完美版圓錐曲線知識點(diǎn)的總結(jié)13610

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案圓錐曲線的方程與性質(zhì)1.橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) FF2的距離的和等于常數(shù) 2a （大于IF1F2I）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離 2c叫橢圓的焦距。若 M為橢圓上任意一點(diǎn)，則有| MF1 | 十 |MF2 |=2a。2222xyyx橢圓的標(biāo)傕萬程為：3+彳=1 （abA0）（焦點(diǎn)在x軸上）或/2 + =1 （aAb0）（焦點(diǎn)在y軸abab上）。注：以上方程中a,b的大小ab0,其中b2 =a2 c2；2222在 %=1和與+xr=1兩個(gè)方程中都有ab0的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看 x2和y2的分 a b a b22母的大小。例如橢圓 x

2、-+2-=1（m0, n 0 , m=n ）當(dāng)m An時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng) men時(shí) m n表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)22范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程 與+4 = 1知|x|Ma, |y|Mb，說明橢圓位于直線 x = a, y=b所圍成的矩形里； a b對稱性：在曲線方程里，若以-y代替y方程不變，所以若點(diǎn)（x,y）在曲線上時(shí)，點(diǎn)（x,-y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對稱，同理，以 -x代替x方程不變，則曲線關(guān)于 y軸對稱。若同時(shí)以 -x代替x, -y代替y方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢圓的對稱中

3、心叫橢圓的中心；頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x=0,得y =b ,則B1（0, 一b） , B2（0,b）是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令 y =0得x = a ,即A（a,0）,A2（a,0）是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段 AA2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b, a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a ;在RtAOB2F2中，|OB2 |= b , |OF2 |= c , | B2F2 |=

4、 a ,且 |OF2 |2 m B2F2 |2 -|OB2 |2 ,即 c2 =a2 -b2 ；c離心率：橢圓的焦距與長軸的比 e =叫橢圓的離心率。a aca0,0ec1,且e越接近1, c就a越接近a,從而b就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之， e越接近于0, c就越接近于0,從而b越接近于a ,這時(shí) 橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)，c=0,兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2 + y2=a2。2.雙曲線(1)雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點(diǎn)軌跡是雙曲線(| PF1 | -1 PF2 |= 2a )。注意：式中是差的絕對值，在0 2a |FiF2|時(shí)，|PFi | |P

5、F2|二2a不表示任何圖形；兩定點(diǎn) Fi, F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)， 尸尸21叫做 焦距。(2)雙曲線的性質(zhì)22范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程 三_ =1 ,看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線x = a的外側(cè)。即a2 b22 .2. x a , x之a(chǎn)即雙曲線在兩條直線 x = a的外側(cè)。22對稱性：雙曲線 二-J=1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn) a b 22是雙曲線 -4 = 1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。 a b22頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線，4=1的方程里，對稱軸是 x,y軸，所a b22x y以令y =0得x =

6、a ,因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn) A (a,0)A2(a,0),他們是雙曲線 =1的頂點(diǎn)。 a b令x =0,沒有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段 A A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于 2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段 B B?叫做雙曲線的虛軸，它的長等于 2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從2 2圖上看，雙曲線 三-4 =1的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。 a b等軸雙曲線：1）

7、定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a = b；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：y = x ； （2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其 他幾個(gè)亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征 a =b,則等軸雙曲線可以設(shè)為：x2y2=K（九#0），當(dāng)兒0時(shí)交點(diǎn)在x軸, 當(dāng)九0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上。2222、一 xy- y x注意 =1與匚 =1的區(qū)別：三個(gè)量a,b,c中a,b不同（互換）c相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)16 99 16軸也變了。3 .拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)

8、的軌跡叫做拋物線 （定點(diǎn)F不在定直線l上）。定點(diǎn)F叫做 拋物線的焦點(diǎn)，定直線 l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程y2 =2 px （p 0 ）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在 x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F （衛(wèi)，0）,它的準(zhǔn)線方程是 x = -:22（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：y2 = -2px, x2 =2py , x2 = -2 py .這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程 如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程y2 =2px (p0) yy2 = -2 px (p0)x2 ;(p： y= 2p

