一、填空題（共10題,每題2分,共20分）

1、一、填空題 （共10題，每題2分，共20 分）1只于自身合同的矩陣是 矩陣。2二次型的矩陣為_。3設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，則當(dāng)實(shí)數(shù)_,是正定矩陣。4正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為_。5標(biāo)準(zhǔn)正交基下的度量矩陣為_。6線性變換可對(duì)角化的充要條件為_。7在中定義線性變換為： ，寫出在基下的矩陣_。8設(shè)、都是線性空間的子空間，且，若，則_。9敘述維數(shù)公式_。10向量在基（1）與基（2）下的坐標(biāo)分別為、，且從基（1）到基（2）的過(guò)渡矩陣為，則與的關(guān)系為_。二、判斷題 （共10 題，每題1分，共10分）1線性變換在不同基下的矩陣是合同的。（ ）2設(shè)為維線性空間上的線性變換，則。（ ）3平面上不平行于某一向量的全部

2、向量所成的集合，對(duì)于向量的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間。（ ）4設(shè)與分別是齊次線性方程組與的解空間，則 （ ）5為正定二次型。（ ）6數(shù)域上任意一個(gè)矩陣都合同于一對(duì)角矩陣。（ ）7把復(fù)數(shù)域看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，令，則是線性變換。（ ）8若是正交變換，那么的不變子空間的真正交補(bǔ)也是的不變子空間。（ ）9歐氏空間中不同基的度量矩陣是相似的。（ ）10若為 ()中的微分變換，則不可對(duì)角化。（ ）三、計(jì)算題 （共3題，每題10分，共30分）1設(shè)線性變換在基下的矩陣為，求的特征值與特征向量，并判斷是否可對(duì)角化？2取什么值時(shí)，下列二次型是正定的？3設(shè)三維線性空間上的線性變換在基下的矩陣為：,求

3、在基，下的矩陣。四、證明題 （共4題，每題10分，共40分）1證明：與相似，其中是的一個(gè)排列。2證明：和是直和的充要條件為：。3設(shè)是級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，且，證明：存在正交矩陣，使得： 4證明： 與 合同，其中是的一個(gè)排列。答案一1零 2 3.充分大 4.正交矩陣 5. 6.有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量7. 8. 9. 10. 二1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三1.解： （3分） 所以，的特征值為（二重）和。把代入方程組得： 基礎(chǔ)解系為 因此，屬于得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)得特征向量為： 因而屬于的全部特征向量就是 ，、取遍中不全為零的全部數(shù)對(duì) （6分），再用代入得：基礎(chǔ)解系，因此，屬于5的全部特征向量是， 是中任意不等于零的數(shù)。 （9分） 因?yàn)橛腥齻€(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以可能對(duì)角化。 （10分）2.解：的矩陣為： ， ， 。得：當(dāng)時(shí)，是正定的。3解： （2.5分） （2.5分） （2.5分）在基下的矩陣為 （2.5分）四1.證：任意維向量空間，的基，則唯一使 （3分）即 在基下的矩陣為（6分）與相似（1分）2證：是直和 （3分） （2分）令 （3分），同理是直和。