2017-2018學(xué)年?yáng)|城區(qū)一模(理)數(shù)學(xué)試卷及答案

1、北京市東城區(qū)2017-2018 學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)(一)數(shù)學(xué)(理科)2018. 4本試卷共4 頁(yè)，共 150 分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40 分)一、選擇題共8 小題，每小題5 分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)若集合A x 3 x 1 , B x x1或x 2 ，則 A B(A) x 3 x 2(B) x 3 x 1(C) x 1 x 1(D) x 1 x 1(2)復(fù)數(shù)z i 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于1i(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第

2、三象限(D) 第四象限(3)已知 a,b R ，且 a b ，則下列不等式一定成立的是2211a b(A) a b 0 (B) cosa cosb 0(C)0(D) e e 0ab34(4)在平面直角坐標(biāo)系xOy 中， 角 以 Ox 為始邊， 終邊與單位圓交于點(diǎn)(，) ， 則 tan( )554 (A)33(B) 4(C)(D)(5)設(shè)拋物線y24x上一點(diǎn) P 到 y軸的距離是2，則P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是(A)1(B) 2(C)3(D)4 (6)故宮博物院五一期間同時(shí)舉辦“戲曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“歷代青綠山水畫(huà)展”、“趙孟頫書(shū)畫(huà)展”四個(gè)展覽某同學(xué)決定在五一當(dāng)天的上、下午各參觀其中

3、的一個(gè)，且至少參觀一個(gè)畫(huà)展，則不同的參觀方案共有 (A)6 種( B) 8 種( C) 10 種( D) 12 種(7)設(shè)an 是公差為d 的等差數(shù)列，Sn 為其前 n 項(xiàng)和，則“d>0”是“Sn 為遞增數(shù)列”的(A)充分而不必要條件( B)必要而不充分條件(C)充分必要條件( D)既不充分也不必要條件(8)某次數(shù)學(xué)測(cè)試共有4 道題目，若某考生答對(duì)的題大于全部題的一半，則稱他為“學(xué)習(xí)能手”，對(duì)于某個(gè)題目，如果答對(duì)該題的“學(xué)習(xí)能手”不到全部“學(xué)習(xí)能手”的一半，則稱該題為“難題” 已知這次測(cè)試共有5 個(gè)“學(xué)習(xí)能手”，則“難題”的個(gè)數(shù)最多為(A)4(B) 3(C)2(D)1第二部分(非選擇題共

4、110 分)6 小題，每小題5 分，共 30 分。(9)在 ABC 中，角 A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a2 +c2 =b2 +ac，則B=(10)在極坐標(biāo)系中，圓2cos 的圓心到直線sin 1 的距離為.xy0(11)若x， y 滿足 x y 4 ，則 2x+y 的最大值為x1(12)某幾何體的三視圖如(13)設(shè)平面向量a,b,c為非零向量能夠說(shuō)明“若a? b =a? c，則b =c”是假命題的一組向量a,b,c.(14)單位圓的內(nèi)接正n(n 3)邊形的面積記為f (n)，則 f(3)=; 下面是關(guān)于f (n) 的描述：n2f (n) 2 sin n f (n) 的最大值為f(

5、n) f(n 1) f(n) f(2n) 2f(n)(注：請(qǐng)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))三、解答題共6 小題，共80 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。(15) (本小題13 分) 已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x.f (x) 的最小正周期；( )求 f (x)在 0, 上的最大值和最小值(16) (本小題13 分)100 名學(xué)生，對(duì)他們期中考試的數(shù)學(xué)和語(yǔ)文成績(jī)進(jìn)行分析，成績(jī)?nèi)鐖D所示( )從這100 名學(xué)生中隨機(jī)選取一人，求該生數(shù)學(xué)和語(yǔ)文成績(jī)均低于60 分的概率；(II )從語(yǔ)文成績(jī)大于80 分的學(xué)生中隨機(jī)選取兩人，記這兩人中數(shù)學(xué)80 分的人數(shù)為，求 的分

6、布列和數(shù)學(xué)期望E( );(Ill )試判斷這100 名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的方差a 與語(yǔ)文成績(jī)的方差b 的(17)(本小題14 分)如圖 1，在邊長(zhǎng)為2 的正方形ABCD 中， P 為 CD 中點(diǎn)，分別將PAD, PBC 沿 PA,PB 所在直線折疊，使點(diǎn)C 與點(diǎn) D 重合于點(diǎn)O，如圖2在三棱錐P-OAB 中， E 為 PB 中點(diǎn)( )求證：PO AB;(II )求直線BP 與平面 POA 所成角的正弦值；()求二面角P-AO-E 的大小(18)(本小題13 分)已知橢圓C： x2y21 ( a b 0 )的離心率為3 ，且過(guò)點(diǎn)A(2,0).a2b22()求橢圓C 的方程；(II )設(shè) M,N 是橢圓