9、y0)x2 = -2 py (p0)圖形l一to-/A口三luxK焦點(diǎn)坐標(biāo)(-,0)2(-旦0) 2p (0,7)2(0V)準(zhǔn)線方程x = -E2x，2Ty4范圍x 0x 0y至0y 0時(shí),二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為D E、(,)半徑22是、；D2 +E2 4F。配方，將方程. D o E2 l2x +y +Dx+Ey+F=0化為(x+ 一 ) +(y+ 一) = D + E - 4F當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-r-聶當(dāng)(3)MCI =ru 點(diǎn) M在圓 C上，| MC| rU點(diǎn)M在圓C內(nèi)，其中| MC|= J(x0 - a)2 +(y0 -

10、b)2。(4)直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交 線與圓相切-有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離 U沒有公共點(diǎn)。u有兩個(gè)公共點(diǎn)；直直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)至U直線Ax+By+C=0的距離d =Aa+Bb + C% A2 B2D2+E2-4F V 0時(shí)，方程不表示任何圖形.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x 0,y 0),則| MC| 0),則動點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn) F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù) e稱為離心率。當(dāng)0 e1時(shí)，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線：

11、橢圓雙曲線拋物線定義1.到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a|F同)的 點(diǎn)的軌跡1 .到兩定點(diǎn)Fi,F 2的距離之差的 絕對值為定值2a(02a1)與定點(diǎn)和直線的距離相等的2.與定點(diǎn)和直線的距離之 比為定值e的點(diǎn)的軌跡.(0e 2a.點(diǎn)集M |線I MF| 二點(diǎn)M到直 l的距離.ijr.rE1圖形tr.MK-XAJ于ftnrr1n方程標(biāo)準(zhǔn) 方程22x yf + 4- = 1( a b 0)a2 b222xy.F 2T =1(a0,b0) aby2 = 2 px參數(shù) 方程：x = acos 日 i y = bsinH （參數(shù)e為離心角）：x = asecQ :y = btan日（滲數(shù)8為

12、離心角）22 .2一河(t)、y = 2pt范圍ax a , yRx0中心原點(diǎn)O (0, 0)原點(diǎn)O (0, 0)頂點(diǎn)(a,0), (a,0),(0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸； 實(shí)軸長2a,虛軸長2b.x軸焦點(diǎn)Fi(c,0), F 2( c,0)Fi(c,0), F2(c,0)F (- ,0)2準(zhǔn)線2* a x= c準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外.2* a x= c準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的 內(nèi)側(cè).x=衛(wèi) x2準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.焦距2c (c= Ja2 -b2)222c (c=4a +b)離

13、心率e = c(0 e 0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(？,0),準(zhǔn)線方程x=-,開口向右；拋物線 y2 =-2px(p0)的焦點(diǎn)坐 22標(biāo)是(-E,0),準(zhǔn)線方程x=E,開口向左；拋物線 x2=2py(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,衛(wèi))，準(zhǔn)線方程y=-衛(wèi) ，開2222口向上；拋物線x2=-2py (p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-),準(zhǔn)線方程y=,開口向下.22(2)拋物線y2 =2px(p0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離MF =*0+上；拋物線y2=-2px(p0)上的點(diǎn)M(x0,y0) 2與焦點(diǎn)F的距離MF =Ex0-p ,頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離-p ,焦點(diǎn)22(3)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y =2px(p0),則

14、拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為 到準(zhǔn)線的距離為 p.(4)已知過拋物線y2=2px(p0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB稱為焦點(diǎn)弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),+ %AFf -A,.一2 p. 2則弦長 AB =x1 +x2 +p 或 AB =-A(a 為直線 AB的傾斜角)，y1y2 = p , x1x2 =sin久叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換:(1)坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施 坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程(2)坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長度單位

15、不改變，只改變原點(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平 移，簡稱移軸。x = x h x= x - h 或y = yk y=y-k(3)坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(x,y),在新坐標(biāo)深x O y 中的坐標(biāo)是(x,y ).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)叫做平移(或移軸)公式.(4)中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表:方 程焦點(diǎn)焦線對稱軸橢圓(x-h)2 +(y-k)2 a2b2( c+h,k)2x= - +h cx=h y=k(x-h)2 Jy-k)222=1ba(h, c+k)2y= - +k cx=h y=k雙曲線22(X - h) (y- k) 一 一|

16、a2b2( c+h,k)2 x= a +kcx=h y=k(y-k)2 (x-h)2,12.21ab(h, c+h)2y= +k cx=h y=k拋物線(y-k) 2=2p(x-h)(-+h,k)2x= +hy=k(y-k) 2=-2p(x-h)(-p +h,k)x= +hy=k(x-h) 2=2p(y-k)(h,p- +k)y= - +kx=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,-p +k)y= +kx=h六、橢圓的常用結(jié)論:1 . 點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2 .PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩

