數(shù)列數(shù)學(xué)歸納法數(shù)列極限

1、數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限松江四中 朱成兵第一部分?jǐn)?shù)列一、知識點(diǎn)：1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 推廣：；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： 推廣：2等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式： ，；等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式： ，3等差數(shù)列中，若，則；等比數(shù)列中，若，則4兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列、仍為等差數(shù)列；兩個(gè)等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列、仍為等比數(shù)列。5等差數(shù)列的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列；等比數(shù)列的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。6若為等差數(shù)列，則是等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列。7等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的一次式：；當(dāng)時(shí)，是一個(gè)常數(shù)：。8等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0，即；當(dāng)時(shí)，

2、是關(guān)于的正比例式；等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的正比例式。9等差數(shù)列的任意連續(xù)項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列、仍為等差數(shù)列；等比數(shù)列的任意連續(xù)項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列、仍為等比數(shù)列。10數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系：二、專題復(fù)習(xí)：專題一 基本量法根據(jù)等差（比）數(shù)列的定義，它由首項(xiàng)和公差（比）所確定，因此首項(xiàng)和公差（比）是等差（比）數(shù)列的基本量，解決等差（比）數(shù)列的問題可以把問題中的其它量轉(zhuǎn)化為求基本量首項(xiàng)和公差（比），使求解的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為求首項(xiàng)和公差（或公比）的等式或不等式問題。例題1.是等差數(shù)列，且，求的值。解法一：（基本量法） 得解法二：，又， 而。注意：在解答等差數(shù)列或等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，“基本量法”是

3、常用方法，但不一定是最好的方法。不過，對于條件不復(fù)雜的問題，“基本量法”是夠用的。專題二方程思想在等差數(shù)列中，有五個(gè)量，它們是項(xiàng)數(shù)、首項(xiàng)、通項(xiàng)、公差及前項(xiàng)和?；竟接腥齻€(gè)：； ；。在等比數(shù)列中，也有五個(gè)量，它們是項(xiàng)數(shù)、首項(xiàng)、通項(xiàng)、公比及前項(xiàng)和?；竟揭灿腥齻€(gè)：； ； 每個(gè)公式中含有四個(gè)量，一般情況下，在五個(gè)量中知道了其中的三個(gè)量，通過求代數(shù)式的值或解方程、方程組可以求出其他兩個(gè)量。這種解法稱為“知三求二法”，它滲透了方程的思想方法。例題1.在等比數(shù)列中，求和。解：專題三函數(shù)思想由于數(shù)列可以看作定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)，因此數(shù)列和函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系，許多數(shù)列問題可以用函數(shù)

4、的方法來處理，通過研究函數(shù)的性質(zhì)（如函數(shù)的單調(diào)性、最大值和最小值等）來解決有關(guān)的數(shù)列問題。特別地，對于等差數(shù)列有：（1）等差數(shù)列 （2）等差數(shù)列（3）時(shí)，遞增；時(shí)，為常數(shù)列；時(shí)，遞減。例題1.在等差數(shù)列中，若，且，問數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大？解法一：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和是的二次函數(shù)（其中常數(shù)項(xiàng)為0）。設(shè)，因?yàn)?，故此二次函?shù)對稱軸，且由可得，所以。因此，該數(shù)列前13項(xiàng)之和最大。解法二：由得，又，故，因?yàn)?，所以該等差?shù)列單調(diào)遞減且正數(shù)項(xiàng)有限，令，又因?yàn)椋?。解法三：由得，又，故。這是關(guān)于正整數(shù)的二次函數(shù)且開口向下，所以當(dāng)時(shí)，最大。解法四：因?yàn)椋约?，則，所以，而，由于等

