新人教版九年級《圓》的整章復習

1、圓中的計算圓中的計算與圓有與圓有關的位關的位置關系置關系圓的基圓的基本性質本性質點與圓的位置關系點與圓的位置關系圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系扇形面積、弧長扇形面積、弧長 圓錐的側面積和全面積圓錐的側面積和全面積 弧、弦與圓心角弧、弦與圓心角圓周角及其與同弧上圓心角圓周角及其與同弧上圓心角圓的對稱性圓的對稱性切線切線圓圓的的切切線線切線長切線長圓圓知識回顧知識回顧一一、知識結構知識結構（五）、切線長定理（五）、切線長定理二、主要定理二、主要定理（一）、相等的圓心角、等弧、等弦（一）、相等的圓心角、等弧、等弦 之間的關系及垂徑定理之間的關系及垂徑定理（二）、

2、圓周角定理（二）、圓周角定理（三）、與圓有關的位置關系的判別（三）、與圓有關的位置關系的判別定理定理（四）、切線的性質與判別（四）、切線的性質與判別三、基本圖形（重要結論）三、基本圖形（重要結論）輔助線一關于弦的問題，常常需關于弦的問題，常常需要要過圓心作弦的垂線段過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的這是一條非常重要的輔輔助線助線。圓心到弦的距離、半徑、圓心到弦的距離、半徑、弦長弦長構成構成直角三角形直角三角形，便將問題轉化為直角三便將問題轉化為直角三角形的問題。角形的問題。OPAB 在遇到與直徑有關的在遇到與直徑有關的問題時，應考慮作出問題時，應考慮作出直徑或直徑所對的圓直徑或直徑所對的圓

3、周角。這也是圓中的周角。這也是圓中的另一另一 種種輔助線輔助線添法。添法。輔助線二CAB.O 當遇到已知切線和切當遇到已知切線和切點時，要注意點時，要注意連接圓連接圓心和切點心和切點，以便得到，以便得到直角去幫助解題。直角去幫助解題。輔助線三OA.1.已知，如圖，已知，如圖，AB為為 O的直徑，的直徑，AB=AC,BC交交 O于點于點D，AC交交 O于于點點E, BAC=45。給出下面五個結論：。給出下面五個結論： EBC=22.5 ；BD=DC； AE=2EC； 劣弧劣弧AE是劣弧是劣弧DE的的2倍倍 ；DE=DC。其中正確的是。其中正確的是(填序號填序號) .ABCDEO析：本題主要是應用

4、輔助析：本題主要是應用輔助線二，作出直徑所對的圓線二，作出直徑所對的圓周角。連接、。周角。連接、。則則與與均為，求出各角，均為，求出各角，得解。得解。在同圓中在同圓中,若若AB=2CD， 則弦則弦AB與與2CD的大小關系是（）的大小關系是（）BDCBAOMA.AB2CD B.AB2CD C.AB=2CD D.不能確定不能確定 分析分析:我們可取我們可取AB的中的中點點M,則則AM=BM=CD,弧相等則弦相等弧相等則弦相等,在在AMB中中AM+BMAB,即即2CD AB.3.已知已知, ABC內接于內接于 O, ADBC于于D,AC=4,AB=6, AD=3,求求 O的直徑。的直徑。 證明證明:

5、 :作作 O O的直徑的直徑AE,AE,連接連接BE,BE,則則C= E, C= E, ADC= ABE, ADC= ABE, ABE ABE ADC, ADC, AD/AB=AC/AE, AD/AB=AC/AE, 即即AE=ABAE=ABAC/AD=8, O的直徑為的直徑為8 8分析分析: :解決此類問題時解決此類問題時, ,我們我們通常作出直徑以及它所對的通常作出直徑以及它所對的圓周角圓周角, ,證明證明ABEADC.ABEADC.B BC CA A . .O O.115100問題一問題一:當點當點O為為ABC的外心時，的外心時， BOC=問題二問題二:當點當點O為為ABC的內心時，的內心