17、個(gè)端點(diǎn).3 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與又應(yīng)準(zhǔn)線相離.4 .以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切225.若Po(Xo,yo)在橢圓 1 +=1上，則過P0的橢圓的切線方程是 -2 , , 2 = 1 . a ba b226.若Po(Xo,yo)在橢圓xy 十七=1外，則過 吊作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P、R,則切點(diǎn)弦PR的直線方程是a bxx yy _12. 2.a b227 .橢圓 與+4=1 (a b0)的左右焦點(diǎn)分別為 R, F2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn) /FPF2=,則橢圓的焦點(diǎn) a b2角形的面積為S/FPF2 =b tan .228 . 橢圓xy十=1 (ab0)的焦半徑公

18、式a2b2IMF1尸a e%, |MF2 尸a-e%(弓(-60) , F2(c,0) M (x。).9 .設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，則 MFL NF.10 .過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,Ai、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，AiP和AQ交于點(diǎn)M,AP和AiQ交于點(diǎn)N,則MFL NF.22211 . AB是橢圓。+與=1的不平行于對稱軸的弦，M（Xo,yo）為AB的中點(diǎn)，則koM，kAB=-2,即a baKb2X。K AB2a y。222212 .若Po（xo,y。）在橢圓 二 +與=1

19、內(nèi)，則被P。所平分的中點(diǎn)弦的方程是 繆+誓=與+20r ； a ba b a b【推論】:2222221、若Po（xo,y。）在橢圓、十4=1內(nèi)，則過P。的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 與十與=+誓。橢圓與十當(dāng)=1 a ba b a b a b（ab。）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1（-a,0） , A2（a,0）,與y軸平行的直線交橢圓于 R、B時(shí)AP1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程22日x y / 2 =1.a b222、過橢圓 +冬=1 （a 0, b 。）上任一點(diǎn)A（Xo,y。）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直a b線BC有定向且kBC = b20 （常數(shù)）.a yo223、若P為橢圓 冬=1

20、（ab。）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1, F 2是焦點(diǎn)，ZPF1F2, ZPF2F1,a ba -c:工P貝 U = tan c。t 一.a c2222x y4、設(shè)橢圓 二十-=1 （ab。）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P （異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PFF2中，記a b/F1PF2 =a, /PF1F2 =P, /F1F2P =,則有一sinj ,=c = e.sin - sin a22_5、若橢圓 勺+*=1 （ab。）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)OvewE-1時(shí)，可在橢圓上a b求一點(diǎn)P,使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與P桎的比例中項(xiàng).22x y6、P為橢圓 二

21、十1=1 （ab。）上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則a b2a|AF2國PA|十|PF1區(qū)2a + |AF1|,當(dāng)且僅當(dāng) A,F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立.(x -xn)2 (y - Vc)27、橢圓(一- 十(y ：o) =1與直線Ax+By+C =0有公共點(diǎn)的充要條件是 ab2 2_22_2A a B b _(Axo By。C).22x y8、已知橢圓 F十=1 (ab0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動點(diǎn)，且 OP_LOQ. (1) a2 b211112 2 = -2|OP|2 |OQ|2 a2 b2.2. 22. 2(2) |OP|2+|OQ|2的最大值為2ab

22、2 ； (3) Spq的最小值是a b 2 .a2 b2:a2 b29、過橢圓22xy=12. 2ab(ab0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN勺垂直平分線交x軸于P,則明|MN |2210、已知橢圓 與+冬=1 ( a b0)a b,A、已是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與 x軸相交于點(diǎn)P(x0,0),2,2a - b:二 x02,2a - b11、設(shè)P點(diǎn)是橢圓b2=1 ( a b0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記NF1PF2=0 ,則小2b2 c c21 PF111PE12) SPaLbtanl22x y_ _12、設(shè)A、B是橢圓 二十三=1( a b0)

23、的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)， /PAB=,a b2 2ab | cos- |/PBA = P, /BPA = , c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有 |PA|=2一27.(2) a -c costan 二 tan - -1 -e2.(3)2, 22a b2 2b - acot .22F的直線與橢圓相交于A、13、已知橢圓 +，=1( a b0)的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E,過橢圓右焦點(diǎn)a2b2B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線|上，且BC _L x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)

