音樂中的數(shù)學

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上音樂中的數(shù)學摘要：數(shù)學和音樂用不同的方式描述世界，存在著密切的關系，音樂的發(fā)展離不開數(shù)學。本文首先分析了音樂與數(shù)學發(fā)展的簡史，然后著重從樂譜、律學和樂曲三個方面與數(shù)學的關系進行分析，證明了數(shù)學對音樂發(fā)展的巨大作用。關鍵詞：音樂；數(shù)學；律學引言人們對數(shù)學與音樂之間聯(lián)系的研究和認識可以說源遠流長。這最早可以追溯到公元前六世紀，當時畢達哥拉斯學派用比率將數(shù)學與音樂聯(lián)系起來。他們不僅認識到所撥琴弦產(chǎn)生的聲音與琴弦的長度有著密切的關系，從而發(fā)現(xiàn)了和聲與整數(shù)之間的關系，而且還發(fā)現(xiàn)諧聲是由長度成整數(shù)比的同樣繃緊的弦發(fā)出的。于是，畢達哥拉斯音階(the Pythagorean Sca

2、le)和調音理論誕生了，而且在西方音樂界占據(jù)了統(tǒng)治地位。雖然托勒密(CPtolemy，約100-165年)對畢達哥拉斯音階的缺點進行了改造，得出了較為理想的純律音階(the Just Scale)及相應的調音理論，但是畢達哥拉斯音階和調音理論的這種統(tǒng)治地位直到十二平均律音階(the tempered Scale)及相應的調音理論出現(xiàn)才被徹底動搖。在我國，最早產(chǎn)生的完備的律學理論是三分損益律，時間大約在春秋中期，管子·地員篇和呂氏春秋·音律篇中分別有述；明代朱載埔(15361610)在其音樂著作律學新說對十二平均律的計算方法作了概述，在律呂精義·內篇中對十二平均律理

3、論作了論述，并把十二平均律計算的十分精確，與當今的十二平均律完全相同，這在世界上屬于首次。由此可見，在古代，音樂的發(fā)展就與數(shù)學緊密地聯(lián)系在了一起。從那時起到現(xiàn)在，隨著數(shù)學和音樂的不斷發(fā)展，人們對它們之間關系的理解和認識也在不斷地加深?，F(xiàn)代音樂與數(shù)學更是有著密不可分的關系，從音樂理論到具體的簡譜書寫，從音樂創(chuàng)作到音樂演奏，數(shù)學都扮演了不可或缺的角色。數(shù)學方法的應用給音樂的發(fā)展提供了強勁的動力，并將不斷促進音樂的進步。一樂譜的書寫樂譜的書寫離不開數(shù)學，樂譜是表現(xiàn)數(shù)學對音樂的影響的一個顯著的領域。首先，所有的樂符都是借用了數(shù)學中的阿拉伯數(shù)字。1、2、3、4、5、6、7、8這8個數(shù)字根據(jù)不同的方式結合

4、在一起就形成了現(xiàn)在無數(shù)種令人悅耳的聲音。這不得不說是樂符和數(shù)字巧妙地結合。并且我們還可以發(fā)現(xiàn)1、2、3、4、5、6、7、i等音階就是利用等比數(shù)列規(guī)定的。其次，在樂稿上，我們看到速度、節(jié)拍（44拍、34拍，等等）、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等。書寫樂譜時確定每小節(jié)內的某分音符數(shù)，與求公分母的過程相似不同長度的音符必須與某一節(jié)拍所規(guī)定的小節(jié)相適應。作曲家創(chuàng)作的音樂是在書寫出的樂譜的嚴密結構中非常美麗而又毫不費力地融為一體的。如果將一件完成了的作品加以分析，可見每一小節(jié)都使用不同長度的音符構成規(guī)定的拍數(shù)。二律學中的數(shù)學樂音體系中各音的絕對準確高度及其相互關系叫做音律。律學曾

