平面向量復(fù)習(xí)提綱

1、平面向量全章復(fù)習(xí)【教學(xué)目標(biāo)】復(fù)習(xí)平面向量的概念，向量的加法、減法、數(shù)乘、向量共線定理、平面向量基本定理，平面向量坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積、數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的應(yīng)用。本章知識(shí)框架向量的定義符號(hào)表示幾何表示向量的表示基底表示相等向量坐標(biāo)表示向向量間的關(guān)系相反向量量加法減法共線向量向量的運(yùn)算數(shù)乘平行與共線數(shù)量 積垂直向量的應(yīng)用長(zhǎng)度一基本知識(shí)點(diǎn)回顧夾角1向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量2向量的表示：用有向線段表示；用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向用字母a、 b（黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB ；3向量的長(zhǎng)度：向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度（或稱為

2、模），記作AB 說(shuō)明： (1)不能說(shuō)向量就是有向線段；向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段(2)向量不同于數(shù)量數(shù)量之間可以比較大小，向量由模、方向來(lái)確定，由于方向不能比較大小，因此“大于”、“小于”對(duì)向量來(lái)說(shuō)是沒(méi)有意義的(3)向量的模（是正數(shù)或零）可以比較大小4幾組特殊的向量：零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0或0說(shuō)明： 零向量的方向不確定，是任意的，有無(wú)窮多個(gè)規(guī)定所有的零向量都相等單位向量 ：長(zhǎng)度等于1 個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量平行向量（即共線向量

3、）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量記作ab 說(shuō)明：（ 1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系（3）規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量 ：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量若a 與 b 相等，記作 ab 相反向量 ：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做相反向量向量a 的相反向量記為a5向量加法的概念： 已知向量 a 和 b ，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O ，作 OA a ， AB b ，則向量 OB 叫做 a與 b 的和，記作 a b ，即 a bOAABOB 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做 向量的加法 規(guī)定： 0 a a ， a

4、aaa0，即 ABBA 0 ；向量加法的三角形法則：在使用三角形法則求和時(shí)，必須要求向量首位相連，和向量是由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的有向線段所表示的向量；向量加法的平行四邊形法則：說(shuō)明： (1)求和向量必須共起點(diǎn) (2)向量加法的平行四邊形法則，只適合于對(duì)兩個(gè)不共線向量相加，兩個(gè)共線向量相加，仍用三角形法則6向量加法的運(yùn)算律：交換律： abba ；結(jié)合律：a bc abc 向量減法的有關(guān)概念:若 bx a ，則向量 x 叫做 a 與 b 的差，記作 ab ，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，7叫做向量的減法8向量減法的作圖方法:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O ，作 OA a ， OBb ，則 BA BO

5、OAOB OA a b ，即 a b 表示從向量 b 的終點(diǎn)指向被減向量a 的終點(diǎn)的向量9向量的數(shù)乘的定義：一般的，實(shí)數(shù)與向量 a 的積是一個(gè)向量，記作a ，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：（ 1） aa ；(2 ) 當(dāng)0 時(shí)，a 與 a 方向相同，當(dāng)0 時(shí)，a 與 a ，方向相反，當(dāng) 0時(shí)， a 0 實(shí)數(shù)與向量 a 相乘，叫做向量的 數(shù)乘10向量數(shù)乘的運(yùn)算律： （ ）( )a ()a(結(jié)合律)；1（2） () aaa(分配律 )；（ 3）(ab)ab(分配律 )11a（a0），b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 ba(a0) ，向量共線定理： 一般地，對(duì)于兩個(gè)向量那么 b 與 a 是共線向量， 反之，如果 b

6、 與 a（ a0 ）是共線向量， 那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 ba 12平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 a ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1 ，2 ，使 a =1 e1 +2e2 我們把不共線的向量e1 ， e2 叫做表示這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底13向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x 軸、 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、 j 作為基底，任取一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、 y，使得 a=xi+yj ， 則把（ x，y）叫做向量的直角坐標(biāo)，記作：a=(x， y) 其中 x 叫做 a 在 x 軸上的坐標(biāo)， y 叫做 a 在 y

