兩角和與差的正弦余弦正切公式

1、.v兩角和與差的正弦余弦正切公式教學(xué)目標(biāo)1能根據(jù)兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦公式，并靈活運(yùn)用(重點(diǎn))2能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式(難點(diǎn))3掌握兩角和與差的正切公式及變形應(yīng)用(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理 1兩角和與差的余弦公式閱讀教材 P128“思考”以下至“探究”以上內(nèi)容，完成下列問題.名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C()cos()coscossinsin，R R兩角和的余弦公式C()cos()coscossinsin，R Rcos 75cos 15sin 75sin 15的值等于_【解析】逆用兩角和的余弦公式可得cos 75cos

2、 15sin 75sin 15cos(7515)cos 900.【答案】0.v教材整理 2兩角和與差的正弦公式閱讀教材 P128“探究”以下內(nèi)容，完成下列問題1公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦S()sin()sincoscossin、R R兩角差的正弦S()sin()sincoscossin、R R2.重要結(jié)論輔助角公式y(tǒng)asinxbcosxa2b2sin(x)(a，b不同時(shí)為 0)，其中 cosaa2b2，sinba2b2判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R R，使得 sin()sinsin成立()(3)對于任意，R R

3、，sin()sinsin都不成立()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()解：(1).根據(jù)公式的推導(dǎo)過程可得(2).當(dāng)45，0時(shí)，sin()sinsin.(3).當(dāng)30，30時(shí)，sin()sinsin成立(4).因?yàn)?sin 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30.v，故原式正確【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理3兩角和與差的正切公式閱讀教材 P129“探究”以下至“例 3”以上內(nèi)容，完成下列問題名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正切T()tan()tantan1tantan，

4、k2(kZ Z) 且 tantan1兩角差的正切T()tan()tantan1tantan，k2(kZ Z) 且 tantan1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)存在，R R，使 tan()tantan成立()(2)對任意，R R，tan()tantan1tantan都成立()(3)tan()tantan1tantan等價(jià)于 tantantan()(1tantan)()解：(1).當(dāng)0，3時(shí)，tan()tan03tan 0tan3，但一般情況下不成立.v(2).兩角和的正切公式的適用范圍是，k2(kZ Z)(3).當(dāng)k2(kZ Z)，k2(kZ Z)，k2(kZ Z)時(shí)，由前一個(gè)式子兩邊

5、同乘以 1tantan可得后一個(gè)式子【答案】(1)(2)(3)小組合作型靈活應(yīng)用和、差角公式化簡三角函數(shù)式(1)(2016濟(jì)寧高一檢測)sin 47sin 17cos 30cos 17()A32B12C12D32(2)化簡求值：1tan 751tan 75；sin(75)cos(45)3cos(15)；(2016遵義四中期末)tan 20tan 403tan 20tan 40.(1)化簡求值應(yīng)注意公式的逆用(2)對于非特殊角的三角函數(shù)式化簡應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值.v解：(1)sin 47sin 17cos 30cos 17sin（1730）sin 17cos 30cos 17sin 17c

6、os 30cos 17sin 30sin 17cos 30cos 17cos 17sin 30cos 17sin 3012.【答案】C(2)原式tan 45tan 751tan 45tan 75tan(4575)tan 1203.原式3.設(shè)15，則原式sin(60)cos(30)3cos12sin32cos32cos12sin3cos0.原式0.原式tan 60(1tan 20tan 40)3tan 20tan 403.原式3.1 公式 T()， T()是變形較多的兩個(gè)公式， 公式中有 tan tan，tantan(或 tantan)，tan()(或 tan()三者知二可表示出或求出第三個(gè).v

7、2化簡過程中注意“1”與“tan4” 、“3”與“tan3” 、“12”與“cos3”等特殊數(shù)與特殊角的函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化再練一題1化簡求值：(1)cos 61cos 16sin 61sin 16；(2)sin 13cos 17cos 13sin 17；(3)1tan 12tan 72tan 12tan 72.解：(1)原式cos(6116)cos 4522.(2)原式sin(1317)sin 3012.(3)原式1tan 12tan 72tan 12tan 721tan（7212）33.給值求值(2016普寧高一檢測)已知434，04，cos435，sin34513，求 sin()的值. 【導(dǎo)

8、學(xué)號：00680069】可先考慮拆角，344，然后再利用 sin()sin()求值解：因?yàn)?34，所以24.v所以 sin41cos2445.又因?yàn)?04，3434，所以 cos341sin2341213，所以 sin()sin()sin434sin4cos34cos4sin34451213355136365.1本題屬于給值求值問題，求解時(shí)，關(guān)鍵是從已知角間的關(guān)系入手，分析出已知角和待求角的關(guān)系如本題中巧用()這一關(guān)系2常見角的變換為(1)2()，2()；(2)222，222；.v(3)442()；(4)442()再練一題2 已知 cos45，32， tan13，2， 求 cos()解：因?yàn)椋?/p>

9、32，cos45，所以 sin35.因?yàn)?，tan13，所以 cos31010，sin1010.所以 cos()coscossinsin453101035101031010.給值求角已知 sin55，sin1010，且，為銳角，求的值sin，sin求 cos，cos求 cos（）確定的范圍求的值.v解：sin55，為銳角，cos1sin2255.又 sin1010，為銳角，cos1sin231010.cos()coscossinsin2553101055101022.又，0，2，0，因此4.1求解該類問題常犯的錯(cuò)誤是對角的范圍討論程度過大(小)，導(dǎo)致求出的角不合題意或者漏解2求角的大小，要解決

