培優(yōu)專題7-分式的運算(含答案)

1、10、分式的運算【知識精讀】1. 分式的乘除法法那么a c acb d bd ；a c a d adb d be be當(dāng)分子、分母是多項式時，先進行因式分解再約分。2. 分式的加減法1通分的根據(jù)是分式的根本性質(zhì)，且取各分式分母的最簡公分母。求最簡公分母是通分的關(guān)鍵，它的法那么是： 取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)； 凡出現(xiàn)的字母或含有字母的式子為底的幕的因式都要取； 相同字母或含有字母的式子的幕的因式取指數(shù)最高的。2同分母的分式加減法法那么a b a bc c c3異分母的分式加減法法那么是先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減。3. 分式乘方的法那么naa()n - n為正整數(shù)bbn4. 分式的運算是

2、初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在分式方程，求代數(shù)式的值，函數(shù)等方面有 重要應(yīng)用。學(xué)習(xí)時應(yīng)注意以下幾個問題：1注意運算順序及解題步驟，把好符號關(guān)；2整式與分式的運算，根據(jù)題目特點，可將整式化為分母為“1的分式;3運算中及時約分、化簡；4注意運算律的正確使用；5結(jié)果應(yīng)為最簡分式或整式。下面我們一起來學(xué)習(xí)分式的四那么運算?！痉诸惤馕觥渴交赏帜?，運算就簡單了。解：原式aababcaba 1abc aba abc abc abaababcaba 11 ab aa 1 ab分析：假設(shè)先通分，計算就復(fù)雜了，我們可以用例1 :計算X2 X 6的結(jié)果是x x 2A.B.C.x2D.分析：原式(X 2)(X 1)

3、(x 3)(x 2)(x 3)(x 2) (x 2)(x 1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x3)(x2)(x3)(x2)(x 1)(x 1)(x 3)(x3)x21應(yīng)選C說明：先將分子、分母分解因式，再約分。例2：abc1，求ab a 1bbc b 1的值。ac c 1abc替換待求式中的“ 1 ，將三個分例3：2m 5n0，求下式的值:a ab 1 ab a 1 1(1分析：此題先化簡，然后代入求值?；啎r在每個括號內(nèi)通分，除號改乘號，除式的分 子、分母顛倒過來，再約分、整理。最后將條件等式變形，用一個字母的代數(shù)式來表示另個字母，帶入化簡后的式子求值。這是解決條件求值問題的一般方法。解

4、：1mn)m(m n) n(m n) m m(m n) n(m n) mm(m n)n m(m n)m(m n)nm nm n52m 5 n 0m n25n n故原式 £5n n2737nn223例4：a、b、c為實數(shù)，且aba b的值是多少?m(m n)1 bc 1 ca3 b c 4 c aI ,那么 abc5 ab bc ca分析：條件是一個復(fù)雜的三元二次方程組，不容易求解，可取倒數(shù)，進行簡化。解：由條件得:1 1所以2(-a b1 1 1 即_ abc1 1 a b123,又因為ab be caabc111 c b a所以abcab bc ca例5:化簡：(X31 X21)

5、X24x 2x 2x 1解原式(X3 1)(x 2) (X2 D(x 2) (x 2)(x 2)(x 2)(x 2)x 1X43x3 2x2 4x 1(X4 X2) 3(x31) (X2 1)x 1x2(x 1)(x 1) 3(x 1)(x2x 1) (x 1)(x 1)X 1(x 1)( x3x2 3x2 3x 3 x 1)x 1x3 2x2 4x 4解二:原式(x1)( xx1)(x2)(x2) (x 1)(x1) (x2)( x 2)x2x 1x 2x 1(x2x1)( x2)(x1)( x2)3 x2 xx 2x22x2x23x 23 x2x24x4說明：解法-疋般方法,但遇到的問題是

