解析幾何定點(diǎn)、定值問(wèn)題

1、解析幾何定點(diǎn)、定值問(wèn)題1、已知橢圓C：的離心率為，以原點(diǎn)為圓點(diǎn)，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切。（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)P（4，0），A,B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q；2、斜率為1的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于兩點(diǎn)A，B。（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；（2）設(shè)P是拋物線上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB分別交拋物線的準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)，證明M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值（僅與p有關(guān)）。 3、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)，直線與的斜率之積為.（I）求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程;（II）過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)

2、，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(不重合)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).4、如圖，曲線C1是以原點(diǎn)O為中心，F(xiàn)1、F2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線C2是以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，是曲線C1和C2的交點(diǎn).()求曲線C1和C2所在的橢圓和拋物線的方程；()過(guò)F2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C1、C2依次交于B、C、D、E四點(diǎn)，若G為CD中點(diǎn)，H為BE中點(diǎn)，問(wèn)是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.5、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)的直線交軸正半軸于點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，其中在第二象限。 （1）求證：以線段為直徑的圓與軸相切；（2）若，求的值.6、已知拋物線的準(zhǔn)線為,焦點(diǎn)為.M的圓心在軸的正半軸

3、上,且與軸相切過(guò)原點(diǎn)作傾斜角為的直線,交于點(diǎn), 交M于另一點(diǎn),且.（）求M和拋物線的方程；（）過(guò)圓心的直線交拋物線于、兩點(diǎn),求的值。7、已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若 為定值8、（2012棗莊一摸）已知橢圓C1：的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大值為3，圓，點(diǎn)A是橢圓上的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C1上不與橢圓頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)。（1）求橢圓C1的方程；（2）若直線AP與圓C2相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是橢圓C1上不與橢圓頂點(diǎn)重合且異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，點(diǎn)

4、M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)N，直線MP，NP分別交x軸于點(diǎn)，點(diǎn)，探究是否為定值。若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由。9、己知橢圓：旳離心率，左、.右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，點(diǎn)在線段的中垂線上.(1) 求橢圓的方程；(2) 設(shè)直線：與橢圓C交于兩點(diǎn)，直線的傾斜角分別為，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).10、（2012東營(yíng)一摸）已知直線，圓，橢圓的離心率，直線被圓截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等.（）求橢圓的方程；（）過(guò)圓上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，若切線都存在斜率，求證兩切線斜率之積為定值.11、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為， 點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形（）求橢圓的方程；（）過(guò)點(diǎn)分別作

5、直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)（）12、直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知， ，若且橢圓的離心率，又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)（為半焦距），求直線的斜率的值；（3）試問(wèn)：的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.13、已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn). （1）若點(diǎn)到直線的距離為，求直線的斜率. （2）設(shè)為拋物線上兩點(diǎn)，且不與軸垂直，若線段的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn)，求證：線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.14、已知橢圓E的長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，離心率是。（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)C（1，0），斜率為k的動(dòng)直線與橢圓E

6、相交于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)x軸上是否存在點(diǎn)M，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。15、已知點(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，到焦點(diǎn)的距離的最大值為，且的最大面積為. （I）求橢圓的方程。 （II）點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)。對(duì)于任意的是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是說(shuō)明理16、已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大. （I）求曲線的方程； （II）過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定值，并求出此定值.17、（2012棗莊一摸）已知橢圓C1：的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大值為3，圓，點(diǎn)A是橢圓

7、上的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C1上不與橢圓頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)。（1）求橢圓C1的方程；（2）若直線AP與圓C2相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是橢圓C1上不與橢圓頂點(diǎn)重合且異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)N，直線MP，NP分別交x軸于點(diǎn)，點(diǎn)，探究是否為定值。若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由。18、已知橢圓：的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點(diǎn)（）求橢圓的方程；（）已知兩點(diǎn)及橢圓:,過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,連結(jié),試問(wèn)當(dāng)為何值時(shí),直線過(guò)橢圓的頂點(diǎn)?() 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓:于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，過(guò)作軸的垂線，垂足

8、為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于，求證：.19、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn).（）求該橢圓的方程；（）設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，問(wèn)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得與關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.20、已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，離心率，直線與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切。 (I)求橢圓C的方程； ()設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)M是橢圓上異于Al，A2的任意一點(diǎn)，設(shè)直線MA1，MA2的斜率分別為，證明為定值。 （）設(shè)橢圓方程，A1，A2為長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，M是橢圓上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，分別為直

