圓錐曲線解題技巧和方法綜合

1、圓錐曲線的解題技巧、常規(guī)七大題型:(1) 中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法(點(diǎn)差法)：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(xi,yi)，(x2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式(當(dāng)然在這里也要注意 斜率不存在的請款討論)，消去四個(gè)參數(shù)。2 2如：(1)篤 爲(wèi) 1(a b 0)與直線相交于 A、B,設(shè)弦 AB中點(diǎn)為 M(Xo,yo)，則有a bXoyo2X(2)a2與 1(a0,b0)與直線I相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(Xo,yo)則有bXoayo(3)y2=2px( p>o)與直線I相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(xo,yo),則有2yok=2p,即 yok=p.典

2、型例題2給定雙曲線X1。過A( 2，1)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)R 及 P2，求線段P1 F2的中點(diǎn)P的軌跡方程。(2) 焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。2 2典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓 務(wù) 占 1上任一點(diǎn)，F(xiàn), c,o)， F2(c,o)為焦點(diǎn), a bPF1F2，PF2 F1。(1)求證離心率esin sinsin( )2）求 |PF1|3 PF2|3 的最值。（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判 別式、 根與系數(shù)的關(guān)系、 求根公式等來處理， 應(yīng)特別注意

3、數(shù)形結(jié)合的思想， 通過圖形的直觀 性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程y2 p（x 1） （p 0），直線x y t與x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。1 ）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)（2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B,且0A丄0B,求p關(guān)于t的函數(shù)f（t）的表達(dá)式。（4）圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。 <2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函 數(shù)，三角函數(shù)

4、，均值不等式）求最值。（1），可以設(shè)法得到關(guān)于 a的不等式，通過解不等式求出 a的范圍，即：“求范圍，找不 等式”或者將a表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于（2）首先要把 NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值，即：“最值問題，函數(shù)思想”。最值問題的處理思路：1 、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān) 鍵是由方程求 x、 y 的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px（p>0）,過M

5、（ a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn) A、B,|AB| < 2p（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求厶N(yùn)AB面積的最大值。（5）求曲線的方程問題典型例題已知直線L過原點(diǎn)，拋物線 C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸正半軸上。若點(diǎn) A (-1, 0)和點(diǎn)B( 0，8)關(guān)于L的對稱點(diǎn)都在 C上，求直線L和拋物線C的方程。2 曲線的形狀未知-求軌跡方程 典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q (2, 0)和圓C:點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。M(6) 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題，可以按如

6、下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線， 求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。(當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決)2 2典型例題已知橢圓 C的方程 1，試確定 m的取值范圍，使得對于直線43y 4x m，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱(7) 兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k1 k2% y21來處理或用向量的坐標(biāo)x1 x2運(yùn)算來處理。典型例題已知直線I的斜率為k,且過點(diǎn)P( 2,0),拋物線C:y24(x1)，直線|與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖)。(1) 求k的取值范圍；(2) 直線|的傾斜角 為何值時(shí)，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教

7、學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。 下面舉例說明：(1) 充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時(shí)，除了運(yùn)用代 數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計(jì)算量。2 2典型例題設(shè)直線3x 4y m 0與圓x y x 2y 0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OP OQ，求m的值。(2) 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。

8、典型例題已知中心在原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線 y x 1相交于P、Q兩點(diǎn)，且OP OQ，|PQ| 10，求此橢圓方程。2(3) 充分利用曲線系方程禾U用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓 C1: x22 2y 4x 2y 0 和 C2: x2y 2y 40 的(4) 充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、 也是我們常說的三角代換法。余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題.這2典型例題P為橢圓篤a2爲(wèi) 1上一動(dòng)點(diǎn)，A為長軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四b2邊形OAPB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)。(5) 線段長的幾種簡便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程 y kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如 ax2 bx c 0的方程，方程的兩根設(shè)為 xA，xB，判別式為, 則|AB| ,1 k2 |xA xB|1 k2一，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算|a|過程。例 求直線x y 10被橢圓x2 4y216所截得的線段AB的長。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時(shí)，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。2 2例F1、F2是橢圓- y