X62/2=18m s=so+s 車s 人=25+18 36=7m例2、甲車在前以15m/s的速度勻速行駛，乙車在后以 9m/s的速度行駛。當(dāng)兩車相距32m時(shí)，甲車開始剎車，加速度大小為 1m/s2。問(wèn)經(jīng)多少時(shí)間乙車可 追上甲車？分析：乙此追上甲車可能有兩種不同情況：甲車停止前被追及和甲車停止 后被追及。究竟是哪一種情況，應(yīng)根據(jù)解答結(jié)果，由實(shí)際情況判斷。解答：設(shè)經(jīng)時(shí)間t追上。依題意：v 甲 t-at 2/2+L=v z. t15t-t2/2+32=9tt=16s t=-4s(舍去)甲車剎車的時(shí)間t ' =V0/a=15s顯然，甲車停止后乙再追上甲。甲車剎車的位移s甲”0儂=152

4、/2=112乙車的總位移s乙=s ”32=144.5mt=s乙/v 乙=144.5/9=16.06s三.求解追擊問(wèn)題的常用方法1、通過(guò)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析，找到隱含條件，從而順利列方程求解，例如：、勻減速物體追趕同向勻速物體時(shí)，能追上或恰好追不上的臨界條件：即將靠近時(shí)，追趕者速度等于被追趕者速度(即當(dāng)追趕者速度大于被追趕者速 度時(shí)，能追上；當(dāng)追趕者速度小于被追趕者速度時(shí)，追不上)、初速為零的勻加速物體追趕同向勻速物體時(shí)，追上前兩者具有最大距離的條件：追趕者的速度等于被追趕者的速度。2 .利用二次函數(shù)求極值的數(shù)學(xué)方法，根據(jù)物理現(xiàn)象，列方程求解。3 .在追擊問(wèn)題中還常常用到求“面積”的方法，它可以達(dá)到化

5、繁為簡(jiǎn)，化難 為易，直觀形象的效果。例3、甲乙兩車同時(shí)同向從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲車以V1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2 的加速度作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，乙車以V2=4nci/s的速度，氏=1m/s2的加速度作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求兩車再次相遇前兩車相距最大距離和再次相遇時(shí)兩車運(yùn)動(dòng) 的時(shí)間。解法一：兩車同時(shí)同向出發(fā)，開始一段由于甲車速度大于乙車速度，將使兩車距離 拉開，由于甲車作勻減速運(yùn)動(dòng)，乙車作加速運(yùn)動(dòng)，總有某一時(shí)刻兩車速度相同， 此時(shí)兩車相距最遠(yuǎn)，隨著甲車進(jìn)一步減速，乙車進(jìn)一步加速，動(dòng)車速度大于甲車速度，使兩車距離變小，當(dāng)乙車追上甲車時(shí).兩車運(yùn)動(dòng)位移相同。當(dāng)兩車速度相同時(shí)，兩車相距最遠(yuǎn)，此時(shí)兩車

6、運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3,兩車速度為 v對(duì)甲車： v=v 1+a1t 1對(duì)乙車： v=v 2+a2t 1兩式聯(lián)立得 t 1=(v1-v2)/(a 1-a2)=4s此時(shí)兩車相距 s=s-s 2=(v 1t 1+a1t 12/2)- (v 2t 1+a2t 12/2)=24m當(dāng)乙車追上甲車時(shí)，兩車位移均為 s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.則：v1t+a 1t 2/2=v 2t 2+a2t 2/2得 t=8s或t=0(出發(fā)時(shí)刻，舍去。)解法二：甲車位移s1= v it+a it 2/2乙車位移s2= v 2t 2+at 2/2某一時(shí)刻兩車相距為 s s=si-s 2= (v it+a it 2/2)-(v 2t 2+at 2

7、/2)=12t-3t2/2當(dāng)t=-b/2a時(shí)，即t=4s時(shí)，兩車相距最遠(yuǎn)一2 一 一 s=i2X4-3 X4/2=24m當(dāng)兩車相遇時(shí)， s=0,即i2t-3t 2/2=0t=8s或 t=0(舍去)例4、一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來(lái)，從后邊超過(guò)汽車。試求： 汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離 是多少？解法一、利用二次函數(shù)極值法求解AS,由如圖i可得設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t汽車和自行車之間的距離 A S= S 自-$汽二v 自t -at2 =6t - -t2 22二次函數(shù)求極值的條件可知：當(dāng)