24、作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16、橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn) .)17、橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).七、雙曲線的常用結(jié)論：1、點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2、PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).3、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相交.4、以

25、焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)225、若P0(X0,y0)在雙曲線 與4=1 (a0,b0)上，則過P0的雙曲線的切線方程是 箋*2y = 1.a ba b22x y6、右P0(xo, yo)在雙曲線 -2=1 (a0,b0)外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P、心，則切點(diǎn)弦a bP1P2的直線方程是萼華=1.a2b2227、雙曲線，與=1 (a0,bo) 的左右焦點(diǎn)分別為 F, F2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn) /F1PF2=,則雙曲 a b線的焦點(diǎn)角形的面積為S FiPF2 =b2cot-.22x y 8、雙曲線-2-yT=1 (a0,b

26、o)的焦半徑公式：(F1(y,0) , F2(c,0)當(dāng)M(x0,y)在右支上時(shí)，a b|MF1|=ex0+a, |MF2| = ex。a；當(dāng) M (x0, y)在左支上時(shí)，|MF1 |= e2+a , | MF2 |= ex0 a。9、設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，則MFL NF.10、過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，AP和AQ交于點(diǎn)M, A2P和A1Q交于點(diǎn)N,則MF NF.b x0M(x0, y0)為AB的中點(diǎn)，則KOM K AB =

27、 -2，a V。22x y11、AB是雙曲線 丁彳=1 (a0,b 0)的不平行于對稱軸的弦, a b即Kaba V。2212、若P0&y0)在雙曲線 一=1(a0,b0)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是2 x 13、右P0(x0,y0)在雙曲線 aa b22x y _ x0xyy222a b a b2y ,=1 (a0,b0)內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是b22x y1、雙曲線 22=1(ao,bo)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A(a,0), A2(a,0),與y軸平行的直線交雙曲線于Pi、P2時(shí)a b22A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是=十4 =1.a b22x y2、過雙曲線 -2 =1 (a0

28、,b。)上任一點(diǎn) A(x0,y)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)白直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn),a b則直線BC有定向且kBC =b2x0 ij 一。(常數(shù))a Vo22(a0,b 0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2 是焦點(diǎn)，/PF1F2=a ,3、若P為雙曲線xy 一0=1a2 b2/PF2 F1 = P ,貝U -_ = tan 一co t 一(或 =tan co t 一) c a 22 c a 22PF1F222xy4、設(shè)雙曲線 -2=1 (a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 a2b2F1、F2,P (異于長軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，在4中，記.f1pf2 - :,/PF1F2 = P , /F

29、F2P = ,則有sin 二c:丁 e.-(sin 飛 一sin :) a2 x 5、若雙曲線-y- a2 y_ b2=1 (a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)1vew J2 + 1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn) P,使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PE的比例中項(xiàng). 226、P為雙曲線 _與=1 (a0,b0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則 a2 b2IAF2I 2a qPA|+IPF1I，當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線且P和A,F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號成立227、雙曲線 與=1 (a0,b0)與直線 Ax + By+C =0有公共點(diǎn)的充要條件是 A2a2 B

30、2b2 M C2. a2 b2228、已知雙曲線 xy=1(ba 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動點(diǎn)，且 OP_LOQ.a b(1)11=1_|OP|2 |OQ|2 - a2 b2.2.22.2(2) |OP|2+|OQ|2的最小值為-4a-； (3) SPQ 的最小值是一a-2222b - ab - a22x y9、過雙曲線 =1 (a0,b0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN勺垂直平分線交a bx軸于p,則LPLL = e|MN | 22 x10、已知雙曲線-2a2y=1 (a0,b 0),A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0,0

31、), b2-2a b _則x0 或a2 J a b x0 a2211、設(shè)P點(diǎn)是雙曲線 勺_%=1 (a0,b0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記/F1PF2=8 ,則 a b2b2C21即嚴(yán)力仁給羯旭功向萬.212、設(shè)A、B是雙曲線今a4=1 (a0,b0)的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)， NPAB = a,b/PBA = P, /BPA = %2 ,2ab |cos，|c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有 (1) |PA|=一2盧222| a -c cos |(2) tan，tan : =1 e2.(3)S PAB至Wcot . b2 a2213、已知雙曲線3ab2=1 (a0,b 0)的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E,過雙曲線右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相交于A B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC_Lx軸，則直線 AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16、雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注：在雙曲線焦三角形中