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1、七年級數(shù)軸經(jīng)典題型總結(jié)(含答案)【1、數(shù)軸與實際問題】例1 5個城市的國際標準時間(單位:時)在數(shù)軸上表示如下,那么北京時間2006年6月17日上午9時應(yīng)是( )A、倫敦時間2006年6月17日凌晨1時B、紐約時間2006年6月17日晚上22時C、多倫多時間2006年6月16日晚上20時D、首爾時間2006年6月17日上午8時解:觀察數(shù)軸很容易看出各城市與北京的時差城市名稱時差北京時間當?shù)貢r間紐約58=1317日上午9時913=4,244=20,17日晚上20時多倫多48=1217日上午9時912=3,243=21,17日晚上21時倫敦08=817日上午9時98=1,16日凌晨1時首爾98=1
2、17日上午9時9+1=10,16日上午10時例2 在一條東西走向的馬路旁,有青少年宮、學校、商場、醫(yī)院四家公共場所。已知青少年宮在學校東300米處,商場在學校西200米處,醫(yī)院在學校東500米處。將馬路近似地看成一條直線,以學校為原點,以正東方向為正方向,用1個單位長度表示100米。 在數(shù)軸上表示出四家公共場所的位置。 計算青少年宮與商場之間的距離。解: (1)(2)青少年宮與商場相距:3(2)=5 個單位長度 所以:青少年宮與商場之間的距離=5×100=500(米)練習1、如圖,數(shù)軸上的點P、O、Q、R、S表示某城市一條大街上的五個公交車站點,有一輛公交車距P站點3km,距Q站點0
3、.7km,則這輛公交車的位置在()A、R站點與S站點之間 B、P站點與O站點之間C、O站點與Q站點之間 D、Q站點與R站點之間解:判斷公交車在P點右側(cè),距離P:(1.3)+3=1.7(km),即在原點O右側(cè)1.7處,位于Q、R間 而公交車距Q站點0.7km,距離Q:0.7+1=1.7(km),驗證了,這輛公交車的位置在Q、R間2、如圖,在一條數(shù)軸上有依次排列的臺機床在工作,現(xiàn)要設(shè)置一個零件供應(yīng)站,使這臺機床到供應(yīng)站的距離總和最小,點建在哪?最小值為多少?解: (此題是實際問題,涉及絕對值表示距離,后面會有更深入的理解)此題揭示了,問題過于復(fù)雜時,要“以退為進”,回到問題的起點,找出規(guī)律。后面你
4、還會遇到這種處理問題的辦法。(1)假設(shè)數(shù)軸上只有A、B二臺機床時,很明顯,供應(yīng)站P應(yīng)該是設(shè)在A和B之間的任何地方都行,反正P到A和P到B的距離之和就是A到B的距離,值為:1(1)=2;(2)假設(shè)數(shù)軸上有A、B、C三臺機床時,我們不難想到,供應(yīng)站設(shè)在中間一臺機床B處最合適,因為如果P放在B處,P到A和P到C的距離之和恰好為A到C的距離,而如果把P放在別處,如原點處,P到A和P到C的距離之和仍是A到B的距離,可是B機床到原點還有一段距離,這是多出來的,所以,P設(shè)在B處時,P到A、B、C的距離總和最小,值為:2(1)=3;(3)如果數(shù)軸上有A、B、C、D四臺機床,經(jīng)過分析,P應(yīng)設(shè)BC之間任何地方,此
5、時P到A、B、C、D的距離總和最小,值為:4(1)+BC距離=5+1=6;(4)如果數(shù)軸上有有5臺機床呢,經(jīng)過分析,P應(yīng)設(shè)在C處,此時P到5臺機床的距離總和最小,值為:AE距離+BC距離+CD距離=9+1+2=12;(5)擴展:如果數(shù)軸上有n臺機床,要找一點P,使得P到各機床距離之和最小 如果n為奇數(shù),P應(yīng)設(shè)在第臺的位置如果n為偶數(shù),P可設(shè)在第臺和第()臺之間任意位置規(guī)律探索無處不在,你體會到了嗎?此題可變?yōu)椋篈、當為何值時,式子有最小值,最小值為多少?B、求的最小值。3、老師在黑板上畫數(shù)軸,取了原點O后,用一個鐵絲做的圓環(huán)作為工具,以圓環(huán)的直徑在數(shù)軸上畫出單位長1,再將圓環(huán)拉直成一線段,在數(shù)
6、軸的正方向上以此線段長自原點O起截得A點,則A點表示的數(shù)是_。解:由題知:直徑為1個單位長度,那么半徑為的單位長度,圓的周長為:個單位長度 圓從原點沿著數(shù)軸的正方向拉直,那么點A表示的數(shù)就是 要注意審題,此題告訴我們無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來。【2、數(shù)軸與比較有理數(shù)的大小】例3 已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖。則在,中,最大的一個是( )A B C D 解: 應(yīng)試法:設(shè)數(shù)代入計算下最快速,如設(shè)a=,b=,C=,一下就可以得出答案D 正式的做法就是分析,a是負數(shù)且介于0和1之間,那么是正數(shù)且大于1,是a的相反數(shù),應(yīng)該在C附近,顯然也是小于1,由圖知趨近于0,綜上,答案還是D例4 三個有理數(shù)a