5、差數(shù)列可以看成是關(guān)于正整數(shù)的單調(diào)函數(shù)，所以，因此前13項(xiàng)之和最大。專題四類比思想等差數(shù)列與等比數(shù)列在定義、通項(xiàng)公式、遞推公式以及其他一些相關(guān)的性質(zhì)和解題方法上，都有類比之處。例題1.2000年高考第12題 “在等差數(shù)列中，若,則有等式：成立，類似上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若則有等式成立”。答案：。練習(xí)：1（1）已知：等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，且，求證：；（2）類比（1），在等比數(shù)列中，你能夠得出什么結(jié)論？并證明你得出來的結(jié)論。解答：（1）證明：在等差數(shù)列中，設(shè)是其前項(xiàng)的和，因?yàn)?、成等差?shù)列，所以，即。（2）類比猜測：等比數(shù)列的前項(xiàng)積記為，且，則證明：在等比數(shù)列中，設(shè)是其前項(xiàng)的積，因?yàn)椤⒊傻缺?/p>

6、數(shù)列，所以即。練習(xí)：2（1）已知是等差數(shù)列，且、，求證：。 （2）類比猜測正項(xiàng)等比數(shù)列中相應(yīng)的命題并加以證明。證明：（1），=（2）類比猜測：已知為等比數(shù)列，且，且、，則證明。專題五分類思想在運(yùn)用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)，要注意按公比和分類討論；在已知求時(shí)，應(yīng)先分和兩種情況分別運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。例題1.已知為等比數(shù)列，且，求與的值。解答：（1）當(dāng)時(shí)，故。 （2）當(dāng)時(shí)， 兩式相除得。綜上所述或練習(xí)：已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求。答案：76 例題2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則通項(xiàng)= 解答：（1）當(dāng)時(shí)， （2）當(dāng)且，由于時(shí)， 所以，追問：若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則這個(gè)數(shù)列一定是 B A 等差數(shù)列， B 非

7、等差數(shù)列 C 常數(shù)列 D 等差數(shù)列或常數(shù)列練習(xí)：1已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則通項(xiàng)= 2若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則2解答：（1）時(shí)， （2）且時(shí)，由于時(shí)，因此，專題六化歸思想有意識加強(qiáng)化歸的思想方法的運(yùn)用，將非等差數(shù)列、非等比數(shù)列化歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列，使原問題得以解決。例題1：在數(shù)列中，（），求。解：得：，從而，即， 數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，得。例題2：在數(shù)列中，（），求。解：由得：，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，即，例題3：在數(shù)列中，（），求。解：由，可設(shè)，即，對比系數(shù)，于是是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列。，得到形如的數(shù)列可構(gòu)造等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)。專題七 求通項(xiàng)公

8、式（一）由遞推公式求通項(xiàng)遞推數(shù)列求通項(xiàng)的常用方法有：累加法、累乘法、構(gòu)造新數(shù)列法累加法：例題1：在數(shù)列中，（），求。解：由知：得到：累加得：即 注意：形如的數(shù)列可通過累加法求通項(xiàng)。累乘法：例題2：在數(shù)列中，（），求。解：由知： 得到： ， ， ， ， 累乘得：， ，即注意：形如的數(shù)列可通過累乘法求通項(xiàng)。構(gòu)造新數(shù)列法：例題3：在數(shù)列中，（），求。例題4：在數(shù)列中，（），求。例題5：在數(shù)列中，（），求。例題3、4、5的解答過程見專題六化歸思想的例題1、2、3（二）由前項(xiàng)和求通項(xiàng)例1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求通項(xiàng)。解：（1）時(shí)， （2）且時(shí)，由于時(shí)，因此，練習(xí)：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求通項(xiàng)。答案：例2.已知

9、數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：已知與間的遞推關(guān)系一般利用，將問題轉(zhuǎn)化為與間的遞推關(guān)系或與間的遞推關(guān)系，再利用變形構(gòu)造常見數(shù)列求通項(xiàng)。解： （1） （2）得：，即，得為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列。因此，專題八 數(shù)列求和數(shù)列求和的常用方法：公式法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。關(guān)鍵是找數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)構(gòu)。（一）、分組求和法：例題1.求和：解：=+=形如的數(shù)列可以化歸為等差、等比數(shù)列求和（二）、倒序相加法：例題2.設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，求的值。（03上海春考題）解：設(shè) （1）則 （2）易證明（1）+（2）得得，即注意：此題型特征：與首末兩端等距離