6、時， BOC= 4.已知已知,如圖如圖,銳角三角形銳角三角形ABC中中,點點O為形內一為形內一定點定點. A=50O.ABC當點O為外心時，則 A與 BOC為圓周角與圓心角的關系。如圖。所以 BOC=100若點O為內心，則應用公式 BOC= 90+ 0.5 A，可得 BOC=115證明一：連接AC、BCAC=CECAE=CBA， 又CDABCDAB ACB=CDB=90，ACD=CBA=CAF，AF=CF 5.5.已知，如圖，已知，如圖，ABAB是是OO的直徑，的直徑，C C為為AE AE 的中點，的中點，CDABCDAB于于D D，交，交AEAE于于F F。求證：。求證：AF=CFAF=CF

7、分析:要正線段相等,通常是證明兩角相等或三角形全等。該題是證兩角相等。AFCEBD證明二：延長證明二：延長CDCD交交O O于于G GG若該點位N，你能證明AF=FN嗎？ABAB是是OO的直徑，的直徑， CDABCDAB，AG=AC=CEAG=AC=CE， CAE= CAE= GCAGCA，CF=AFCF=AF 2050或130問題二問題二:當點當點O為為ABC的外心時，的外心時， A=問題一問題一:當點當點O為為ABC的內心時，的內心時， A= 1.已知已知, 三角形三角形ABC中中,點點O為一定點為一定點. BOC=100 .當點當點O為內心時，則根據公式為內心時，則根據公式 BOC= A

8、+90，可得，可得 A=20當點當點O為外心時，則首先要考慮圓心是在三角為外心時，則首先要考慮圓心是在三角形內還是外，因此要分兩種情況求解。當外心形內還是外，因此要分兩種情況求解。當外心在三角形內時在三角形內時, BOC=2 A， 則則 A=50，當外心在三角形外時，當外心在三角形外時， A=180- BOC=1302121你做對了嗎？ 2.2.已知，如圖，已知，如圖，OAOA、OBOB為為OO的的兩條半徑，且兩條半徑，且OAOBOAOB，C C是是ABAB的中點，的中點，過過C C作作CDOACDOA，交，交ABAB于于D D，求，求ADAD的度的度數。數。BDOAC分析：求弧AD的度數，即

9、求它所對的圓心角的度數。因此連接OD，延長DC交OB與E，可EDO=DOA=30，所以弧AD為30EB BC CA A . .O O . 3、已知、已知,ABC內接于內接于 O,ADBC于于D,AC +AB=12, AD=3, 設設 O的半的半徑為徑為y,AB為為x，求，求y與與x的關系式。的關系式。分析：類似于例題，只分析：類似于例題，只要正要正ABE與與 ADC相相似即可似即可。相信你一定能解對！E答案： xxy2612(3(3x x 9)9)6.6.兩個圓的半徑的比為兩個圓的半徑的比為2:3 ,2:3 ,內切時圓心距等于內切時圓心距等于8cm,8cm,那么這兩圓相交時那么這兩圓相交時,

10、,圓心距圓心距d d的取值的取值 范圍是范圍是 解：設大圓半徑解：設大圓半徑R=3x,R=3x,小圓半徑小圓半徑r=2x r=2x 依題意得：依題意得：3x-2x=83x-2x=8，解得：，解得：x=8x=8 R=24 cm R=24 cm，r=16cmr=16cm 兩圓相交，兩圓相交，R-rdR+rR-rdR+r 8cm d 40cm 8cm d 40cm分析分析:可根據兩圓內切時可根據兩圓內切時d=R-r,求出半求出半徑徑,當兩圓相交時當兩圓相交時R-rdR+r, 據此可求據此可求得結果得結果.OB BADPEC 7.如圖，從如圖，從OO外一點引圓的兩條切線外一點引圓的兩條切線PAPA、P

11、BPB，切點分別為，切點分別為A A、B B，若，若PA=8PA=8，C C為為ABAB上的一個動點（不與上的一個動點（不與A A、B B兩點重合），兩點重合），過點過點C C作作OO的切線，分別交的切線，分別交PAPA、PBPB于點于點D D、E E，則，則PDFPDF的周長為的周長為 析： 根據切線長定理可知，PA=PB，而DE切 O于C，所以又有DA=DC，EC=EB，從而PDE的周長=PD+DC+CE+PE=PA+PB 解：解：PA、PB、DE 為的切線，為的切線，切點為切點為A、B、C，則，則PA=PB；DA=DC；EC=EB。 PDE的周長的周長=PA+PB=16 16 8. 如圖

