構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

1、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 解決實際問題“能夠運用所學(xué)知識解決簡單的實際問題”是九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱規(guī)定的初中數(shù)學(xué)教學(xué)目的之一。能夠解決實際問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、形成技能和發(fā)展能力的結(jié)果，也是對獲得知識、技能和能力的檢驗。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 解決實際問題基本程序如下：解題步驟如下：1、閱讀、審題：要做到簡縮問題，刪掉次要語句，深入理解關(guān)鍵字句；為便于數(shù)據(jù)處理，最好運用表格（或圖形）處理數(shù)據(jù)，便于尋找數(shù)量關(guān)系。2、建模：將問題簡單化、符號化，盡量借鑒標準形式，建立數(shù)學(xué)關(guān)系式。3、合理求解純數(shù)學(xué)問題4、解釋并回答實際問題中學(xué)階段主要求解下面幾類應(yīng)用題，本文以2004年全國各地中考試題為例供同學(xué)們學(xué)習(xí)：一、 數(shù)與式模

2、型例1、（2004臺州）水是生命之源,水資源的不足嚴重制約我市的工業(yè)發(fā)展,解決缺水的根本在于節(jié)約用水,提高工業(yè)用水的重復(fù)利用率、降低每萬元工業(yè)產(chǎn)值的用水量都是有力舉措。據(jù)臺州日報4月26日報導(dǎo),目前,我市工業(yè)用水每天只能供應(yīng)10萬噸,重復(fù)利用率為45,先進地區(qū)為75,工業(yè)每萬元產(chǎn)值平均用水25噸,而先進地區(qū)為10噸,可見我市節(jié)水空間還很大。(1) 若我市工業(yè)用水重復(fù)利用率(為方便,假設(shè)工業(yè)用水只重復(fù)利用一次)由目前的45增加到60,那么每天還可以增加多少噸工業(yè)用水？(2) 寫出工業(yè)用水重復(fù)利用率由45增加到x（45x100）,每天所增加的工業(yè)用水y(萬噸)與之間的函數(shù)關(guān)系式。(3) 如果我市工

3、業(yè)用水重復(fù)利用率及每萬元工業(yè)產(chǎn)值平均用水量都達到先進地區(qū)水平,那么與現(xiàn)有水平比較,僅從用水的角度我市每天能增加多少萬元工業(yè)產(chǎn)值？ 解：(1)100000×(1+60)100000×(1+45)=100000×15=15000(噸)答：每天還可以增加15000噸工業(yè)用水 (2) y=10(x45)=0.1x4.5（45x100） (3)(萬元)答：每天能增加11700萬元工業(yè)產(chǎn)值。二、方程模型例2、（2004陜西）足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分.一支足球隊在某個賽季中共需比賽14場,現(xiàn)已比賽了8場,輸了1場,得17分. 請問:(1)前

4、8場比賽中,這支球隊共勝了多少場?(2)這支球隊打滿14場比賽,最高能得多少分?(3)通過對比賽情況的分析,這支球隊打滿14場比賽,得分不低于29分,就可以達到預(yù)期的目標.請你分析一下,在后面的6場比賽中,這支球隊至少要勝幾場,才能達到預(yù)期目標?解:(1)設(shè)這個球隊勝x場,則平了(8-1-x)場.根據(jù)題意,得3x+(8-1-x)=17.解之,得x=5.答:前8場比賽中,這個球隊共勝了5場.(2)打滿14場比賽最高能得17+(14-8)×3=35分.(3)由題意知,以后的6場比賽中,只要得分不低于12分即可.勝不少于4場,一定達到預(yù)期目標,而勝3場、平3場，正好達到預(yù)期目標.在以后的比

5、賽中這個球隊至要勝3場.例3、（2004南通）小剛為書房買燈，現(xiàn)有兩種燈可供選購，其中一種是9瓦（即0.009千瓦）的節(jié)能燈，售價49元/盞；另一種是40瓦（即0.04千瓦）的白熾燈，售價為18元/盞。假設(shè)兩種燈的照明亮度一樣，使用壽命都可以達到2800小時，已知小剛家所在地的電價是每千瓦0.5元。設(shè)照明時間是x小時，請用含x的代數(shù)式分別表示用一盞節(jié)能燈的費用和用一盞白熾燈的費用（注：費用燈的售價電費）小剛想在這兩種燈中選購一盞當照明時間是多少時，使用兩種燈的費用一樣多；試用特殊值推斷照明時間在什么范圍內(nèi)，選用白熾燈費用低；照明時間在什么范圍內(nèi)，選用節(jié)能燈費用低；小剛想在這兩種燈中選購兩盞假定