5、一度被學術界稱為絕學，它是音樂聲學、數(shù)學和音樂學相互滲透的一門交叉學科。古今中外，律制包括三分損益律、新律、純律、十二平均律等，目前被世界各國所廣泛采用的是“十二平均律”。生律的方法有三種：古代是通過發(fā)音體的長度比例關系來計算的；近代是通過音程的頻率比來計算；現(xiàn)代是由音高的音程值來計算。無論使用哪種方法，都與數(shù)學知識分不開，因此，隋書·律歷志有“數(shù)因律起，律以數(shù)成”的說法。下面主要談談圍繞長度比例的三分損益律和十二平均律與數(shù)學的聯(lián)系。1三分損益律學過弦樂器的人都知道，弦樂器的發(fā)聲是因為琴弦的振動，而音高，也就是振動的頻率，是與琴弦的長度成反比的。春秋中期，管子·地員篇和呂氏

6、春秋·音律篇分別記述其計算的基本原則：以一條弦長為基數(shù)，將其均分成三段，舍一取二，三分損一，便發(fā)出第一個上五4度音；如果將其均分的三段再加一段，三分益一，便發(fā)出第一個下五4度音，用這種方法繼續(xù)推算下去，可得“十二律”。用星海音樂學院前院長趙宋光的話說，就是掐死一條弦的三分之一 ，剩下其余的三分之二振動，奏出的音比空弦音高純五度；掐死一條弦的四分之一 ，剩下其余四分之三振動，奏出的音比空弦音高純四度。這說明長度比例2：3和4：3分別標志著純五度和純四度。2十二平均律十二平均律是各相鄰律(即半音)之間其頻率比都相均等的一種律制，朱載墑的算法是將2開十二次方得到的弦長倍數(shù)，即“頻率倍數(shù)”，

7、把這個數(shù)連續(xù)自乘十二次，就分別產(chǎn)生十二平均律各律的頻率倍數(shù)，而乘到第十二次，就達到2(八度)，即黃鐘還原了。朱載培將十二平均律轉化成了一個等比數(shù)列求公比的數(shù)學問題，徹底解決了我國律學史上長期不能解決的黃鐘還原的難題。朱載靖的用等比數(shù)列推算十二平均律的具體算做法是：將八度分為12個律，并使12個律構成以1為首項， 為公比的等比數(shù)列，精確地計算出“十二平均律”的每一個音，將十二個數(shù)目算到25位小數(shù)：貫穿在整個數(shù)學發(fā)展過程中有兩個中心思想：即公理化和機械化思想。兩者分屬古希臘為代表的西方數(shù)學和以中國為代表的東方數(shù)學，它們交輝相映，各有利弊和側重，近代數(shù)學就是在二者的合流交匯碰撞中產(chǎn)生的。朱載培首先發(fā)

8、現(xiàn)“十二平均律”，就是得益于在中國傳統(tǒng)數(shù)學的機械化算法特征。朱載靖用算盤完成了他在科學研究中包括開高次方在內的大量復雜計算，而且獨創(chuàng)了極為巧妙、簡捷的使用在算盤上的算法：如串聯(lián)、并聯(lián)等。十二平均律的發(fā)明和推廣在音樂史上有著重大意義，有了這個新的音律，從一個音彈出的旋律可以復制到任何一個其它的音高上，而對旋律不產(chǎn)生影響，同時，所有樂器也都可以在一個音律標準下制造，打破了古樂器“單打獨奏”的局面，產(chǎn)生了規(guī)模龐大、分工精細的交響樂隊。十二平均律成為了音樂最基本的標準。三樂曲中的數(shù)學函數(shù)如果我們把五線譜中的一條適當?shù)臋M線作為時間軸(橫軸算)，與時間軸垂直的直線作為音高軸(縱軸Y)，那么我們就在五線譜中

9、建立了時間-音高的平面直角坐標系。于是，圖1中一系列的反復或者平移，就可以用函數(shù)，近似地表示出來，如圖5所示，其中X是時間，Y是音高。當然我們也可以在時間-音高的平面直角坐標系中用函數(shù)把圖2中的兩個音節(jié)近似地表示出來。在這里我們需要提及十九世紀的音一位著名的數(shù)學家，他就是約瑟夫·傅里葉(Joseph Fourier)，正是他的努力使人們對樂聲性質的認識達到了頂峰。他證明了所有的樂聲，不管是器樂還是聲樂，都可以用數(shù)學式來表達和描述，而且證明了這些數(shù)學式是簡單的周期正弦函數(shù)。音樂中不僅僅只出現(xiàn)平移變換，可能會出現(xiàn)其他的變換及其組合，比如反射變換等等。如果我們仍從數(shù)學的角度來考慮，把這些音