12、，在如圖，在RtABC中，中，C=90若以若以C為為圓心、圓心、r為半徑畫為半徑畫 C.若若AC=3，BC=4,試問試問：當當r滿足什么條件時，則滿足什么條件時，則 C與直線與直線AB相切？相切？當當r滿足什么條件時，則滿足什么條件時，則 C與直線與直線AB相交？相交？當當r滿足什么條件時，則滿足什么條件時，則 C與直線與直線AB相離？相離？HACB析：當直線與圓相切時，d=r，所以只要算出圓心到AB的距離即可。相離d r;相交 d r.略解：d=CH=2.4 (1).d=2.4=r (2).r2.4 (3).0r2.4 9. 已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，中，AB=ACAB=A

13、C，以，以ABAB為直徑的為直徑的OO交交BCBC于點于點D D，過點，過點D D作作DEACDEAC于于點點E.E.求證求證DEDE為為OO的切線的切線。ODEBAC.分析：證明切線常分析：證明切線常用兩種方法；一為用兩種方法；一為d=r;d=r;另一為切線的另一為切線的判定定理。該題已判定定理。該題已知知DEDE與圓有公共點，與圓有公共點，故用第二種證法故用第二種證法證一：連接ODOD=OBOD=OB，AB=ACAB=AC則則B= C= BDOB= C= BDO，ODACODAC， 又又 DEAC DEAC， OD DEOD DE，所以，所以DEDE為為OO的切線的切線證法二：連接OD、A

14、D1324AB為直徑，BDA=90又AB=AC，點D為BC的中點 1= 3， 而 2= 3， DEACDEAC 1+ 4=90 2+ 4=90 DEDE為為OO的切線的切線 4.已知：如圖，已知：如圖， AB AB、ACAC與與OO相切于點相切于點B B、C C，A=50A=50，P P為為OO上異于上異于B B、C C的一個動點，的一個動點，則則BPC BPC 的度數為的度數為 （ ）A.40 B.65 C.115 D.65 或或115 分析：在解決此問題時,應注意點P為一動點,它可能在劣弧BC上,也可能在優(yōu)弧上,但萬變不離其中,應用輔助線三,連接OB、OC得直角,即可求解。POB BAC.

15、65P115D8 86 6ABC5.5.如圖如圖RtRtABCABC中中,AB=10,BC=8,AB=10,BC=8,以點為圓心以點為圓心, , 4.8 4.8為半徑的圓與線段為半徑的圓與線段ABAB的位置關系的位置關系 是是_;_;D相切4.8r6r =4.8 或6r8當當 _ _ 時時, ,OO與線段與線段ABAB沒交點沒交點; ;當當_時時, ,OO與線段與線段ABAB有兩個交點有兩個交點; ;當當 _ _ 時時, ,OO與線段與線段ABAB僅有一交點僅有一交點; ;設設OO的半徑為的半徑為r,r,則則0r4.8 或或r8本題應注意本題應注意的是的是:圓于線圓于線段的公共點段的公共點的個

16、數的個數,而非而非與直線的公與直線的公共點的個數共點的個數.乙甲10.10.如圖甲如圖甲,A,A是半徑為是半徑為2 2的的OO外一點外一點,OA=4,AB,OA=4,AB是是OO的切線的切線,B,B為切點為切點, ,弦弦BCOA,BCOA,連接連接AC,AC,求求陰影部分的面積陰影部分的面積. .點撥點撥: :圖中的陰影是不規(guī)則圖形圖中的陰影是不規(guī)則圖形, ,不易直接求不易直接求出出, ,所以要將其轉化為與其面積相等的規(guī)則所以要將其轉化為與其面積相等的規(guī)則圖形圖形, ,在等積轉化中在等積轉化中. . 可根據平移、旋轉可根據平移、旋轉或軸對稱等圖形變換；或軸對稱等圖形變換；可根據同底（等底）可根

17、據同底（等底）同高同高( (等高等高) )的三角形面積相等進行轉化的三角形面積相等進行轉化. .解:如圖一:連接OB、OC. BC/OA， ,S陰影=S扇形OBC , AB為O的切線， OBAB. OA=4，OB=2， AOB=60. BC/OA, AOB=OBC=60. OB=OC, OBC為正三角形, COB=60,S陰影=60 4/360=2 /3OBCABCSS 6.6.如圖所示如圖所示, A, A、 B B 、 C C、 D D、 E E相互外離，它們的半徑都是相互外離，它們的半徑都是1 1，順次連接五個圓心，順次連接五個圓心得到五邊形得到五邊形ABCDEABCDE，求圖中五個扇形（