8、t= -= 6 (s) = 2 (s)時(shí)兩車之2a 3間的距離有極大值，且 ASma x=6X 2 - - X222 =6 (nj)解法二、利用分析法求解自行車在追擊汽車的前一階段過(guò)程中，由于汽車的速度小于自行車的速度，汽車與自行車之間的距離越來(lái)越大；當(dāng)汽車的速度大于自行車的速度以后， 汽車與自行車之間的距離便開始縮小， 很顯然，當(dāng)汽車的速度與自行車的速度 相等時(shí)，兩車之間的距離最大。由上述分析可知當(dāng)兩車之間的距離最大時(shí)有v汽=at = v 自.t =里=6 =2 (s) a 3: ASma x= S 自-S 汽 . AS x = v 自t - at2 =6X2 - 3 X22 =6 (rr)

9、解法三、利用圖象求解即:ASrna x=6t0-1t0X 62(1)在同一 V-t圖中畫出自行車和汽車的速度圖 線，如圖2所示，其中I表示自行車的速度圖線，n 表示汽車的速度圖線，自行車的位移 S自等于圖線I 與時(shí)間軸圍成的矩形的面積，而汽車的位移S汽則等 于圖線n與時(shí)間軸圍成的三角形的面積。 兩車之間的 距離則等于圖中矩形的面積與三角形面積的差， 不難 看出，當(dāng)t=t0時(shí)矩形與三角形的面積之差最大，因?yàn)槠嚨乃俣葓D線的斜率等于汽車的加速度大小6tg 0 = =a t010 =-=- (s) =2 (s)(2)a 3由上面(1)、(2)兩式可得ASma x=6 (或解法四、利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解選自

10、行車為參照物，則從開始運(yùn)動(dòng)到兩車相距最遠(yuǎn)這段過(guò)程中，汽車相對(duì)此參照物的各個(gè)物理量的分別為：v相初=6 m/s, a相=-3 m/s2, v相末=0 。由公式2 a相S相=v相末2- v相初2得20 62 ( 3)=6 (nj)22v相末v相初_2 a相例5、A、B兩列火車在同一軌道上同向行駛，A在前，速度為vA=l0m/s, B車在后速度 v B =30m/s,因大霧能見度低，B車在距A車500m時(shí)，才發(fā)現(xiàn)前方有 A車.這時(shí)B車立即剎車，但要經(jīng)過(guò)1800m B車才能停止.問(wèn)：(1) A車若仍按原速前進(jìn)，兩車是否會(huì)相撞？若會(huì)相撞，將在何時(shí)何地發(fā)生？(2) B車在剎車的同時(shí)發(fā)出信號(hào)，A車司機(jī)在收到

11、信號(hào) 1.5s后加速前進(jìn)，求A車的加速度 多大時(shí)，才能避免事故發(fā)生(1) B車開始剎車經(jīng)31s在距開始剎車處 810m兩車相撞.(2) A車做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度至少為0.15m/s2時(shí)，才能避免相撞.練習(xí)：1、在一條公路上并排停著 A、B兩車，A車先啟動(dòng)，加速度ai=20m/s2, 2B車晚3s后動(dòng)，加速度a2=30m/s,以A后動(dòng)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，問(wèn)：在 A、B相遇前 經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？這個(gè)距離是多少？解一、兩車速度相等時(shí)，相距最遠(yuǎn)。ait=a 2(t-3)得 t=9s2 s二ait /2-a 2（t-3） 解二、s=ait2/2-a 2（t-3）二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，有極大值。 s=-5（t-

12、9） 2+270當(dāng)t=9s時(shí)， s有極大值 s=270m解三、用圖象法求。作出vt圖如圖。由圖可知, s即為圖中斜三角形的面積。2 _/2=270m2/2=-5t 2+90t-135=-5(t 2-18t+27)在t=9s時(shí)相遇。 s=3X 180/2=270m2、A、B兩車在一條水平直線上同向勻速 行駛，B車在前，車速V2=10m/s, A車在后， 車速72km/h,當(dāng)A、B相距100m時(shí),A車用包 定的加速度a減速。求a為何值時(shí)，A車與B車相遇時(shí)不相撞。解一：作物理情景示意圖如圖所示。對(duì) A： s1=V1t-at 2/2 v2=V1-at對(duì) B： s2=v2t且 s1-s 2=100m由、

13、得 100=20t-at 2/2-10t=10t-at 2/22由、得 t=20s a=0.5m/s解二、利用平均速度公式。s1=(v 1+V2)t/2=15ts2=v2t=10ts1-s 2=15t-10t=100t=20s 由 v2=v1-at 得 a=0.5m/s 2 解三、作出v-t圖，如圖。 圖中三角形面積表示 A車車速由20m/s到比B多之的位移，即s1-s 2=100m100=10Xt/2t=20s|a|=tg0 =1/2=0.5m/s 2解四、以B車為參照物，用相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解。A相對(duì)于B車的初速度為10m/s, A以a減速，行駛100m后“停下”，跟B 相遇而不相撞。vt2=vo2-2as0=102-2a1002 a=0.5m/sV2=V1-at得 t=20s3.甲車以3m/s2的加速度，由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