現(xiàn)代控制理論試卷答案與解析

1、現(xiàn)代理論現(xiàn)代理論試卷作業(yè) 圖為 R-L-C 電路，設 u 為量， 電感 L 上的支路電流01 x 0Y = + U 和電容 C 上的電壓 x 為狀態(tài)變11R RRRY 1 212-2x 2 2 R + R R + R R + R 1212 12 量，電容 C 上的電壓 x2 為輸出量，試求：的狀態(tài)方程和輸出方程（注意指明參考方向）。解：此電路沒有純電容回路，也沒有純電感電路，因有兩個儲能元件，故有變量。以電感 L 上的電流和電容兩端的電壓為狀態(tài)變量，即令：iL = x1 , uc = x2 ，由電壓定律可得電壓方程為：R2C x2 + x2 - L x1 = 0R1 (x1 + C x2 )

2、+ L x1 - u = 0從上述兩式可解出 x1 ， x2 ，即可得到狀態(tài)空間表如下：-)L R1 R2R1R2 x (R(R + R )L(R + R )L+ R x= + 11 u112122 x2 1R11 x2 - (R + R )C-(R + R )C(R + R )C 1212120R1 R21R1 x1 0R2 y1 = - x + u y R 2 2 + RR + R+ RR1212 12 二、考慮下列系統(tǒng)：- -現(xiàn)代理論（a）給出這個系統(tǒng)狀態(tài)變量的實現(xiàn)；（b）可以選出參數(shù)K（或a ）的某個值，使得這個實現(xiàn)或者喪失能控性，或者喪失能觀性，或者同時消失。解：（a）模擬結構圖如下

3、：x1= u - kx3 - 3x1x2 = u - kx3x - ax3 23x2x3x1 +y =則可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表： x1 -3-k x001 31 1 x2 = 0-k x2 + 1 u 2 -a x3 03 x3 x1 0xy = 2 31 32 x3 - -現(xiàn)代理論-3-k 1 001 3A = 0-k b = 1 （b）因為-a 02 3-3-k 1 -3001 3Ab = 0-k 1 = 02 3001 3 -a 01-3-k -39 - k A2b = 0-k 0 = -k2 3-a-3 0119 - k-k-2 - a11-k-3010 0= bA b = 12MAb0

4、-2 - a01 - a所以：當a = 1 時，該系統(tǒng)不能控；當a 1 時，該系統(tǒng)能控。又因為： C = 2 301 3-3-k 000 0-k = -2CA = 2 3-k 1 302 1 3-a3-3-k 001 3-k 0-k = 6 - 2k= -22k + ak -kCA2033-a2 3C2 3 2 31 3 0-k 3001000N = CA = -2-k -2CA2 6 - 2k2k + ak -6（a -1）k 3所以：當k = 0 或a = 1 時，該系統(tǒng)不能觀；當k 0 且a 1 時，該系統(tǒng)能觀。綜上可知：當a = 1k = 0 且a = 1 時，該系統(tǒng)既不能控也不能觀。

5、三、已知系統(tǒng) x = Ax 的狀態(tài)轉移矩陣為：e-t0(1 - 2t)e-2t- te-2t04te-2t= 0e At 0(1 + 2t)e-2t （1）試確定矩陣 A ，并e At 確為上式。（2）已知 A 求e At ，以下采用三種計算e At ，并對計算結果進行討論。- -現(xiàn)代理論解：（1）利上 P53 狀態(tài)轉移矩陣的性質四：對于狀態(tài)轉移矩陣，有df(t) = Af(t) = f(t) A 即e= Ae= e AAtAtAtdtf (0) = If -1 (0) = I當 t=0 時A = f(0) = f(t) t =0 =e At ：（利用 P59 的公式（2-24）來）l + 1

6、0000lI - A =l + 4- 4 = (l1l解得： l1 = l2 = -2 ， l3 = -1，有一對復根，重根部分按公式（2-24）處理，非重根部分的ai 仍按公式（2-23）計算。2la0 01a 1l21 111al2 2 33且e At= aI + a A + aA2012所以：f (t) = e At =(-2te -2t- 3e-2t+ 4e-1+ e-t )0(-te -2t- e-2t0四、有兩個能控能觀的單輸入單輸：01- 40y1 = 21x1S1 ： x1 = 3+ ux 111 S2 ： x 2= -2x2 + U 2y2 = x22 推導狀態(tài)方程。（1）按