7、軸上的坐標(biāo)，式為向量的坐標(biāo)表示14 向量坐 標(biāo)運(yùn)算 ：已知 a(x1, y1) ， b(x2 , y2 ) ， ab (x1x2,y1 y2) ， ab (x1x2, y1y2 ) ，a( x1 , y1 ) 兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差），實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)15共線向量坐標(biāo)表示的一般性結(jié)論：設(shè)a( x1 , y1 ) ， b(x2 , y2 ) （ a ），如果a b，那么x1 y2 x2 y1 0 ；反過(guò)來(lái)，如果 x1 y2x2 y10 ，那么 a b結(jié)論（簡(jiǎn)單表示） ：向量 a 與 b 共線 b0abx1 y2x2 y10

8、16.向量的夾角： 對(duì)于兩個(gè) 非零向量 a 和 b，作 OA = a ， OB = b ，則AOB（ 0 180 ）叫做向量 a 和 b 的夾角 特別地，當(dāng)=0 時(shí)， a 與 b 同向；當(dāng)=180 時(shí)， a 與 b 反向；當(dāng)=90 時(shí)，則稱向量a 與 b 垂直，記作a b17. 平面向量數(shù)量積： 已知兩個(gè) 非零 向量 a 和 b，它們的夾角是 ，我們把數(shù)量 |a|b|cos叫做向量 a 和 b的數(shù)量積（或內(nèi)積）（ scalar product of vectors ），記作 ab，即： a b=|a|b|cos我們規(guī)定 ：零向量與任一向量的數(shù)量積為0向量數(shù)量積模的性質(zhì)：當(dāng) a 與 b 同向時(shí)，

9、 a b=|a|b|；當(dāng) a 與 b 反向時(shí)， a b= |a|b|2特別地， a a=|a| 或 |a|=a a向量數(shù)量積的運(yùn)算律：設(shè)向量 a， b， c 和實(shí)數(shù) ，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：（ 1） a b=b a；（交換律）； （ 2）（ a）b=a（ b） =（ ab） =ab；（結(jié)合律）；（ 3）（a+b） c=a c+b c（分配律）。18.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：若兩個(gè)向量為a= (x1,y1)， b= (x2,y2 )，則 a b=x1x2+y1y2 即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和推論及公式：22222設(shè) a=（x， y），則 a =x +y ，即 |a|=

10、x+y 兩點(diǎn) A（ x1， y1）， B（x2， y2）間的距離公式為 AB =1xa=(x1 1，2 2 ，它們的夾角為，則有 cosa b,y )b= ( x ,y )a b221y22 xyx1x2y1 y2x12y12x22y22aba b0x1 x2y1 y2 =019.請(qǐng)寫(xiě)出向量有關(guān)運(yùn)算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積等）的幾何意義與物理學(xué)原型：向量運(yùn)算 /定理 /定義幾何意義物理學(xué)原型相反向量： a作用力與反作用力加法： a + b三角形法則（平行四邊形法則）位移的合成、力的合成減法： a b三角形法則 （減法是加法的逆運(yùn)算）數(shù)乘： a共線向量（ b = a (a 0)b/a）位移 =速度

11、時(shí)間平面向量基本定理力的分解數(shù)量積：功a b = |a| |b| cos二典型例題分析例 1. 在四邊形 ABCD 中 , 已知 ACAB AD , 試判斷四邊形ABCD 是什么樣的四邊形 ?例 2.化簡(jiǎn)：（1） ABBC CD _；（ 2） AB AD DC_；（ 3） ( AB CD)( ACBD) _例 3.若 AB=3e11 且，判斷四邊形ABCD的形狀,CD =5e ,|AD |=|BC|例 4.若 2( x11c 3x) b 0 ，則 x_ a)(b32例 5.已知向量a 、 b不 共 線 ， 實(shí) 數(shù) x 、 y滿足向量等式3xa+(10 y)b=2 xb+(4y+4)a, 則x=