6、照明時間是3000小時，使用壽命都是2800小時，請你幫他設(shè)計費用最低的選燈方案，并說明理由。解：(1)用一盞節(jié)能燈的費用是(49+0.0045x)元，用一盞白熾燈的費用是(18+0.02x)元 (2)由題意，得49+0.0045x=18+0.02x，解得x=2000，所以當照明時間是2000小時時，兩種燈的費用一樣多 取特殊值x=1500小時， 則用一盞節(jié)能燈的費用是49+0.0045×1500=55.75(元)， 用一盞白熾燈的費用是18+0.02×1500=48(元)， 所以當照明時間小于2000小時時，選用白熾燈費用低； 取特殊值x=2500小時， 則用一盞節(jié)能燈的

7、費用是49+0.0045×2500=60.25(元)， 用一盞白熾燈的費用是18+0.02×2500=68(元)， 所以當照明時間超過2000小時時，選用節(jié)能燈費用低 (3)分下列三種情況討論： 如果選用兩盞節(jié)能燈，則費用是98+0.0045×3000=111.5元；如果選用兩盞白熾燈，則費用是36+0.02×3000=96元；如果選用一盞節(jié)能燈和一盞白熾燈，由(2)可知，當照明時間大于2000小時時，用節(jié)能燈比白熾燈費用低，所以節(jié)能燈用足2800小時時，費用最低費用是67+0.0045×2800+0.02×200=83.6元綜上所述

8、，應(yīng)各選用一盞燈，且節(jié)能燈使用2800小時，白熾燈使用200小時時，費用最低例4、(2004 紹興市)初三（2）班的一個綜合實踐活動小組去A，B兩個超市調(diào)查去年和今年“五一節(jié)”期間的銷售情況，下圖是調(diào)查后小敏與其他兩位同學(xué)交流的情況.根據(jù)他們的對話，請你分別求出A，B兩個超市今年“五一節(jié)” 期間的銷售額.解：設(shè)去年A超市銷售額為x萬元，B 超市銷售額為y萬元，由題意得解得100（1+15%）=115（萬元），50（1+10%）=55（萬元）.答：A，B兩個超市今年“五一節(jié)” 期間的銷售額分別為115萬元，55萬元.例5、（重慶市2004年）某出租汽車公司有出租車100輛，平均每天每車消耗的汽油

9、費為80元，為了減少環(huán)境污染，市場推出一種叫“CNG”的改燒汽油為天然汽的裝置，每輛車改裝價格為4000元。公司第一次改裝了部分車輛后核算：已改裝后的車輛每天的燃料費占剩下末改裝車輛每天燃料費用的，公司第二次再改裝同樣多的車輛后，所有改裝后的車輛每天的燃料費占剩下末改裝車輛每天燃料費用的。問：（1）公司共改裝了多少輛出租車？改裝后的每輛出租車平均每天的燃料費比改裝前的燃料費下降了百分之多少？（2）若公司一次性將全部出租車改裝，多少天后就可以從節(jié)省的燃料費中收回成本？、解；（1）設(shè)公司第一次改裝了輛車，改裝后的每輛出租車每天的燃料費比改裝前的燃料費下降的百分數(shù)為依題意得方程組：化簡得：解得：答；

10、公司共改裝了40輛車，改裝后的每輛出租車每天的燃料費比改裝前的燃料費下降了40%。（2）設(shè)一次性改裝后，天可以收回成本，則：100×80×40%×4000×100解得：125（天）答：125天后就可以從節(jié)省的燃料費中收回成本。例6、（2004哈爾濱） “利海”通訊器材商場，計劃用60000元從廠家購進若干部新型手機，以滿足市場需求，已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號的手機，出廠價分別為甲種型號手機每部1800元，乙種型號手機每部600元，丙種型號手機每部1200元.（1）若商場同時購進其中兩種不同型號的手機共40部，并將60000元恰好用完.請你幫助商場計算一下

11、如何購買.（2）若商場同時購進三種不同型號的手機共40部，并將60000元恰好用完，并且要求乙種型號手機的購買數(shù)量不少于6部且不多于8部，請你求出商場每種型號手機的購買數(shù)量.解：（1）設(shè)甲種型號手機要購買x部，乙種型號手機購買y部，丙種型號手機購買z部，根據(jù)題意，得：    答：有兩種購買方法：甲種手機購買30部，乙種手機購買10部；或甲種手機購買20部，乙種手機購買20部. （2）根據(jù)題意，得：   解得：  答：若甲種型號手機購買26部手，則乙種型號手機購買6部，丙種型號手機購買8部；若甲種型號手機購買27部手，則乙種型號手機購買7部，丙種型號手機購