9、線MAl，MA2的斜率，利用上面()的結(jié)論，直接寫出的值(不必寫出推理過(guò)程)21、(2012德州一摸)設(shè)橢圓C：的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn) (I)求橢圓C的方程； ()是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由； （）若AB是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的弦，MNAB，求的值22、給定橢圓：，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”。若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.（）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程.（）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)，且分別

10、交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)；（1）當(dāng)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求的方程.（2）求證：為定值.23、已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)組成等邊三角形，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，與橢圓交于兩點(diǎn).（1）若，求橢圓方程；（2）對(duì)（1）中橢圓，求的面積；（3）是橢圓上任意一點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，試確定的關(guān)系式.24、如圖，已知橢圓的上頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,直線與圓相切. （）求橢圓的方程； （）若不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 25、已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為.（）求橢圓的方程；（）已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于、兩點(diǎn).若線

11、段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；已知點(diǎn)，求證：為定值.26、2011·四川卷 如圖，過(guò)點(diǎn)C(0,1)的橢圓1(a>b>0)的離心率為，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A(a,0)，B(a,0)過(guò)點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.(1)當(dāng)直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：·為定值 27、2011·四川卷 如圖，橢圓有兩頂點(diǎn),過(guò)其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程； (2)當(dāng)點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值 28、2011·重慶卷 橢圓的中心為

12、原點(diǎn)，離心率，一個(gè)短軸端點(diǎn)是.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由29、橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且離心率為(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于橢圓點(diǎn)（點(diǎn)與的頂點(diǎn)不重合）.當(dāng)，且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).30、(2010·天津高考)已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).已知點(diǎn)的坐標(biāo)為.(i)若，求直線的傾斜角；(ii)若點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且,求的值.31、如圖橢圓的右頂點(diǎn)是，

13、上下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，四邊形是矩形（為原點(diǎn)），點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)（）證明：直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上；（）若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)（不共線），問(wèn)：直線是否經(jīng)過(guò)軸上一定點(diǎn)，如果是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，說(shuō)明理由32、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，且離心率(I)求該橢圓的方程；(II)若P與Q是該橢圓上不同的兩點(diǎn)，且弦PQ的中點(diǎn)T在直線l上，試證：x軸上存在定點(diǎn)R，對(duì)于所有滿足條件的P與Q，恒有|RP|=|RQ|；(III)在(II)的條件下，PQR能否為等腰直角三角形?并證明你的結(jié)論33、已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：上的一點(diǎn)斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且、三點(diǎn)不重合（）求橢圓的方程

14、；（）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？（）求證：直線、的斜率之和為定值34、已知曲線都過(guò)點(diǎn)A（0，1），且曲線所在的圓錐曲線的離心率為.（）求曲線和曲線的方程；（）設(shè)點(diǎn)B,C分別在曲線，上，分別為直線AB,AC的斜率,當(dāng)時(shí)，問(wèn)直線BC是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.35、已知橢圓的的右頂點(diǎn)為A，離心率，過(guò)左焦點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)P，Q，直線AP，AQ分別與直線交于點(diǎn)（）求橢圓的方程；（）證明以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)36、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn). （）求橢圓的方程；()是橢圓上兩

15、點(diǎn)，、是橢圓位于直線兩側(cè)的兩動(dòng)點(diǎn)，（i）若直線的斜率為求四邊形面積的最大值；（ii）當(dāng)、運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，試問(wèn)直線的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.37、如圖，平面上定點(diǎn)F到定直線l的距離|FM|=2，P為該平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l的垂線，垂足為Q，且（1）試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)N，已知為定值.38、已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切（）求橢圓的方程；（）設(shè)，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)；（）在（）的條件下，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求

16、的取值范圍39、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為。 （1）求曲線的方程； （2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線、分別與曲線交于、和、，以線段為直徑的圓過(guò)能否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若能，求直線的斜率，若不能說(shuō)明理由.40、已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)， 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若與均不重合，設(shè)直線與的斜率分別為，證明：為定值；（）為過(guò)且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線41、已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足若點(diǎn)滿足（）求點(diǎn)的軌跡的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的

17、軌跡交于、兩點(diǎn)，直線、與直線分別交于點(diǎn)、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由42、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2 ，以F1 、F2為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，b）.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且.求證：直線l在y軸上的截距為定值。43(濰坊仿真一)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=8的焦點(diǎn)。（I）求橢圓C的方程；（II）點(diǎn)P（2，3），Q（2，3）在橢圓上，A、B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，（i）若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；（ii）當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由。44（2011山東高考）已知?jiǎng)又本€與橢圓：交于兩不同點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)（）證明：和均為定值；（）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；（）橢圓上是否存在三點(diǎn)，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由45（2010山東高考）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上