7、 C 上不同于點(diǎn)A 的兩點(diǎn)，且直線AM ， AN 斜率之積等于1 ，試問(wèn)直線MN 是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由(19)(本小題14 分)已知函數(shù)f (x) ex a(x 1).若曲線 y f (x)在 (0, f (0)處的切線斜率為0，求a 的值；()若f (x) 0恒成立，求a的取值范圍；()求證：當(dāng)aa 0時(shí)，曲線y f (x) (x>0)總在曲線y 2 ln x 的上方(20)(本小題13分)在 nXn(n 2)個(gè)實(shí)數(shù)組成的n 行 n 列的數(shù)表中，ai,j表示第 i 行第 j 列的數(shù)，記riai1ai2ain (1 i n) cj a1ja2janj (1

8、 j n) 若ai,j-1,0,1( (1 i, j n) )，且r1,r2, ,rn,c1 ,c2,.,cn，兩兩不等，則稱此表為“n 階 H 表”，記H= r 1,r2, ,rn,c1,c2,.,cn.(I )請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)“2 階 H 表” ;(II )對(duì)任意一個(gè)“n階 H 表”，若整數(shù) n,n ，且Hn，求證：為偶數(shù)；()求證：不存在“5階 H 表” .北京市東城區(qū)2017-2018 學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)（理科）一、 1-8 BBDA CCDD第二部分（非選擇題共 110 分）二、填空題：本大題共6小題,每小題5分 ,共 30分 .9 .【答案】3222a c b ac1【

9、解析】cosB, B2ac 2ac 2310 .【答案】1【解析】即求x2 y22x0圓心到直線y1 的距離，22x 1y21 的圓心為1,0.距離為 1.11 . 【答案】6【解析】可行域如右圖所示：設(shè) z 2x+y 即 y z 2x， 當(dāng) y z 2x過(guò) B（2, 2） 時(shí)，z取最大值，所以z 6 .12 .【答案】2 3+12【解析】該幾何體如圖所示：可知 AB AC BC 2 , ABC 為等邊三角形,所以 S ABC 1 233,所以四邊形ACC1 A1的面積為S ACC1A12 2 4,所以S表2S ABC 3S ACC1A12 3 12.13 .【答案】a = (1,1)， b=

10、 (1,2)， c= (2,1)(答案不唯一)【解析】設(shè) a = (1,1)， b= (1,2)， c= (2,1),則 a b= 3， a c = 3，所以 a b = a c 但 b c，所以若 a b = a c，則b = c為假命題。14 .【答案】3 3 ； 42【解析】?jī)?nèi)接正n 邊形可拆解為n 個(gè)等腰三角形，腰長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度1 ，頂角為2 .每個(gè)三角形的面12積為 sin ，所以正n 邊形面積為2nn 23233 33f(n) sin . f (3) sin =， 正確；2 n23224正 n 邊形面積無(wú)法等于圓的面積，所以 不對(duì)；隨著 n 的值增大，正n 邊形面積也越來(lái)越大，所以

11、正確；當(dāng)且僅當(dāng)n 3時(shí)，有 2f (3) f (6) ，由幾何圖形可知其他情況下都有f (2n) 2 f (n) ，所以 正確.三、解答題共6 小題 , 共 80 分 . 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，驗(yàn)算步驟或證明.15. 【解析】( ) 由題意得：f(x) sin 2x cos2x 2 sin(2x ) , T42( )當(dāng) x0, 2 時(shí)，2x434,4173f (x) 取得最大值2.2x時(shí) , 即 x 時(shí) ,4282x 44 時(shí) , 即 x 0時(shí) , f (x) 取得最小值1.所以f(x)在0,2上的最大值和最小值分別是2和 1.16. 【解析】9 名學(xué)生數(shù)學(xué)和語(yǔ)文成績(jī)均低于60 分 ,則從 10

12、0名學(xué)生中隨機(jī)選一人,該生數(shù)學(xué)和語(yǔ)文成績(jī)均低于60 分的概率為9100由題可知, 的可能取值為0,1,217. 【解析】P( 0)P( 1)2C6215 1C12045 3C61 C4124 82C12045 15P( 2) C422C106245 15012P( )18231515E( ) 0 1 1 8 2 2431515 5ab1 知 PD AD, PC CB由圖 2 知 C, D 重合于點(diǎn)O . 則 PO AO, PO BOAO BO O AO 面 AOB BO 面 AOBPO 面AOB , 又AB面 AOB POABOP1 OAOBAB 2ABO 為等邊三角形過(guò)O 取 OF1 延長(zhǎng)作