10、的兩項(xiàng)間的關(guān)系有一定的規(guī)律（相等或和相等等）倒序相加法可應(yīng)用于解決函數(shù)、三角、立體幾何和組合等方面的問題。練習(xí)：1.求和： 答案：2.求和： 答案：（三）、錯(cuò)位相減法求和：例題3. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，（03年高考北京）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，（）求數(shù)列的前項(xiàng)和的公式。解：（1）易得：，（2） ， 設(shè)即當(dāng)時(shí)，兩式錯(cuò)位相減，得當(dāng)時(shí)，綜合可得注意：當(dāng)一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘得到的可以利用乘公比錯(cuò)位相減法。練習(xí)：若，求數(shù)列的前項(xiàng)和的公式。（四）、裂項(xiàng)法求和：例題4.已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和的公式。解：其題型特征：數(shù)列中的每一項(xiàng)都能拆成相鄰兩項(xiàng)的差的形式。（五）、

11、含絕對值的求和例題5.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，求值：（01年上海理2）.解：時(shí)，；時(shí)，設(shè)的前項(xiàng)和為；設(shè)的前項(xiàng)和為。 =（）+（） =+ =58練習(xí)：數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和為。答案：專題九 應(yīng)用性問題例題1（03春22）在一次人才招聘會(huì)上，有兩家公司分別開出了它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：公司允諾第一個(gè)月工資為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；公司允諾第一年月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5，設(shè)某人年初被兩家公司同時(shí)錄取.試問：(1) 若該人分別在公司或公司連續(xù)工作年，則他在第年的月工資收入分別是多少？(2) 若該人連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為

12、應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（不記其它因素），該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？(3) 在公司工作比在公司工作的月工資收入最多可以多多少元?（精確到1元），并說明理由.解答:（1）an1500230·（n1），2000（15）n1，（nN）；（2）選擇A公司；（3）當(dāng)n19時(shí)，anbn取得最大值約為827元.例題2（05年20）假設(shè)某市2004年新建住房400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價(jià)房.預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么,到哪一年底,(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2004年為累計(jì)的第一

13、年)將首次不少于4750萬平方米?(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?解答:(1)設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列an,由題意可知an是等差數(shù)列, 其中a1=250,d=50,則Sn=250n+=25n2+225n, 令25n2+225n4750,即n2+9n-1900,而n是正整數(shù), n10.到2013年底,該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米.(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列bn,由題意可知bn是等比數(shù)列,其中b1=400,q=1.08,則bn=400·(1.08)n-1·0.85.由題意可知an>0.85 bn,有250

14、+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由計(jì)箅器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6.到2009年底,當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.專題十 探究性學(xué)習(xí)例題1.（06春22）已知數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列（）.（1）若，求；（2）試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍；（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得是公差為的等差數(shù)列，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列. 提出同（2）類似的問題（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？ 解法：（1）. （2）， 當(dāng)時(shí)

15、，. （3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列. 研究的問題可以是：試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍.研究的結(jié)論可以是：由， 依次類推可得 當(dāng)時(shí)，的取值范圍為等。第二部分 數(shù)學(xué)歸納法一、知識點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟是：（1） 當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)，命題成立； （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立。根據(jù)（1）和（2）可以斷定，命題對任何都成立。二、典型例題：例題1.欲用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于足夠大的正整數(shù)，總有”則所取的第一個(gè)值，最小應(yīng)是。答案：10例題2（07理15）設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當(dāng)成立時(shí)，總可推出成立”那么，下