7、圖把S1 、S2 串聯(lián)，- -現(xiàn)代理論（2）以上系統(tǒng)的能控性和能觀性。（3）把串統(tǒng)的連接順序顛倒過來，再推算系統(tǒng)的狀態(tài)方程及能控、能觀性。（4）求S1 、S2 及串解：（1）統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，并對（2）和（3）討論。x1 = A1 x1 + B1u1y1 = C1 x1x 2= A2 x2 + B2u2 = A2 x2 + Bx 2= B2C1 x1 + A2 x2所以y2 = C2 x20 x B A x1 =11+ u1因而B Cx 0 A2 2 2 1x2 01- 4100x = 30 x + 1u得狀態(tài)方程:2- 2 0001- 4100Q A= 3b= 1（2）2 0- 2Ab =

8、- 4A2- 4001- 111A2b= 1 1所以 M = b- 4 19Ab190- 4000rank (M ) = 2 3所以該系統(tǒng)不能控。C = 00 1Q- -現(xiàn)代理論01- 410CA = 00 130 = 2 1- 22- 201- 410CA2 = 2 1- 230 = -1- 442 0- 2C01- 41所以 N = CA = 2- 2-1C A2 4rank(N ) = 3所以該系統(tǒng)是能觀的。（3）x 2x1= A2 x2 + B2 uy2 = C2 x2= A1 x1 + B1u1 = A1 x1 + B1C2 x2y1 = C1 x1001- 400 A1B1C2 0

9、 所以 x = 0 x + B u = 31 x + 0u- 21A 2 0201- 400100Ab = 30 = 100 - 21- 21- 40001A2b = 3 = - 6110- 2- 24001- 21M = bA2b= 0- 6所以Ab14rank(M ) = 3Q C = 2 1 0所以此時該系統(tǒng)能控。- -現(xiàn)代理論01- 400CA = 2 1031 = 31- 20- 201- 400CA2 = 3- 2 131 = - 611- 401- 211- 22C2011700而 N = CA = 3 0- 2CA2 - 6- 400rank (N ) = 2 3所以此時該系統(tǒng)

10、不能觀。-1 -1 0sY (s)= C(sI - A) B + d = 1（4） w (s) =-1 12- 3s + 411U (s) 1s + 4101s + 41011= 2 12=s1s1+ 4s - 33s 2 + 4s - 3s23 s + 2=s 2 + 4s - 3Y2 (s)1w (s) =2U (s)s + 221當S 、S 按照（2）的連接方式串聯(lián)時， w(s) = w (s)w (s) =1212s 2 + 4s - 31當S 、S 按照（2）的連接方式串聯(lián)時， w(s) = w (s)w (s) =1221s 2 + 4s - 3由上邊的傳遞函數(shù)結果可知，串聯(lián)時，顛

11、倒其先后次序，雖然傳遞函數(shù)相同，但系統(tǒng)的能控性、能觀性則不一定相同。五、試求下列系統(tǒng)的能控性分解及能觀性分解：-1121- 40 x = 01y = 10 x + 0u = Ax + bu1 31x = cx-1解：（a）能控性分解：-11021-4A = 00 ， b = 013 1- -現(xiàn)代理論-10-1121- 4Ab = 00 0 = 0 11 3 1 3 -1-1- 421A2b = 00 0 = 01- 43 3 8-1030M = bAbA2b= 0所以1rank (M ) = 2 ，故該系統(tǒng)不能控。構造非奇異矩陣-1 0300 31001R = 01 ，所以 R= -10-11

12、0 00CCx = R AR + R-1bu-1CCC 301121- 4= -100001- 4401 2= 1- 2x + 0u0 001- 10301 101x = 1y10（b）能觀性分解：C = 1 -112-110- 431-1 10C=1081-14-1 10C4- -現(xiàn)代理論-1- 311CCA所以 N = = 22CA2 4- 74rank (N ) = 2 0數(shù)，即v(1 12-2=)x=(xxxxv221221當 x1 = 0 ， x2 = 0 時， v(x) = 0 ；當 x1 0 ， x2 = 0 時，v(x) = 0 ，因此v(x) 為負半定。根據(jù)另選一個李，可知該

13、系統(tǒng)在李函數(shù)，例如：意義下是的。1 2)(2 +xxv2)(2112 31 2x1 2=xx1 21x 12 2 為正定，而212 +x=xxxxv()()(2)1221121 ，有V (x) 。即該系統(tǒng)在原點處是大范圍漸進為負定的，且當x。（2） 閉（3）的狀態(tài)方程為x = 01 x + 0u- 101 = x2其齊次方程為x1= -x1x 2顯然，原點的唯一的平衡狀態(tài)，選李夫函數(shù)22 0v(222)(v.可見， v(x) 在任意 x 0 的值均保持為 0，而v(x) 保持為常數(shù)22= cv(這表示系統(tǒng)運動的相軌跡是一系列以原點為圓心， c 為半徑的圓。這為李的，但在經(jīng)典理論中，這種情況屬于