12、_, y=_ 例 6.向量 a (1,1)，且與 a2b 的方向相同，則ab 的取值范圍是(1, )例 7. 已知 OA =(-1 ， 2)， OB =(3 ，m)，若 OA OB ，則 m 的值為 _ 例 8. 已知 | OA| 1,|OB|2,OA OB0, 點(diǎn) C 在AOB內(nèi)，且AOC 450 ，設(shè) OC mOA nOB，其中 m,nR ，則 m 等于 _. n例 9. 已知向量 a(3,1), b( 1,2), 則3a2b 的坐標(biāo)是 _例 10.已知平面內(nèi)三點(diǎn)A(2,2), B(1,3), C(7, x)滿足 BAAC ，則 x 的值為 _例 11.設(shè) 向 量 OA (3,1),OB(

13、 1,2)，向量OC 垂直于向量OB ，向量 BC 平行于OA，試求ODOAOC時(shí), OD 的坐標(biāo)例 12.已知 a(1,2), b(3,2), kab與a3b 垂直，求實(shí)數(shù)k 的值例 13.已知 |p|= 22 ， |q|=3， p、 q 的夾角為45，求以 a=5p+2q， b=p3q 為鄰邊的平行四邊形過(guò)a、 b起點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)例 14.設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D，已知（ DBDC2DA) (AB AC)0, 試判斷 ABC的形狀例15.已知a|=3，b，(且 a 與 b 不共線， 當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時(shí)， 向量 a+kb 與 a kb 互相垂|=4)直 ?例 16.已知向量 a、

14、b 滿足 a3，ab5 , ab5求 b例 17.若向量 a ， b 滿足 a1，b2 且 a 與 b 的夾角為3，則 ab _例 18.已知 A, B, C 為平面上不共線的三點(diǎn)，若向量 AB =（ 1，1），n =（ 1， 1），且 n AC =2，則 n BC等于 _例 19.ABC 中， | AB |3，|AC| 4，|BC|5，則 AB BC_（答： 9）例 20. 已知點(diǎn) A(2,3), B(5,4) ， C(7,10) ，若 APABAC (R) ，則當(dāng) _時(shí)，點(diǎn) P 在第一、三象限的角平分線上（答：1 ）；2例 21. 已知 a(1,1),b(4, x) ， ua2b ， v2

15、ab ，且 u / v ，則 x_（答： 4）；例 22.已知 ABC 中， A（2， 1），B（ 3，2），C（ 3， 1）， BC 邊上的高為 AD ，求點(diǎn) D 和向量 AD的坐標(biāo)例 23.已知 a、 b 都是非零向量，且a 3b 與 7a 5b 垂直， a4b 與 7a2b 垂直，求 a 與 b 的夾角例 24.把一個(gè)函數(shù)圖像按向量a(,2)平移后，得到的圖象的表達(dá)式為y sin( x)2，則原函數(shù)36的解析式為（ ycos x）例 25.設(shè)向量 a 與 b 的夾角為， a(3，3) ， 2b a (11)， ，則 cos_(310)10例26.設(shè) 向 量O A( 3, 1)O, B(，向量OC 垂直于向量 OB ，向量BC 平行于OA ，試求1, 2O DO AO時(shí)C,O的D坐標(biāo)例 27.已知 a( 3,1),b (13), 若存在不為零的實(shí)數(shù)k 和角 ，使得,22c asin3 b,dkasinb ，且 cd ，試求實(shí)數(shù) k 的取值范圍例 28.已知 M (1+cos2x，1)，N (1，3 sin2x+a)(x，aR，a 是常數(shù) )，且 y= OM ON(O 是坐標(biāo)原點(diǎn) )求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；若 x 0， ，f(x) 的最大值為4，求 a 的值，并說(shuō)明此時(shí) f(x