2006—安徽省蒙城一中高一數(shù)學競賽試題

1、20062007學年安徽省蒙城一中高一數(shù)學競賽試題 時間：120分鐘 總分：150分 命題:隋興勝一 選擇題（本題共6小題，每題6分，共36分）1已知,則是第 D 象限角.A,一 B,二 C,三 D,四2根據(jù)圖中骰子的三種不同狀態(tài)顯示的數(shù)字，推出？處的數(shù)字是（ D ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)65 1 ? 4 1 2 3 4 53當時，下面四個函數(shù)中最大的是（ C）。A. B. C. D. 4對任意實數(shù)，圓C：與直線的位置關系是（ A ） A相交B相切C相離D與取值有關5設O為ABC內(nèi)部的一點，且，則AOC的面積與BOC的面積之比為（ C ） A B. C.2 D. 36已知 ，那么

2、，下列式子成立的是（ D ） Ax < y < z B. z < y < x C. z < x < y D. x < z < y 二填空題（共6小題，每題9分，共54分）7已知函數(shù)，當時，8一名模型賽車手遙控一輛賽車。先前進1米，然后原地逆時針方向旋轉角，被稱為一次操作。若五次操作后賽車回到出發(fā)點，則角=720或14409函數(shù)的值域為10已知點在直線上，則的最小值 為 3 11已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，如果用“二分法”求這個零點（精確到0.0001）的近似值，那么將區(qū)間等分的次數(shù)至多是 10 。 12若在一個棱長為5 的正方體封閉

3、的盒內(nèi)有一個半徑等于1的小球，若小球在盒內(nèi)任意的運動，則小球達不到的空間的體積的大小是 ：三解答題（本大題共5小題，每題12分,共60分）13, 設,其中向量,(I)若且,求; (II)若,是否存在整數(shù),使得方程有且僅有兩個不相等的實數(shù)根?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.解:(I)可得由=1,得又,得,有=,解得.(II)由,有,得,而,得,有,即于是,為整數(shù),得=0,1,2,3.經(jīng)檢驗只有=2合題意.ABFEMCDN14,如圖是一棱長為1的正方體的平面展開圖. (I)請你把它合原為正方體,并建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求出點A,F,N的坐標; (II)求證:平面AFN/平面MBD; (

4、III)求證:CE平面AFN; 解:(I)把它合原為正方體,(如圖),以D為原點建立空間直角坐標系.得A(1,0,0),F(1,1,1),N(0,0,1);(II)可得B(1,1,0),M(0,1,1),則xyABCDEFMNzQP , ,有, 而平面MBD,有NF/平面MBD. 又, ,有,而平面MBD,有AN/平面MBD, 由,得平面AFN/平面MBD.(III)可得E(1,0,1),C(0,1,0),由知CEAN,CENF,又,所以CE平面AFN.15設圓的切線交兩坐標軸于. （1）求應滿足的條件； （2）求線段AB中點的軌跡方程； （3）若求AOB面積的最小值.解：（1）直線的方程為，

5、即.依題意，圓心（1，1）到的距離得應滿足的條件（2）設AB的中點為P（x，y），則有（x>1,y>1）為線段AB中點的軌跡方程.（3）由.當且僅當時取等號，所以，AOB面積的最小值是16某種商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P（元）與時間 t (天)的的函數(shù)關系近似滿足 .商品的日銷售量Q(件)與時間t (天)的函數(shù)關系式近似的滿足Q=t+40 (1t30,tN), 求:這種商品日銷售量金額的最大值,并指出日銷售量金額最大的一天是30天中的第幾天?解：設日銷售金額為y元，則y=PQ,所以即y=當1t24時,t=10,ymax=900;當25t30時,函數(shù)y=(t-70)2-900單調(diào)遞減,當t=25時,ymax=1125.經(jīng)比較可知，ymax=1125。該商品日銷售金額的最大值為1125元，且在近30天中，第25天銷售的金額最大。17 求方程的正整數(shù)解.解:由對稱性,不妨設,則, 有,得. 又是正整數(shù),所以1或2或3.(1)若,無正整數(shù)解,(2)若,則,得,是正整數(shù),