10、符放進坐標系中，那么它在數(shù)學中的表現(xiàn)就是我們常見的反射變換。同樣我們也可以在時間-音高直角坐標系中把這兩個音節(jié)用函數(shù)近似地表示出來。圖1 五線譜中的直角坐標系圖2 時間-音高的平面直角坐標系同樣，利用數(shù)學函數(shù)也可以產(chǎn)生旋律優(yōu)美的樂曲。由一段三角函數(shù)圖像出發(fā)，我們只要對它進行適當?shù)姆侄危纬蛇m當?shù)男」?jié)，并在曲線上選取適當?shù)狞c作為音符的位置所在，那么就可以做出一節(jié)節(jié)的樂曲。由此可見，我們不僅能像匈牙利作曲家貝拉·巴托克那樣利用黃金分割來作曲，而且也可以從純粹的函數(shù)圖像出發(fā)來作曲。這正是數(shù)學家約瑟夫·傅里葉的后繼工作，也是其工作的逆過程。其中最典型的代表人物就是20世紀20年代的

11、哥倫比亞大學的數(shù)學和音樂教授約瑟夫·希林格(Joseph SchiUinger)，他曾經(jīng)把紐約時報的一條起伏不定的商務曲線描述在坐標紙上，然后把這條曲線的各個基本段按照適當?shù)?、和諧的比例和間隔轉變?yōu)闃非?，最后在樂器上進行演奏，結果發(fā)現(xiàn)這竟然是一首曲調優(yōu)美、與巴赫的音樂作品極為相似的樂曲。除了上述數(shù)學與樂譜的明顯聯(lián)系外，音樂還與比例、指數(shù)、曲線、周期函數(shù)以及計算機科學等相關聯(lián)畢達哥拉斯的追隨者們(公元前585400)最先用比例把音樂和數(shù)學結合起來他們發(fā)現(xiàn)在樂聲的協(xié)調與所認識的整數(shù)之間有著密切的關系，撥動一根弦發(fā)出的聲音依賴于弦的長度他們還發(fā)現(xiàn)協(xié)和音是由長度與原弦長的比為整數(shù)比的繃緊的弦

12、給出事實上被撥動弦的每一種和諧的結合，都能表示為整數(shù)比由增大成整數(shù)比的弦的長度，能夠產(chǎn)生全部的音階。音樂的器械，無論是弦樂還是管樂，在它們的結構中都反映出指數(shù)曲線的形對樂聲本質的研究，在19世紀法國數(shù)學家傅立葉的著作中達到了頂峰他證明了所有的樂聲不管是器樂還是聲樂都能用數(shù)學表達式來描述，它們是一些簡單的正弦周期函數(shù)的和每種聲音都有三種品質：音調、音量和音色，并以此與其他的樂聲相區(qū)別傅立葉的發(fā)現(xiàn)，使人們可以將聲音的三種品質通過圖解加以描述并區(qū)分音調與曲線的頻率有關，音量與曲線的振幅有關，而音色則與周期函數(shù)的形狀有關。很少有人既通曉數(shù)學又通曉音樂，這使得把計算機用于合成音樂及樂器設計等方面難于成功數(shù)學的發(fā)現(xiàn)，即周期函數(shù)，是現(xiàn)代樂器設計和計算機音響設計的精髓許多樂器的制造都是把它們產(chǎn)生的聲音的圖象，與這些樂器理想聲音的圖象相比較然后加以改進的電子音樂的忠實再生也是跟周期圖象緊密聯(lián)系著的音樂家和數(shù)學家們將在音樂的產(chǎn)生和再生方面，繼續(xù)擔任著同等重要的角色 小結數(shù)學與音樂是人類精神中兩種最偉大的產(chǎn)品，是兩個金碧輝煌的世界；數(shù)學僅用十幾個阿拉伯數(shù)字和若干個符號就造出了一個無限的、真的世界，音樂只用五條線和一些像蝌蚪的音符就造出了一個無限美的世界。實際上每個學科領域不是孤立地發(fā)展