6、通分后分式加法的結(jié)果中分子是-個四次多項式，而它的分解需要拆、 添項，比擬麻煩；解法二那么運用了乘法分配律，防止了上述問題。因此，解題時注意審題，仔細(xì)觀察善于抓住題目的特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?。?、計算：1nm2 2 m nm2nm24mn 4n解：原式1mn(m2n)2m2n(mn)(m n)1m2nmnmnm2nmn3n說明：分式運算時，假設(shè)分子或分母是多項式，應(yīng)先因式分解。2例2、:型與7，那么Mx y x y解:J2 Jxyx y2xy y2 x2 2xy y22 2x yx2MM x2說明：分式加減運算后,等式左右兩邊的分母相同,那么其分子也必然相同，即可求出M。中考點撥:例1：計算：

7、1 1 ( 1 1 ) (a b)2 (a b)2a b a b(a4ab(a b)(a b)b)2(a2ab)22b(ab)(ab)2a2 ab211 11 1 1解二：原式 一b a)()( )ab a ba ba b a b解一：原式(a b)2(a b)2(a b)2 (a b)2a b a b(a b)(a b)1 1a b a ba b a b 2a(a b)(a b)a2 b2說明：在分式的運算過程中， 乘法公式和因式分解的使用會簡化解題過程。此題兩種方 法的繁簡程度一目了然。例2：假設(shè)2b 3ab，那么(1(1亜的值等于bA.B. 0C. 1D.解:原式3. 3a bab3 a

8、b3 ab3 ab3 ab(ab)(a2abb2)ab(ab)(a2abb2)ab2 aab b23abab2 aab b23ababb2baa3, 33b 2b2ab4ab應(yīng)選A【實戰(zhàn)模擬】1.:2,ab的值等于2A.5B.145C.195D.2452312.x 16x10，求x 3的值。x3.計算：1111x2 3x 2 x25x 6 x27x12x2 9x 204.假設(shè)A999911111B999922221試比擬A與B的大小。亠亠亠亠2222 “ °C" 333399991999915.：a b c 0，abc8，求證：11 10。ab c【試題答案】. 2 ,2

9、a b a b1解：一b a abab2，ab52 ab2(ab)2 2ab 14ab1414ba55應(yīng)選B2.解：x216x1 0x216x1, x2116x, x216x11 x313x6x 1(x21)(x43 x3 x16(x42x216x)2 xx21)16x(x4 x2 x216x)3x16(16x12)x1616( x22 -)x16x216、16(3)x16316( x2x1631616xx16 259 4144說明：此題反復(fù)運用了條件的變形，最終到達化簡求值的目的。3.解：原式1(x 1)(x 2)1 1(x 2)(x 3) (x 3)(x4)1(x 4)( x 5)1 11

10、 1 1 1 1 1x 1 x2x2x3x3x4x4 x 5 11x 1 x 54x2 6x 5說明：此題逆用了分式加減法那么對分式進行拆分，簡化計算。4.解：設(shè)a11119999，那么Aa1Ra212B3,a1a 1A Ba 12 a14 a3a a1 a4 2a21a213 a1(a21)(a3 1)a(a 1)2(a2 1)(a31)A B5.證明： a b c 00，即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 0ab bcac1 / 22(a.2 2、b c )1 11bcacab1,2又(aa bcabc16(a b c)2b2abc 8a、b、c均不為零a2 b2 c201 1

11、1 0 abc12、分式方程及其應(yīng)用【知識精讀】1解分式方程的根本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。2解分式方程的一般步驟：1在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；2解這個整式方程；3驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是否等于零，使最簡公分母等于 零的根是原方程的增根，必須舍去，但對于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗。3. 列分式方程解應(yīng)用題和列整式方程解應(yīng)用題步驟根本相同，但必須注意，要檢驗求得 的解是否為原方程的根，以及是否符合題意。F面我們來學(xué)習(xí)可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用。【分類解析】例1.解方程:分析：首先要確定各分式分母的最簡公分母，在方程