7、、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,則( )A BC D解:應(yīng)試法:設(shè)數(shù)代入計算下最快速,如設(shè)c=1,b=2,c=4,代入計算,可以得出答案B正式的做法就是逐個分析,采取排除法,跳出正確選項。A中,顯然錯誤;B中, ,因此B對 與都是負數(shù),絕對值大的,反而小,取倒數(shù),分母大的,反而小 C、D為什么錯自己試一試分析。練習1、己知,兩數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示,下列結(jié)論正確的是( )。 A B C D解:由題知 ,因此A對。2個負數(shù)之積大于0,故B錯,數(shù)軸左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小,所以C錯,2個負數(shù)之和還是負數(shù),則D錯。2、如圖,數(shù)軸上A、B兩點分別對應(yīng)實數(shù)、則下列結(jié)論正確的是( )A B C D解:由題
8、知,故B錯,則,故A、D錯; ,故C對 3、若兩個非零的有理數(shù)a、b,滿足:|a|=a,|b|=-b,a+b0,則在數(shù)軸上表示數(shù)a、b的點正確的是()A、 B、C、 D、解:|a|=a,說明,|b|=-b,則,a+b0,說明,即b離原點更遠 故C是對的【3、尋找、判斷數(shù)軸上的點】例5 如圖,數(shù)軸上的A、B、C三點所表示的數(shù)分別是a、b、c,其中AB=BC,如果|a|b|c|,那么該數(shù)軸的原點O的位置應(yīng)該在()A、點A的左邊 B、點A與點B之間C、點B與點C之間 D、點B與點C之間或點C的右邊解:答案D,用排除法例6 如圖,數(shù)軸上標出若干點,每相鄰的兩點相距一個單位長度,點A、B、C、D對應(yīng)的數(shù)
9、分別為整數(shù)a、b、c、d,且。試問:數(shù)軸上的原點在哪一點上?ABCDMNabcd解:由于每相鄰的兩點相距一個單位長度 所以有:,代入式子 則,所以原點在B處練習1、在數(shù)軸上,坐標是整數(shù)的點稱為“整點”。設(shè)數(shù)軸的單位長度是1厘米,若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長2008厘米的線段AB, 則線段AB蓋住的整點至少有_個,至多有 個。解:2008太大,以退為進,假設(shè)線段AB長為1,易知AB蓋住的整點至少有1個,至多有2個假設(shè)線段AB長為2,易知AB蓋住的整點至少有2個,至多有3個,所以: 本題,線段AB蓋住的整點至少有2008個,至多有2009個。2、如圖,數(shù)軸上標出若干個點,每相鄰兩點相距1個單位,點
10、A、B、C、D對應(yīng)的整數(shù)a、b、c、d,且,那么數(shù)軸的原點對應(yīng)點是( )。 A、A點 B、B點 C、C點 D、D點解:由題知,代入 則,所以原點是C點3、如圖所示,圓的周長為4個單位長度,在圓的4等分點處標上字母A,B,C,D,先將圓周上的字母A對應(yīng)的點與數(shù)軸的數(shù)字1所對應(yīng)的點重合,若將圓沿著數(shù)軸向左滾動,那么數(shù)軸上的2010所對應(yīng)的點將與圓周上字母所對應(yīng)的點()重合解:2010到1之間有:1(2010)+1=2012個數(shù)A對應(yīng)1,B對應(yīng)0,C對應(yīng)1,D對應(yīng)2,以此類推,4個數(shù)為1循環(huán)節(jié)而2012÷4=303 余數(shù)0,正好循環(huán)完,所以數(shù)軸上的2010所對應(yīng)的點是D【4、與數(shù)軸有關(guān)的計
11、算】例7 如圖所示,在數(shù)軸上有六個點,點所表示的數(shù)是,且,則與點所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是 。解:可用方程來做,沒學就這么做 因為, 易知:=0.8 ,則 C到F:0.8×3=2.4,因為點所表示的數(shù)是 所以點C表示的數(shù):82.4=5.6, 那么與5.6最接近的整數(shù)是6例8 上午8點,某人駕駛一輛汽車從A地出發(fā),向東記為正,向西記為負。記錄前4次行駛過程如下:-15公里,+25公里,-20公里,+30公里,若要汽車最后回到A地,則最后一次如何行駛?已知汽車行駛的速度為55千米/小時,在這期間他辦事花去2小時,問他回到A地的時間?解:前4次行駛完成后,汽車位于: A點東邊20公里處若要汽
12、車最后回到A地,則最后一次:,即向西行進20公里 總共路程:,路上花費時間:110÷55=2小時 期間他辦事花去2小時,所以總共耗時4小時,他回到A地的時間:8+4=12練習1、如圖,數(shù)軸上有6個點,且相鄰兩點間的距離都相等,則與D點所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是_。解:AF=, 則=12÷5=2.4則 A到C距離:2.4×2=4.8,因為點A所表示的數(shù)是,所以點C表示的數(shù)是:故與最接近的整數(shù)是02、某一電子昆蟲落在數(shù)軸上的某點,從點開始跳動,第1次向左跳1個單位長度到,第2次由向右跳2個單位長度到,第3次由向左跳3個單位長度到,第4次由向右跳4個單位長度到,依此規(guī)律跳