16、列命題總成立的是（）若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立 若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立 解答：因?yàn)槿舫闪?，則當(dāng)時(shí)，均有成立，所以錯(cuò)；因?yàn)槿舫闪?，則當(dāng)時(shí)，均有成立，所以錯(cuò)；原命題的逆否命題為：設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：當(dāng)不成立時(shí)，總可推出不成立。因此，若不成立，則當(dāng)時(shí)，均有不成立，顯然也是錯(cuò)誤的。因?yàn)槿舫闪?，則當(dāng)時(shí)，均有成立，故對。練習(xí)：1.某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)該命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)該命題也成立?，F(xiàn)在已知時(shí)該命題不成立，那么可推得（ ）答案：CA 當(dāng)時(shí)該命題不成立 B當(dāng)時(shí)該命題成立C當(dāng)時(shí)該命題不成立 D當(dāng)時(shí)該命題成立2如果命題對成立，則它對

17、也成立，又若對成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）。答案：A 對所有的正整數(shù)都成立 B對所有的正偶數(shù)都成立C對所有的正奇數(shù)都成立 D對所有大于1的正整數(shù)都成立例題3:用數(shù)學(xué)歸納法證明:,從“到”時(shí)，左邊應(yīng)增添的因式是（ ）A B C D 答案：B練習(xí)：設(shè)，則A B C D 答案：D例題4.計(jì)算前幾項(xiàng)：等各項(xiàng)的值，可以猜想：解答：，猜想：例題5：已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足，猜測并證明數(shù)列的通項(xiàng)公式。解答：，猜測，證明：（1）當(dāng)時(shí)，等式成立；（2） 假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，等式也成立。根據(jù)（1）和（2）可以斷定，等式對任何都成立。練習(xí)：是否存在常數(shù)，使得等式對一切正整數(shù)都成立，并證明你的結(jié)

18、論。答案：此題為1989年全國卷高考題，證明（略）第三部分?jǐn)?shù)列的極限一、知識點(diǎn)：（一）定義：一般地，在無限增大的變化過程中，如果無窮數(shù)列中的無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么叫做數(shù)列的極限，或叫做數(shù)列收斂于。記作，讀作“趨向于無窮大時(shí)，的極限等于”。（二）常用數(shù)列的極限：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）（3），（為常數(shù)）（三）四則運(yùn)算法則：如果，那么（1）（2）（3）（四）無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)的和：把的無窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和當(dāng)時(shí)的極限叫做無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)的和，并用符號表示，即二、典型例題：例題1.數(shù)列中，則數(shù)列的極限值（B）等于等于等于或不存在注意：此題為07年文科第14題，數(shù)列的極限跟前面的有限項(xiàng)無關(guān)。例題2.判斷

19、下面命題的真假，并說明理由。在無限增大的變化過程中，如果無窮數(shù)列中的越來越接近于某個(gè)常數(shù)，那么是數(shù)列的極限。解答：不正確，因?yàn)椤盁o限趨近于”的說法不能用“越來越接近于”代替。反例中的隨著的無限增大越來越接近于0，但不能夠無限趨近于0。即，事實(shí)上，例題3.計(jì)算：（1）（06春1），（2）（06文4）。解答：（1）；（2）注意：在無限增大的變化過程中，分子、分母都無限增大，而在分子、分母趨于無窮大的過程中，起決定作用的量分別是的次數(shù)的最高項(xiàng)，而其他的項(xiàng)對極限值沒有影響。練習(xí)：1.（07年春1）計(jì)算。答案：2.（00春7）若數(shù)列的通項(xiàng)為,求值：。答案： 3.若，求的值。答案： 4.（06理4）計(jì)算：。答案：5.（04春7）在數(shù)列中，且對任意大于1的正整數(shù)，點(diǎn)在直線上，則=_。解答：，例題4.（課本P43，No.2）判斷下列計(jì)算是否正確，并說明理由：解：上述計(jì)算正確。也可以這樣計(jì)算如下：例題5.（課本P43.例4）計(jì)算：解：原式=注意：例題5括號中的項(xiàng)數(shù)不是有限的，不能直接用和的極限的性質(zhì)，應(yīng)先求出括號內(nèi)項(xiàng)的和，使其