12、買6部；若甲種型號手機購買28部手，則乙種型號手機購買8部，丙種型號手機購買4部；例7、（2004萬州）小明家、王老師家、學(xué)校在同一條路上，小明家到王老師家的路程為3千米，王老師家到學(xué)校的路程為0.5千米，由于小明的父母戰(zhàn)斗在抗“非典”第一線，為了使他能按時到校，王老師每天騎自行車接小明上學(xué)。已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍，每天比平時步行上班多用了20分鐘，問王老師的步行速度及騎自行車速度各是多少千米/時？   解：設(shè)王老師的步行速度為x千米/時，則騎自行車速度為3x千米/時。 依題意得： 20分鐘=小時 解得：x=5 經(jīng)檢驗：x=5是所列方程的解3x=

13、3×5=15 答：王老師的步行速度及騎自行車速度各為5千米/時 和15千米/時例8、（2004朝陽）某校初三（2）班的師生到距離10千米的山區(qū)植樹，出發(fā)1個半小時后，張錦同學(xué)騎自行車從學(xué)校按原路追趕隊伍，結(jié)果他們同時到達植樹地點如果張錦同學(xué)騎車的速度比隊伍步行的速度的2倍還多2千米（1）求騎車與步行的速度各是多少？（2）如果張錦同學(xué)要提前10分鐘到達植樹地點，那么他騎車的速度應(yīng)比原速度快多少？解：（1）設(shè)步行的速度為x千米/時根據(jù)題意得解得，經(jīng)檢驗，都是原方程的解，但不合題意，舍去當x4時，2x210答：隊伍步行的速度是每小時4千米，張錦騎車的速度是每小時10千米（2）由（1）可得張

14、錦騎車用時：（小時），若提前10分鐘，即用時小時則騎車速度為：，12-102（千米/時）答：如果張錦提前10分鐘到達，那么騎車速度應(yīng)比原速度每小時快2千米三、不等式模型例9（2004湖州）年織里某童裝加工企業(yè)今年五月份工人每天平均加工童裝150套，最不熟練的工人加工的童裝套數(shù)為平均套數(shù)的60%。為了提高工人的勞動積極性，按時完成外貿(mào)訂貨任務(wù)，企業(yè)計劃從六月份起進行工資改革。改革后每位工人的工資分二部分：一部分為每人每月基本工資200元；另一部分為每加工1套童裝獎勵若干元。（1）為了保證所有工人的每月工資收入不低于市有關(guān)部門規(guī)范的最低工資標準450元，按五月份工人加工的童裝套數(shù)計算，工人每加工1

15、套童裝企業(yè)至少應(yīng)獎勵多少元（精確到分）？（2）根據(jù)經(jīng)營情況，企業(yè)決定每加工1套童裝獎勵5元。工人小張爭取六月份工資不少于1200元，問小張在六月份應(yīng)至少加工多少套童裝？解（1）設(shè)企業(yè)每套獎勵x元由題意得：200+60%·150x450解得：x2.78因此該企業(yè)至少應(yīng)獎勵2.78元（2）設(shè)小張在六月份加工y套由題意得：200+5y1200解得：y200答：小張在六月份應(yīng)至少加工200套。例10、（2004南昌）仔細觀察下圖，認真閱讀對話：小朋友，本來你用10元錢買一盒餅干是有多的，但要再買一袋牛奶就不夠了！今天是兒童節(jié)，我給你買的餅干打9折，兩樣?xùn)|西請拿好！還有找你的8角錢.阿姨，我買

16、一盒餅干和一袋牛奶（遞上10元錢）.根據(jù)對話的內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標價各是多少元？解：設(shè)餅干的標價為每盒x元，牛奶的標價為每袋y元，則 x+y>10,（1）0.9x+y=100.8, （2）x<10. （3）由（2）得y=9.20.9x.（4）把（4）代入（1）得：9.20.9x+x>10,解得x>8. 由（3）綜合得 8<x<10. 又x是整數(shù)，x=9. 把x=9代入（4）得：y=9.20.9×9=1.1（元）答：一盒餅干標價9元，一袋牛奶標價1.1元四、函數(shù)模型例11、（2004河北）光華農(nóng)機租賃公司共有50臺聯(lián)合收割機，其中甲型20臺，乙