13、下去,當它跳第100次落下時,電子昆蟲在數(shù)軸上的落點表示的數(shù)恰好是2010,則電子昆蟲的初始位置所表示的數(shù)是_。解:向左為負,向右為正,電子昆蟲所走過的路程S為: S= 其中2+4+6+100=2550 1+3+5+99=2500 故S=25502500=50 由題知:+50=2010,故=19603、一青蛙要從A點跳到B點,以平均每分鐘2米的速度跳躍。它先前進1米,再后退2米,又前進3米,再后退4米,(每次跳躍都在A、B兩點所在的直線上)(1)5分鐘后它離A點多遠?(2)若A、B兩點相距100米,它可能到達B點嗎?如果能,它第一次到達B點需要多長時間?如果不能,請說明理由。解: (1) 5分
14、鐘青蛙走過路程S=5×2=10米,路程S還可表示為:S=設(shè)A點為數(shù)軸原點,記前進為正,后退為負,5分鐘后青蛙在:,即5分鐘后它離A點2米(2) 由第一問我們可以看出,青蛙每跳2次,從A點向B點前進1米,因為AB兩點相距100米,所以青蛙要跳200次才可以到達B點,所以青蛙青蛙跳躍的總路程為1+2+3+199+200=(1+200)×200÷2=20100(米),則需要20100÷2=10050(分鐘)三、利用數(shù)軸,深入認識絕對值例9 觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離 4與2,3與5,2與6,4與3。并回答下列各題:(1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的
15、差的絕對值有什么關(guān)系嗎?_(2)|的幾何意義是數(shù)軸上表示_的點與_之間的距離;按照(1)的理解,|_|0|(,);(3)的幾何意義是數(shù)軸上表示2的點與表示1的點之間的距離;則 _ ;(4)的幾何意義是數(shù)軸上表示 _ 的點與表示 _ 的點之間的距離,若,則_ ;(5)的幾何意義是數(shù)軸上表示 _ 的點與表示 _ 的點之間的距離,若,則_ ;解:(1)相等,也就是說,數(shù)軸上二點間的距離與這兩個數(shù)的差的絕對值相等; (2)|的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與原點之間的距離;|=|0|; (3)1; (4)的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與表示3的點之間的距離,若,就是到3的距離為1的點,這樣的點有2個,所以=2或
16、4; (5)可轉(zhuǎn)化為,因此它的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與表示的點之間的距離,若,則0或4;例10 的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與表示的點之間的距離。(1)當時,則 。(2)結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為_,取得最小值時的取值范圍為_。(3)滿足的的取值范圍為_。解:(1)將直接代入計算,結(jié)果:4 (2)的幾何意義:點到點2的距離加上點到點3的距離。要使距離之和最小需分情況討論:如圖,當,如圖,當,如圖,當, 顯然圖時,距離之和最小,就是-3與2的距離|-3-2|=5(3)的幾何意義:找出一個點,使得到與到的距離之和大于3, 按照(2)的分析,點在與之間時, 故點只要不在與之間即可。所以的取值范圍是:或練
17、習1、如圖表示數(shù)軸上四個點的位置關(guān)系,且它們表示的數(shù)分別為,。若,則 _ 。解: 表示P、r之間距離10,表示P、s之間距離12,所以 r、s之間距離是2,表示q、s之間距離9, 表示q、r之間的距離,它等于q、s間距離減去r、s間距離,即: 2、不相等的有理數(shù),在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為A,B,C,如果,那么點A,B,C在數(shù)軸上的位置關(guān)系是( )A點A在點B,C之間 B點在點,之間 C點在點A,B之間 D以上三種情況均有可能解:的幾何意義:a點到b點的距離加上b點到c點的距離之和等于a點到c點的距離。顯然b點在a、c之間。3、(1)閱讀下面材料(距離公式的證明,應(yīng)該自己能分析):點A、B在數(shù)軸上
18、分別表示實數(shù),A、B兩點這間的距離表示為當A、B兩點中有一點在原點時,不妨設(shè)點A在原點,如圖1,此時a=0,;當A、B兩點都不在原點時,如圖2,點A、B都在原點的右邊;如圖3,點A、B都在原點的左邊;如圖4,點A、B在原點的兩邊。綜上,數(shù)軸上A、B兩點之間的距離。(2)回答下列問題:數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是 ,數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是 ,數(shù)軸上表示1和3的兩點之間的距離是 ;數(shù)軸上表示和1的兩點A和B之間的距離是 ,如果,那么為 ;當代數(shù)式取最小值時,相應(yīng)的的取值范圍是 ;求的最小值。解:(1)數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是3,數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是3,數(shù)軸上表示1和3的兩點之間的距離是4;(2)數(shù)軸上表示和1的兩點A和B之間的距離是,如果,即到1距離為2的點,有2個分別是1、3,所以為;1或
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