18、陰影部分），求圖中五個扇形（陰影部分）的面積之和的面積之和。分析：因為五個圓時等圓，所以根據扇形面積計算公式得： S= = （A+B+C+D+E）=1.53602RA3602R3602RB 3602R ED3602RC 3602R 點撥:化 整為零、化分散為集中的整體策略是解題的重要方法。 11： 如圖，已知O的弦 AB所對的圓心角等于140o，則弦AB所對的圓周角的度數為_. OAB70o或110oCC錯解: 70 錯因:忽視了弦所對的圓周角有兩類。.正解：當圓周角在優(yōu)弧上時，圓周角為140 的一半70；當圓周角在劣弧上時，則與70互補，為110。誤區(qū)警示 12 12、如圖、如圖, ,以以O

19、 O為圓心的兩同心圓的半徑為圓心的兩同心圓的半徑分別是分別是11cm11cm和和9cm,9cm,若若PP與這兩個圓都與這兩個圓都相切相切, , 則這個圓的半徑為則這個圓的半徑為 錯解： 1cm錯因：忽視了和兩圓都是內切關系的情況。正解：先考慮夾在圓環(huán)內的小圓半徑為1cm，再，再看和中間小圓內切的圓看和中間小圓內切的圓半徑為半徑為4.5cm。1cm或或4.5cm誤區(qū)警示1313、已知、已知ABAB是是OO的直徑的直徑,AC,AC是弦是弦,AB=2,AC= ,AB=2,AC= ,在圖中畫出弦在圖中畫出弦AD,AD,使得使得AD=1,AD=1,求求CADCAD的度數的度數. .2ADCB45D601

20、5錯解：105錯因：以A為頂 點且長度為1的弦有兩條，其一與AC在直徑的同側，其二與AC在直徑的異側。應分兩種情況討論。正解：當在直徑的兩側時；連接BC，BD； 則ABC為等腰直角三角形，CBA=45； 在直角 ABD中2AD=AB，BAD=60 CAD=60+45=105當AC、AD在直徑的同側時，則 CAD=6045=15誤區(qū)警示14.已知圓內接ABC中，AB=AC，圓心O到BC的距離為3 ，半徑為7 。求腰長AB.錯解：如圖，過點A作ADBC于D，連接OB, AB=AC, BD=DC.即AD垂直平分BC, AD過圓心O, AD=AO+OD=7+3=10在直角OBD中，403722222O

21、DOBBD在直角ABD中3524010222BDADABDAC.OB誤區(qū)警示錯因分析：只考慮圓心ABC在內部，而忽略了圓心ABC在外部的情況。正解：除上述第一種情況外，還有另一種情況。B.OACD如圖，過點A作ADBC于D，連接OB,由第一種情況可得: AD過圓心O, AD=AO-OD=7-3=4，在直角ABD中402BD142404222BDADAB綜上所述:腰AB長為352或142誤區(qū)警示 7、在直徑為400mm的圓柱形油槽內，裝入一部分油，油面寬320mm，求油的深度. 分析分析: : 本題是以垂徑定理為考查點的幾何應用題，本題是以垂徑定理為考查點的幾何應用題，沒有給出圖形，直徑長是已知

22、的，油面寬可理解為沒有給出圖形，直徑長是已知的，油面寬可理解為截面圓的弦長，也是已知的，但由于圓的對稱性，截面圓的弦長，也是已知的，但由于圓的對稱性，弦的位置有兩種不同的情況，如圖弦的位置有兩種不同的情況，如圖(1)(1)和和(2)(2)圖圖(1)(1)中中OC=120CD=80(mm)OC=120CD=80(mm)圖圖(2)(2)中中OC=120OC=120CD=OC+OD=320(mm)CD=OC+OD=320(mm)16. 如圖,殘破的輪片上,弓形的弦為480,高為70,求原輪片的直徑.(精確到1)解:OCAB,OC是半徑, 2BD =AB=480 .設OB=R,在直角OBD中,7024