10、兩點(diǎn)：(1)確定所求角的范圍，(2)求角的某一三角函數(shù)值， 特別是要根據(jù)角的范圍確定取該角的哪一種三角函數(shù)值再練一題3若把本例題的條件改為“0，2，2，0，且 cos()35，sin210” ，試求角的大小.v解：0，2，2，0，(0，)，由 cos()35，知 sin()45.由 sin210，知 cos7210.sinsin()sin()coscos()sin4572103521022.又0，2，4.探究共研型輔助角公式的應(yīng)用探究1函數(shù)ysinxcosx(xZ Z)的最大值為 2 對嗎.為什么.【提示】不對因?yàn)?sinxcosx222sinx22cosx2sinxcos4cosxsin42

11、sinx4.所以函數(shù)的最大值為2.探究2函數(shù)y3sinx4cosx的最大值等于多少.v【提示】因?yàn)閥3sinx4cosx535sinx45cosx，令 cos35，sin45，則y5(sinxcoscosxsin)5sin(x)，所以函數(shù)y的最大值為 5.探究3如何推導(dǎo)asinxbcosxa2b2sin(x)tanba公式【提示】asinxbcosxa2b2aa2b2sinxba2b2cosx，令 cosaa2b2，sinba2b2，則asinxbcosxa2b2(sinxcoscosxsin)a2b2sin(x)(其中角所在象限由a、b的符號確定，角的值由 tanba確定， 或由 sinba

12、2b2和 cosaa2b2共同確定)當(dāng)函數(shù)ysinx3cosx(0 x2)取得最大值時(shí)，x_.可先用公式 S將函數(shù)化為yAsin(x)形式再求最大值對應(yīng)的x值解：函數(shù)為ysinx3cosx212sinx32cosx2sinxcos3cosxsin3.v2sinx3，當(dāng) 0 x2時(shí)，3x353，所以當(dāng)y取得最大值時(shí)，x32，所以x56.【答案】561對于形如 sincos， 3sincos的三角函數(shù)式均可利用特殊值與特殊角的關(guān)系，運(yùn)用和差角正、余弦公式化簡為含有一個(gè)三角函數(shù)的形式2在解法上充分體現(xiàn)了角的變換和整體思想，在三角函數(shù)求值化簡的變換過程中，一定要本著先整體后局部的基本原則再練一題4函數(shù)

13、f(x)sinxcosx6的值域?yàn)?)A2，2B3，3C1，1D32，32解：f(x)sinxcosx6sinx32cosx12sinx32sinx32cosx3sinx6，.v所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，3故選 B【答案】B構(gòu)建體系1(2016清遠(yuǎn)期末)化簡：sin 21cos 81cos 21sin 81等于()A12B12C32D32解：原式sin(2181)sin 6032.故選 D【答案】D2已知是銳角，sin35，則 cos4等于()A210B210C25D25解：因?yàn)槭卿J角，sin35，所以 cos45，所以 cos422452235210.故選 B【答案】B.v3函數(shù)ysinx

14、cosx的最小正周期是()A2BC2D4解：ysinxcosx2sinx4，所以T2.【答案】C4計(jì)算3tan 1513tan 15_解：3tan 1513tan 15tan 60tan 151tan 60tan 15tan 451.【答案】15已知，均為銳角，sin55，cos1010，求.解：，均為銳角，sin55，cos1010，sin31010，cos255.sinsin，20，sin()sincoscossin5510102553101022，4.學(xué)業(yè)分層測評學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo).v一、選擇題1若4，則(1tan)(1tan)等于()A1B1C2D2解：(1tan)(1tan)1(tantan)

15、tantan1tan()(1tantan)tantan1tan4(1tantan)tantan2.【答案】C2cos3sin化簡的結(jié)果可以是()A12cos6B2cos3C12cos3D2cos6解：cos3sin212cos32sin2coscos3sinsin32cos3.【答案】B3(2016北京高一檢測)在ABC中，A4，cosB1010，則sinC等于().vA255B255C55D55解：因?yàn)?cosB1010且 0B，所以 sinB31010又A4，所以 sinCsin(AB)sin4cosBcos4sinB2210102231010255.【答案】A4若 sin35，2，2，則

16、 cos54()A210B210C7210D7210解： 因?yàn)?sin35，2，2， 所以 cos45， 故 cos54coscos54sinsin5445223522210.【答案】A5若 sin35，tan()1，且是第二象限角，則 tan的值為().vA43B43C7D17解：由 sin35，且是第二象限角，可得 cos45，則 tan34， 所以 tantan()tan（）tan1tan（）tan1341347.【答案】C二、填空題6計(jì)算1tan 153tan 60tan 15_.解：原式tan 45tan 153（1tan 45tan 15）13tan(4515)13.【答案】137

17、若 sin()15，sin()35，則tantan_.解：由題意得 sincoscossin15，sincoscossin35，.v得 sincos25，得 cossin15，得tantan2.【答案】2三、解答題8設(shè)方程 12x2x120 的兩根分別為，求 coscos3sincos3cossinsinsin的值解：由題意知12，故原式cos()3sin()2sin6（）2sin122sin462sin4cos6cos4sin6222322212622.9.如圖 311，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角、，它們的終邊分別與單位圓交于A、B兩點(diǎn)，已知A、.vB的橫坐標(biāo)分別為210、255.圖 311(1)求 tan()的值；(2)求2的值解：由條件得 cos210，cos255.，為銳角，sin1cos27210，sin1cos255.因此 tan7，tan12.(1)tan()tantan1tantan71217123.(2)tan(2)tan()tan（）tan1tan（）tan3121（3）121，又，為銳角，0232，234.能力提升.v1 已知f(x)si