17、型30臺。先將這50臺聯(lián)合收割機派往A、B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺派往A地區(qū)，20臺派往B地區(qū)。 兩地區(qū)與該農(nóng)機租賃公司商定的每天的租賃價格見下表：每臺甲型收割機的租金每臺乙形收割機的租金A地區(qū)1800元1600元B地區(qū)1600元1200元（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機，租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金為y（元），求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）若使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金總額不低于79600元，說明有多少種分配方案，并將各種方案設(shè)計出來；（3）如果要使這50臺聯(lián)合收割機每天獲得的租金最高，請你為光華農(nóng)機租賃公司提一條合理化建議。解：（1）

18、若派往A地區(qū)的乙型收割機為x臺，則派往A地區(qū)的甲型收割機為（30x）臺；派往B地區(qū)的乙型收割機為（30x）臺，派往B地區(qū)的甲型收割機為（x10）臺。y1600x1800(30x)1200(30x)1600(x10)200x74000x的取值范圍是：10x30（x是正整數(shù)）（2）由題意得 200x7400079600 解不等式得 x28 由于10x30（x是正整數(shù)）x取28，29，30這三個值。有3種不同的分配方案。當x28時，即派往A地區(qū)的甲型收割機為2臺，乙型收割機為28臺；派往B地區(qū)的甲型收割機為18臺，乙型收割機為2臺。當x29時，即派往A地區(qū)的甲型收割機為1臺，乙型收割機為29臺；派往

19、B地區(qū)的甲型收割機為19臺，乙型收割機為1臺。當x30時，即30臺乙型收割機全部派往A地區(qū)；20臺甲型收割機全部派往B地區(qū)。（3）由于一次函數(shù)y200x74000的值y是隨著x的增大而增大的，所以當x30時，y取得最大值。如果要使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機每天獲得租金最高，只需x30，此時，y60007400080000。建議農(nóng)機租賃公司將30臺乙型收割機全部派往A地區(qū)；20臺甲型收割機全部派往B地區(qū)，可使公司獲得的租金最高。例12、（2004蕪湖）某紡織廠生產(chǎn)的產(chǎn)品,原來每件出廠價為80元,成本為60元.由于在生產(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5米3的污水排出,現(xiàn)在為了保護環(huán)境,需對污水

20、凈化處理后再排出.已知每處理1米3污水的費用為2元,且每月排污設(shè)備損耗為8000元.設(shè)現(xiàn)在該廠每月生產(chǎn)產(chǎn)品x件,每月純利潤y元： 求出y與x的函數(shù)關(guān)系式.(純利潤=總收入-總支出) 當y=106000時,求該廠在這個月中生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù).解：依題意得：y=80x-60x-0.5x·2-8000y=19x-8000所求的函數(shù)關(guān)系式為y=19x-8000(x>0且x是整數(shù))當y=106000時，代入得：106000=19x-800019x=114000x=6000這個月該廠生產(chǎn)產(chǎn)品6000件.例13（2004四川）某零件制造車間有工人20名，已知每名工人每天可制造甲種零件6個或乙種零

21、件5個，且每制造一個甲種零件可獲利潤150元，每制造一個乙種零件可獲利潤260元，在這20名工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件.（I）請寫出此車間每天所獲利潤y（元）與x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式；（II）若要使車間每天所獲利潤不底于24,000元，你認為至少要派多少名工人去制造乙種零件才合適？解：（1）依題意，是（2）由題意：有 解得 答：至少要派15名工人去制造乙種零件才合適.五、幾何模型例14（2004寧波）據(jù)氣象臺預(yù)報，一強臺風的中心位于寧波(指城區(qū)，下同)東南方向()千米的海面上，目前臺風中心正以20千米/時的速度向北偏西60°的方向移動，距臺風中心

22、50千米的圓形區(qū)域均會受到強襲擊已知寧海位于寧波正南方向72千米處，象山位于寧海北偏東60°方向56千米處請問：寧波、寧海、象山是否會受這次臺風的強襲擊？如果會，請求出受強襲擊的時間；如果不會，請說明理由(為解決問題，須畫出示意圖，現(xiàn)已畫出其中一部分，請根據(jù)需要，把圖形畫完整)_（臺風中心）_（寧海）_（寧波）_P_B_A解：補畫出示意圖經(jīng)過點 如圖過作東西方向(水平)直線與(南北)延長線交于， 延長臺風中心移動射線與相交于 ，45°， 30°， 30°=， 與重合， 臺風中心必經(jīng)過寧海經(jīng)過寧海的時間為(時) 如圖為象山，由題意可得30°+30