13、 OFAO 建立如圖空間直角坐標(biāo)系則 O 0,0,0 ， A 2,0,0 ,P 0,0,1 ， B 1, 3,0易知面 POA 的法向量為OF0,1,0BP 1，3,1設(shè) BP 與平面 POA 夾角為直線 BP 與平面 POA 所成角正弦值為155POA 的法向量為OF 0,1,0設(shè)面 EOA 法向量為m （x, y, z）易知 E 為 PB 中點(diǎn) E（1 ， 3， 1 ）， OE （1 ， 3， 1）， OA （2，0，0）222222OE m 0OA m 0x 3y z即2222x 0則 cos令 y 1 則 m (0, 1, 3)m OF 11m,OF m OF 2 12二面角 P AO

14、 E 為18 【解析】 （） e 3 ， c 3 ，32 a2過(guò) 2,0 ， a2， c 3，2222x 2b a c 1，y 14kAM kANMN 斜率不存在時(shí)，設(shè)y0y0x0 2 x0 24M x0, y0 ，則 N x0, y0 ，2 y0又 M x0 ,y0 在橢圓上，2x02y04 當(dāng) MN斜 率 存 在 時(shí) ， 設(shè)lMN :y kx m與橢圓聯(lián)立，由 4y21y得y kx m221 4k2 x228kmx 4m 4 0 ，0 ，即4k2 1 m2 0，設(shè) M x1, y1 ， N x2, y2 ，8kmx1 x22121 4k2則21 4k4m 4x1x221 21 4k2y1

15、y2kx1m kx2 m22m 4k2，1 4k2kAM kANy2y1 y2x12 x2 2x1 x22 x1x2422m 4k21 4k222m 4k4m2 4 16km 4 16k2 4m2 16km 16k22221 4k21 4k21 4k22222m 4k m 4km 4k ，m2 2km 0， m 0或 m 2k ，當(dāng) m 2k 時(shí)，lMN :y k x 2 ，恒過(guò) 2,0 不符合，當(dāng) m0 時(shí)，lMN : y kx ， 結(jié)合，恒過(guò) 0,0 ， 綜上， 直線 MN 恒過(guò) 0,0 1 ，解得x00 ，y01 ， l MN : x 019. 【解析】()f (x)ex a ，由題可得

16、f (0) 0 ，即 1 a 0 ，故 a 1f (x) ex a當(dāng) a 0時(shí)， f(x) ex 0恒成立，符合題意。1 當(dāng) a 0 時(shí) ， f (x )0恒 成 立 ， 則 f (x) 在 R 上 單 調(diào) 遞 增 ， 當(dāng) x 1 時(shí) ，a111f (1 ) ea 1 ，不符合題意，舍去； 0a當(dāng) a 0時(shí)，令 f (x) 0，解得 x ln ax 變化時(shí)，f (x) 和 f (x) 變化情況如下x( ,ln a)lna(ln a, )f (x)0f (x)極小值f (x)min f (ln a) a a(ln a 1)，由題意可f (x)min 0，即 aln a 0，解得 0 a 1 。綜

17、上所述，a的取值范圍為0,1f (x) 的圖像總在曲線y 2 ln x 上方，即證ex 2 ln x恒成立，即要證明ex ln x 2 恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)ex ln x111g (x) e ，令 h(x) e ，故 h (x) e 2 0 ，則 h(x) 在 (0,)單調(diào)遞增，則xxx11g '(x)單調(diào)遞增.因?yàn)間 (1) e 1 0， g ( ) e2 2 0， 由零點(diǎn)存在性定理可知，g (x)在2x11(0,)存在唯一零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為x0，令g (x) 0，即 e 0 ，且x0( ,1)x02x變化時(shí)，g(x)和 g (x)變化情況如下x(0, x0 )x0(x0,)g (x)0g(x)極小值x11則 g(x)g(x0)ex0lnx0，因?yàn)閑0 ，所以ln x0x0，所以 g(x)g(x0)x02，x0x01當(dāng)且僅當(dāng)x01 時(shí)取等，因?yàn)閤0( ,1) ，故 g(x)g(x0)2，即exln x2恒成立，曲線2y f( x)( x 0)總在曲線y 2 ln x 的上方 .20. 【解析】110-1()若r1rn, c1cn共 2n 個(gè)數(shù) , n n, Z ，共 2n 1 個(gè)數(shù)，r1+r2+rn=c1+c2cn， r1+r2+rn+c1+c2cn=2(r1+r2+rn)=0-所以 為偶數(shù) .設(shè)整數(shù) 5,5 ， 且 H5， 可取4，2