23、0222RR解得:R446原輪片的直徑為2R4462=892 在解決此類問題時,往往 在直角三角形的基礎上,建立方程,應用勾股定理求解.感悟圓中的數學思想OCADB三.正多邊形:2.半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑.中心：一個正多邊形外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心3.中心角：正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角4.邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距OABFDCEG3 正多邊形和圓（1）.有關概念（2）.常用的方法（3）.正多邊形的作圖EFCD.邊心距r中心角邊OABCRd12a2221()2adRa1.圓的周長和面積公式2.弧長的

24、計算公式3.扇形的面積公式S=360nr2L=180nr=12LrS或四.圓中的有關計算:周長C=2r面積s=r2Or4.圓柱的展開圖:DBCArhS側 =2r hS全=2r h+2 r25.圓錐的展開圖:底面?zhèn)让鍸母L母hrS側 =r L母S全=r L母+ r27、已知：在RtABC, 求以AB為軸旋轉一周所得到的幾何體的全面積。cm5BC,cm13AB.90C0 分析：以AB為軸旋轉一周所得到的幾何體是由公共底面的兩個圓錐所組成的幾何體，因此求全面積就是求兩個圓錐的側面積。 D C B A17.如圖如圖,為一圓錐形糧堆為一圓錐形糧堆,從正面看是邊從正面看是邊長為長為6米的正三角形米的正三角

25、形ABC,糧堆母線糧堆母線AC的的中點中點P處有一老鼠正在偷吃糧食處有一老鼠正在偷吃糧食,此時此時,小貓小貓正在正在B處處,它要沿圓錐側面到達它要沿圓錐側面到達P處捕捉老處捕捉老鼠鼠,則小貓所經過的最短路線是則小貓所經過的最短路線是米米.(結果保留根號結果保留根號)解析:此類問題是將立體圖形問題轉化到平面圖形問題來解決.該題是將圓錐側面展開為扇形,如圖.連接BP,則最短距離即為線段BP的長. 解:由已知條件可得圓錐的側面積為18,36062n= 18,解得n=180 ,則BAP=90,又AB=6 m,AP=3m,由勾股定理的BP=53mPACB.感悟圓中的數學思想PABC9.已知的 O半徑為3

26、,點P是直線上a的一點, OP長為5 ,則直線a與 O的位置關系為( )A.相交 B.相切 C.相離 D.相交、相切、相離都有可能由于OP與直線a的位置不確定，所以直線a與 O的位置關系可能有如下三種情況。aO5PaPO5aOP5D相交相切 相離10.10.已知如圖已知如圖(1)(1)，圓錐的母線長為，圓錐的母線長為4 4，底面圓半，底面圓半徑為徑為1 1，若一小蟲，若一小蟲P P從點從點A A開始繞著圓錐表面爬行開始繞著圓錐表面爬行一圈到一圈到SASA的中點的中點C C，求小蟲爬行的最短距離，求小蟲爬行的最短距離. .(1)(2)本題是將圓錐側本題是將圓錐側面展開，得一扇面展開，得一扇形，先

27、求一圓心形，先求一圓心角。得解。角。得解。 你做對了嗎？解：側面展開圖如圖解：側面展開圖如圖(2)(2)221= ,n=901= ,n=90SA=4SA=4，SC=2SC=2AC=2 .AC=2 .即小蟲爬行的最短距離為即小蟲爬行的最短距離為2 2 .on18045518、一圓弧形橋拱，水面、一圓弧形橋拱，水面AB寬寬32米，當米，當水面上升水面上升4米后水面米后水面CD寬寬24米，此時上米，此時上游洪水以每小時游洪水以每小時0.25米的速度上升，再米的速度上升，再通過幾小時，洪水將會漫過橋面？通過幾小時，洪水將會漫過橋面？圓的實際應用此題實際是應用了轉化的思想，把實際問題轉化為圓的問題求解解：過圓心解：過圓心O作作OEAB于于E，延長后交，延長后交 CD于于F，交弧，交弧CD于于H，設，設OE=x，連結，連結OB，OD，由勾股定理得，由勾股定理得 OB2=x2+162 OD2=(x+4)2+122 X2+162=(x+4)2+122X=12OB=20FH=4 40.25=16（小時）（小時）答：再過答：再過16小時，洪水將會漫過橋面。小時，洪水將會漫過橋面。 圓的實際應用19.如