23、°=60°，到的距離60°=，象山會受到此次臺風強襲擊求受襲擊時間可先求以為圓心，為半徑的圓與相交的弦長等于，受襲擊時間(時) 到的距離60°=，寧波不會遭受此次臺風的強襲擊綜上所述:寧波不會遭受此次臺風的強襲擊；寧海:會，受襲擊時間為5時；象山:會，受襲擊時間時(約1時13分)例15（2004錦州）一艘漁船在A處觀測到東北方向有一小島C，已知小島C周圍4.8海里范圍內(nèi)是水產(chǎn)養(yǎng)殖場.漁船沿北偏東30°方向航行10海里到達B處，在B處測得小島C在北偏東60°方向，這時漁船改變航線向正東(即BD)方向航行，這艘漁船是否有進入養(yǎng)殖場的危險？

24、解法一：過點B作BMAH于M，BMAF.ABM=BAF=30°. 在BAM中，AM=AB=5，BM=5. 過點C作CNAH于N，交BD于K. 在RtBCK中，CBK=90°-60°=30° 設(shè)CK=x，則BK=x. 在RtACN中，CAN=90°-45°=45°， AN=NC.AM+MN=CK+KN. 又NM=BK，BM=KN. x+5=5+x.解得x=5. 5海里4.8海里，漁船沒有進入養(yǎng)殖場的危險. 答：這艘漁船沒有進入養(yǎng)殖場危險.解法二：過點C作CEBD，垂足為E，CEGBFA.BCE=GBC=60°.ACE

25、=FAC=45°.BCA=BCE-ACE=60°-45°=15°.又BAC=FAC-FAB=45°-30°=15°，BCA=BAC.BC=AB=10在RtBCE中，CE=BC·cosBCE=BC·cos60°=10×=5(海里).5海里4.8海里，漁船沒有進入養(yǎng)殖場的危險.答：這艘漁船沒有進入養(yǎng)殖場的危險.六、三角模型例16（2004四川）如圖，小麗的家住在成都市錦江河畔的電梯公寓AD內(nèi)，她家的河對岸新建了一座大廈BC，為了測得大廈的高度，小麗在她家的樓底A處測得大廈頂部B的仰角為60

26、°，爬上樓頂D處測得大廈頂部B的仰角為30°。已知小麗所住的電梯公寓高82米，請你幫助小麗計算出大廈高度BC及大廈與小麗所住電梯公寓間的距離AC.解：過點D作DEBC于E，則四邊形ACED是矩形. AC=DE，DA=EC=82米，BDE=30°.在RtBDE中，tanBDE= BE=DE·tanBDE=DE.在RtBAC中，tanBAC=答：大夏BC高為123米，小麗所住的電梯公寓與大廈間的距離AC為41米七、統(tǒng)計模型例17（2004哈爾濱）中小學(xué)生的視力狀況受到全社會的廣泛關(guān)注，某市有關(guān)部門對全市4萬名初中生的視力狀況進行一次抽樣調(diào)查統(tǒng)計，所得到的有關(guān)

27、數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如下圖，從左至右五個小組的頻率之比依次是2：4：9：7：3，第五小組的頻數(shù)是30.（1）本次調(diào)查共抽測了多少名學(xué)生？（2）本次調(diào)查抽測的數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)在哪個小組？說明理由.（3）如果視力在4.95.1（含4.9、5.1）均屬正常，那么全市初中生視力正常的約有多少人？解：（1）因為頻率之比等于頻數(shù)之比， 設(shè)第一小組的頻數(shù)為2k，所以各組的頻數(shù)依次為2k、4k、9k、7k、3k，于是3k=30，所以k=10 所以2k=20，4k=40，9k=90，7k=70，所以20+40+90+70+30=250（人）. 答：本次調(diào)查共抽測了250名學(xué)生. （2）中位數(shù)應(yīng)在第三小組.

28、250個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第125和第126兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，前兩個小組的頻數(shù)之和是20+40=60，60<125視力3.954.254.554.855.155.45第三小組的頻數(shù)是90，90+60=150，150>126,中位數(shù)應(yīng)在第三小組. （3）視力在4.95.1范圍內(nèi)的人有70人，頻率= =0.28，全市初中生視力正常的約有40000×0.28=11200（人），答：全市初中生視力正常的約有11200人.例18、（2004河北）為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學(xué)組織了環(huán)保知識競賽活動， 初中三各年級根據(jù)初賽成績分別選出了10名同學(xué)參加決賽，這些選手的決賽成績（滿分為100分）如下表所示：決賽成績（單位：分）初一年級80 86 88 80 88 99 80 74 91 89 初二年級85 85 87 97 85 76 88 77 87 88初三年級82 80 78 78 81 96 97 88 8