12、兩邊乘這個公分母時不要漏乘,完后記著要驗根解：方程兩邊都乘以(x 1)(x1)，得的值相差1的兩個分式結(jié)合,然后再通分，把原方程兩邊化為分子相等的兩個分式,利用分式的等值性質(zhì)求值。解：原方程變形為：x6x5x2x1x7x6x3x2(x 6)(x7)(x2)(x3)所以(x 6)( x7)(x2)( x3)經(jīng)檢驗：原方程的根是 x9即8x3629x2例3.解方程：12x1032 x3424x2316x194x38x98x 74x 5方程兩邊通分，得11分析：方程中的每個分式都相當(dāng)于一個假分?jǐn)?shù),因此，可化為一個整數(shù)與一個簡單的分?jǐn)?shù)式之和。解：由原方程得:14x 328x 928x 628x 102

13、4 8x 928x 728x 714x 5于是(8x 9；8x 6)1(8x 10)(8x 7)所以(8x 9)(8x 6)(8x 10)(8x 7)解得：x 1約分，得y 2 y2y 2 (y 2)(y 2)經(jīng)檢驗：x 1是原方程的根。例4.解方程：6y 12y2 4y202 2 0 y 4y 4 y 4y 4 y 4分析：此題假設(shè)用一般解法，那么計算量較大。當(dāng)把分子、分母分解因式后，會發(fā)現(xiàn)分子與分母有相同的因式，于是可先約分。解：原方程變形為：26(y 2) (y 2)(y 2)y0(y 2)2(y 2)2(y 2)(y 2)方程兩邊都乘以(y 2)(y2)，得6(y 2) (y 2)2

14、y20整理，得2y 16y 8經(jīng)檢驗：y 8是原方程的根。注：分式方程命題中一般滲透不等式，恒等變形，因式分解等知識。因此要學(xué)會根據(jù)方程結(jié)構(gòu)特點，用特殊方法解分式方程。5、中考題解：2xm 1x 1例1 假設(shè)解分式方程產(chǎn)生增根，那么m的值是x 1 x xxA.1 或 2B. 1 或 2C. 1 或 2D. 1 或 2分析：分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是：x 0或x1，化簡原方程為：2x2 (m 1) (x 1)2，把x 0或x1代入解得m 1或 2，應(yīng)選擇D。例2.甲、乙兩班同學(xué)參加“綠化祖國活動，乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種60棵所用的時間與乙班種 66棵

15、樹所用的時間相等，求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹？分析：利用所用時間相等這一等量關(guān)系列出方程。解：設(shè)甲班每小時種 x棵樹，那么乙班每小時種x+2棵樹,由題意得:60x66x 260x12066xx 20經(jīng)檢驗：x 20是原方程的根x 222答：甲班每小時種樹 20棵，乙班每小時種樹 22棵。說明：在解分式方程應(yīng)用題時一定要檢驗方程的根。6、題型展示：例1.輪船在一次航行中順流航行 80千米，逆流航行42千米，共用了 7小時；在另- 次航行中，用相同的時間，順流航行 40千米，逆流航行70千米。求這艘輪船在靜水中的速 度和水流速度分析：在航行問題中的等量關(guān)系是“船實際速度=水速+靜水速度，有順?biāo)?/p>

16、、逆水，取水速正、負(fù)值，兩次航行提供了兩個等量關(guān)系。解：設(shè)船在靜水中的速度為 x千米/小時，水流速度為 y千米/小時8042由題意，得x y x y4070解得：x 17y 3經(jīng)檢驗：x 17x是原方程的根y 3答：水流速度為3千米/小時，船在靜水中的速度為x y x y例2. m為何值時，關(guān)于x的方程2mx3會產(chǎn)生增根?x2x4x22解：方程兩邊都乘以 x 4，得2x4mx3x 6整理，得m 1x10當(dāng)m 1時，xm 1如果方程產(chǎn)生增根，那么 x240，即x2或x210(1)假設(shè) x 2，貝V 2m 1m4(2 )假設(shè) x2，那么10m 12m617千米/小時。3綜上所述，當(dāng)m4或6時，原方