14、不，這的一個等幅的正弦振蕩，要想使這個系統(tǒng)不，必須改變系統(tǒng)的結構。七、圖示的系統(tǒng)，試設計狀態(tài)反饋矩陣，使閉輸出超調量d 5% 和峰值時間tp 5s 。- -現(xiàn)代理論解：傳遞函數(shù)W (s) = Y (s) =111 =1U (s)(s + 6) (s + 2) ss3 + 8s 2 + 12s又因為二階系統(tǒng)階躍響應中：xpM = exp(-)100%p1-x2=ptp1 - x 2 wn根據(jù)題意要求d 5% 和tp 5s通過上式解答：x = 0.684w n = 0.861因此設計后的極點分別為： s1 = 0s2 = -(x - j 1 - x )w = -0.6 +2ns3 = -(x -

15、j 1 - x )w = -0.6 -2nj0.63j0.63因為傳遞函數(shù)w(s) 沒有零極點對消現(xiàn)象，所以原系統(tǒng)能控而且能觀?？芍苯訉懗鏊哪芸貥藴?I 型實現(xiàn)。010- 800x = 01 x + 0u0y = 1結構圖如下： - 12100x其閉- -現(xiàn)代理論加入狀態(tài)反饋陣 K = k0k1k2 ，其系統(tǒng)結構如下圖：而閉特征多項式為f (l) = detlI - (A + bK) = l3 + (12 - k )l2 + (8 - k )l + (-k )210根據(jù)極點值，得期望特征多項式：f * (l) = l(l + 0.6 - j0.63)(l + 0.6 + j0.63) = l

16、3 + 1.2l2 + 0.757l比較 f (l) 和 f * (l) 各對應項系數(shù)，可得：k 0 = 0k1 = 7.243k2 =10.8K = 07.243 10.8即- -現(xiàn)代理論八、系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下： x = -x + u ， x(0) = 10 ， 性能指標11J (u) =(x + u 2 )dt 分兩種情況求最優(yōu)： u * (t) 。220（1） 對u 沒有約束（2） u(t)解：（1） 原 0.3終端狀態(tài)，因而l(1) = 0 。H = L + lf = 1 (x 2 + u 2 ) + l(-x + u)由哈密爾頓函數(shù)2Hg T又因為= -g =0uu所以u * (t)

17、 = -l(t)又沿最優(yōu)軌跡線滿足正則方程：x = H= -x + u = -x - lll = - H- g T= - Hg= - x + lxxxx(0) = 10,l (1) = 0解答：邊界條件通過上式x* (t) = 0.1e+ 9.9e -2t2tl (t) = -0.1( 2 + 1)e+ 9.9( 2 - 1)e -2t2t（2） 由極小值原理， u * (t) 與l(t) 符號有關，取u * (t) = -0.3sgn l(t)sgn l(t) 表示l(t) 的符號，t = 1, l = 0,取u * (t) = 0在0,1 區(qū)間， l(t) 0 ，取u * (t) = -0

18、.3 。下圖表示求解結果。- -現(xiàn)代理論九、試綜述最有理論的內容及，分析比較二次型性能指標泛函與經(jīng)典1內容：理論的性能指標?，F(xiàn)代理論研究的對象不再局限于單變量的，線性的，的，連續(xù)的系統(tǒng)，而擴展為多變量的，非線性的，時變的，離散的系統(tǒng)?，F(xiàn)代理論以線性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學工具，以狀態(tài)空間法為基礎，分析和設計控制系統(tǒng)。所謂狀態(tài)空間法，本質上是一種時域分析，它不僅描述了系統(tǒng)的外理論分析和綜合系統(tǒng)的目部特性，而且揭示了系統(tǒng)的態(tài)和性能?，F(xiàn)代標是在揭示其內在規(guī)律的基礎上，實現(xiàn)系統(tǒng)在某種意義上的最優(yōu)化，同時使系統(tǒng)的結構不再限于單純的閉環(huán)形式，現(xiàn)代理論的主要內容如下五個分支：線性系統(tǒng)理論、建模和系統(tǒng)辨識、最憂濾波理論、最優(yōu)、自適應。2 現(xiàn)代：理論的本質是一種時域，它是建立在狀態(tài)變量描述基礎上的，它著眼于系統(tǒng)的狀態(tài)，能更完全的表達系統(tǒng)的動力學性質，在解決最優(yōu)中，極大值原理和動態(tài)是最重要的兩種。3分析比較指標性能指標在數(shù)學與經(jīng)典理論的性能指標：為，經(jīng)典理論中的性能指標一般為最大超調量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度等?，F(xiàn)代理論的二次型指標的意義：花費盡量少的能量，使系統(tǒng)的輸出盡可能地跟隨期望輸出變化。常見的二次型性能指標分兩類：線性調節(jié)器和線性伺服器。- -現(xiàn)代理論假定狀態(tài)方程： x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)， x(t0 ) = x0u(t ，使性能指標達到極小值尋