實現(xiàn)迭代法最佳松弛因子的選取

1、迭代法最佳松弛因子的選取一、問題提出:針對矩陣，b=24;30;-24,用SOR迭代求解。并選出最佳松弛因子。理論分析。做出關(guān)于函數(shù)的圖像。二、理論基礎(chǔ)選取分裂矩陣M為帶參數(shù)的下三角矩陣,其中w>0為可選擇的松弛因子. 于是,由 (k=0,1,)可構(gòu)造一個迭代法,其迭代矩陣為=從而得到解Ax=b的主次逐次超松弛迭代法.解Ax=b的SOR方法為 (k=0,1,) (1)其中=（2） 下面給出解Ax=b的SOR迭代法的分量計算公式.記 由(1)式可得 （3）由此,得到解Ax=b的SOR方法的計算公式 (4)或 (5) 若要求選取出最佳松弛因子，則有兩種方法：1、 給出的最佳范圍，當(dāng)取不同的值

2、時，會求出不同的譜半徑R的值，然后判斷出值最小的譜半徑。那么這個最小的譜半徑所對應(yīng)的，即為所求最佳松弛因子。2、 給出的最佳范圍，當(dāng)取不同的值時，由（2）式進行迭代，看它們在相同精度范圍內(nèi)的迭代次數(shù)，找出迭代次數(shù)最低的那一個，其所應(yīng)用的即為最佳松弛因子。三、實驗內(nèi)容：松弛因子、譜半徑和迭代次數(shù)的關(guān)系：w11.011.021.031.041.041.061.07R0.62500.61740.60960.60160.59330.58480.57600.5669h3130302928272626w1.081.091.101.111.121.131.141.15R0.55750.54780.53770

3、.52710.51610.50460.49240.4797h2525242323222121w1.161.171.181.191.201.211.221.23R0.46610.45160.43590.41890.40000.37860.35320.3205h2019191817161515w1.241.251.261.271.281.291.30R0.25600.25000.26000.27000.28000.29000.3000h14151515151515 從表格中可以看出，迭代次數(shù)隨著松弛因子的增長而呈現(xiàn)先減后增的趨勢，當(dāng)譜半徑最小時，其迭代次數(shù)最小。則表示出譜半徑最小時，其松弛因子為最

4、佳松弛因子。w和R的關(guān)系圖如下：圖像中，其橫坐標(biāo)表示松弛因子，縱坐標(biāo)表示譜半徑。從圖中可以看出，隨著松弛因子的增長，譜半徑先是呈遞減趨勢，當(dāng)達到最小值1.24時，呈上升趨勢。四、結(jié)果分析： 通過這次的實驗，我們知道了關(guān)于怎樣選取最佳松弛因子的方法和理論。了解了最佳松弛因子與系數(shù)矩陣譜半徑之間的關(guān)系，即譜半徑越小那么其所對應(yīng)的松弛因子越佳，且迭代次數(shù)越小。所得結(jié)果與理論結(jié)果相符，即最佳松弛因子是1.24，表格及圖象顯示出，越接近理論值，誤差越?。⒖嘉墨I1.數(shù)值分析，李慶揚，王能超，易大義，2001，清華大學(xué)出版社（第四版）。2.數(shù)值方法，關(guān)治，陸金甫，2006，清華大學(xué)出版社。3.數(shù)值分析與實

5、驗學(xué)習(xí)指導(dǎo)，蔡大用，2001，清華大學(xué)出版社。4.數(shù)值分析與實驗，薛毅，2005，北京工業(yè)大學(xué)出版社。附錄：程序如下：A=4,3,0;3,4,-1;0,-1,4; %系數(shù)矩陣%b=24;30;-24;D=diag(diag(A); %A的對角矩陣%U=-triu(A,1) ; %A上三角矩陣%L=-tril(A,-1); %A的下三角矩陣%m=;t=; %創(chuàng)建兩個空矩陣分別存放相對應(yīng)的譜半徑和記錄迭代次數(shù)% for w=1:0.01:1.3; %取w的值% q=(D-w*L); p=inv(q); %求q的逆% lw=p*(1-w)*D+w*U); %求得迭代矩陣%V=eig(lw); %計算迭代矩陣的特征向量%R=max(abs(V); %找出絕對值最大的譜半徑%m=m,R;plot(w,R,'o'); %畫出w和R的關(guān)系圖%hold onf=(D-w*L)b*w;x0=0;0;0; %取迭代初值%y=lw*x0+f; n=1;while norm(y-x0)>=1.0e-6 %迭代條件% f=(D-w*L)b*w; x0=y; y=lw*x0+f; n=n+1;endt=t,n; endh,k=min(t); %h記錄最小的迭代次數(shù)，k記錄第幾個數(shù)最小%求解過程g=1.0+(k-1)*0.01;f=(D-g*L)b*g;y=lw*x0+