17、程產(chǎn)生增根說明：分式方程的增根，一定是使最簡公分母為零的根【實戰(zhàn)模擬】1甲、乙兩地相距 S千米，某人從甲地出發(fā),v千米/小時的速度步行，走了 a小時后改乘汽車，又過 b小時到達乙地，那么汽車的速度S A.a bB.2.如果關(guān)于x的方程S avC.b有增根,x 3S av2S D.a那么m的值等于A. 3B.C.D. 33解方程:(x1)(x 2)(x 2)(x 3)(x 9)( x 10)2x1 x22x 9124. 求x為何值時，代數(shù)式的值等于2?x 3 x 3 x5. 甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程，乙隊先單獨做 1天后，再由兩隊合作 2天就完2成了全部工程。甲隊單獨完成工程所需的天數(shù)是

18、乙隊單獨完成所需天數(shù)的-，求甲、3乙兩隊單獨完成各需多少天？【試題答案】1. 由，此人步行的路程為av千米，所以乘車的路程為S av千米。又乘車的時間為 b小時，故汽車的速度為-av千米/小時，應(yīng)選Bob2.把方程兩邊都乘以x 3，得2 x 3 mx 5m.假設(shè)方程有增根，那么 x 3,即5 m 3m 2應(yīng)選Bo3. 1分析：方程左邊很特殊，從第二項起各分式的分母為兩因式之積，兩因式的值都相差1，且相鄰兩項的分母中都有相同的因式。因此，可利用1n(n1)1裂項,n 1即用“互為相反數(shù)的和為0將原方程化簡解：原方程可變?yōu)?x 10丄2x 10丄2x 1即 2x 21經(jīng)檢驗：原方程的根是2分析：用

19、因式分解提公因式法簡化解法& / 1 1 解：x(-1 x 11因為其中的1 x2 4 、 °24)0x1 x24-241 x 1 x2241 x 1 x 1 x2 242241 x 1 x 1 x448044801 x 1 x 1 xx 0經(jīng)檢驗：x 0是原方程的根。4解：由得1 2x 3 xx3即2312 2x 3x3x3120x 3 x3x23解得x 2經(jīng)檢驗：x 是原方程的根。23 2x 912當(dāng)x 時，代數(shù)式 絲仝 2的值等于2。2x 3 x 3 x5. 設(shè)：乙隊單獨完成所需天數(shù) x天，那么甲隊單獨完成需 x天。31 1 1由題意，得 2()1x x 2x3即 12

20、31x x x解得：x 6經(jīng)檢驗x 6是原方程的根z 2x 6 時，一x 43答：甲、乙兩隊單獨完成分別需 4天，6天。13、分式總復(fù)習(xí)【知識精讀】A定義：一 A、B為整式，B中含有字母B性質(zhì)通分:約分:M(m0)分式M(m0)定義：分母含有未知數(shù)的方程。如思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程、方法：兩邊同乘以最簡公分母分式方程解法依據(jù)：等式的根本性質(zhì) 注意：必須驗根應(yīng)用：列分式方程解應(yīng)用題及在其它學(xué)科中的應(yīng)用【分類解析】1.分式有意義的應(yīng)用1 1例1.假設(shè)ab a b 1 0，試判斷，是否有意義。a 1 b 11 1分析：要判斷，丄是否有意義，須看其分母是否為零，由條件中等式左邊因a 1 b 1式

21、分解，即可判斷 a 1，b 1與零的關(guān)系。解： aba(b 1)(b1)即(b 1)(a1)例2.計算:a* 2 a 1a 1a2 3a 1a 3分析：如果先通分，分子運算量較大，觀察分子中含分母的項與分母的關(guān)系，可采取“別離分式法簡化計算。解：原式aJLJ a(LJa 1a 31 / 1 、 a(a)a 1a 31 1a 1 a 3(a 3) (a 1)(a 1)(a3)2a 2(a 1)(a3)例3.解方程：11x2 7x 6x2 5x 5x2 5x 62分析：因為x7x 6 (x1)(x 6)， x2 5x 6 (x2)(x 3)，所以最簡公分母為：(x1)(x6)(x2)(x3)，假設(shè)

22、采用去分母的通常方法,運算量較大。由于x2 5x 5-2x5x 62xx2 5x 65x 6111故可得如下解法。x 5x 62x 5x 61解： -x5x 65x 63.原方程變?yōu)?x2 7xx2 7xx 0經(jīng)檢驗，x1x2 7x 616 x2 5x 66 x2 5x 60是原方程的根。在代數(shù)求值中的應(yīng)用o例4.a 6a1x2 5x 69與|b 1|互為相反數(shù)，求代數(shù)式_ a b)b ab a ba 2 ab弓-的值。a b 2ab a分析：要求代數(shù)式的值，那么需通過條件求出b的值，又因為a、b的值。解：由得a 30, b 10,解得a 3, b 1原式4(a b)(a b)a b ab(b

23、 a)a2 ab 2b2ab(a 2b)(a b)2 ab(a b)(a b)2 2 2a b ab bab(a 2b)(a b)2 ab(a b)(a b)ab(a 2b)(a b)(a 2b)1 aabb把a 3, b 1代入得：原式 丄124. 用方程解決實際問題例5. 一列火車從車站開出，預(yù)計行程450千米，當(dāng)它開出3小時后，因特殊任務(wù)多停站，耽誤30分鐘，后來把速度提高了倍，結(jié)果準(zhǔn)時到達目的地，求這列火車的速度。解：設(shè)這列火車的速度為 x千米/時根據(jù)題意，得450x450 3x12x方程兩邊都乘以12x，得5400 42x 4500 30x解得x 75經(jīng)檢驗，x 75是原方程的根答：

24、這列火車原來的速度為 75千米/時。5.在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)習(xí)中，都會遇到有關(guān)公式的推導(dǎo)，公式的變形等問題。 而公式的變形實質(zhì)上就是解含有字母系數(shù)的方程。2y 3例6.x3y 2，試用含x的代數(shù)式表示y，并證明(3x 2)(3y 2) 13。2y 3解：由x3y 2得3xy2x2y33xy 2y 2x3(3x 2)y 2x32x 3y3x 2(3x 2)3號3y3) 226y96y4133y23y 2(3x 2)(3y2)136、中考原題：2- M 2xy yx y 口一例1222，貝V M =。x y x yx y即可求出分析：通過分式加減運算等式左邊和右邊的分母相同，那么其分子也必

25、然相同,M。c2解：2xy Jx y x y分析：先化簡所求分式，發(fā)現(xiàn)把x2 3x看成整體代入即可求的結(jié)果。解：原式(X 1)2 (x 1)2 2x 3x 20x原式x23x 2x2 2x 1 x 1 x2 3x3x 27、題型展示：例1.當(dāng)x取何值時，式子2 |x| 2 有意義？當(dāng)x2 3x 2x取什么數(shù)時，該式子值為零?2xy22小2y x 2xy y2 2x y2 x2 x2yM2 x2yMx22例2.x(x1)3x21孫詹曰3x 20，那么代數(shù)式的值是x 1解：由x23x 2(x 1)(x2) 0得x1或2所以，當(dāng)x1和x2時，原分式有意義由分子| x| 20得x2當(dāng)x 2時，分母x2

26、3x 20當(dāng)x2時，分母x2 3x 20 ,原分式無意義。所以當(dāng)x 2時，式子x3x二的值為零例2.求x2(m n)x mn (m n)x mn2x2x2孚的值，其中xn2m 3n分析：先化簡，再求值。解：原式(x m)(x n)(x m)(x n)(x m)(x m)(x n)(x n)(x m)2(x n)21x 2m 3n2x 2m，x 3n，m14，門16原式(x m)2m m)：(x n)(3n n)m24n2916【實戰(zhàn)模擬】1當(dāng)x取何值時，分式2x 1有意義?2.有一根燒紅的鐵釘，質(zhì)量是m,溫度是t0，它放出熱量Q后，溫度降為多少？鐵的比熱為c3.計算：x 2y4y2442x2y2x 2y 4y x4.解方程:5. 要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機器零件，如果甲單獨做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，乙單 獨做那么要超過3天?，F(xiàn)在甲、乙兩人合作 2天后，再由乙單獨做，正好按期完成。問規(guī)定日 期是多少天？x y z6. 4x 3y 6z 0，x 2y 7z