求數(shù)列前N項和的七種方法(含例題和答案)

1、求數(shù)列前N項和的七種方法點撥:核心提示：求數(shù)列的前n項和要借助于通項公式， 即先有通項公式， 再在分析數(shù)列通項公式 的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和， 或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。 當(dāng)遇到具體問題時， 要注意觀 察數(shù)列的特點和規(guī)律，找到適合的方法解題。1.公式法等差數(shù)列前n項和：S. n(a na1 衛(wèi)2 2特別的，當(dāng)前n項的個數(shù)為奇數(shù)時，S2k 1 (2k 1)|ak 1，即前n項和為中間項乘以項數(shù)。 這個公式在很多時候可以簡化運算。等比數(shù)列前n項和：q=1 時，Sn naai 1 qnq 1，Sn，特別要注意對公比的討論。1 I I>1 q其他公式:1、Sn kln(n 1)(2 n 1)6

2、3、Sn0 k32n(n 1)2k 121 2 3例1已知log 3 x，求XX xlog 2 3xn 的前n項和.解：由log 3 x1log 2 3log 3 xlog 3 2由等比數(shù)列求和公式得Snx x2 x3 xn(利用常用公式)1 1(1 -x(1xn)1 x22丿=1_丄1 21 一2例 2設(shè) S = 1+2+3+ +n , - N*,求 f (n)(nS-32)S-1的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得用常用公式)S- 1-(- 1)，S-1 1(- 1)(- 2)2 2(利f(-)S-(-32)S- 1-2-34- 641_ 1 丄64/8 250-34( .-)25050-

3、-當(dāng).-即-=8時,f ( - ) max1502錯位相減法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前-項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列a- b-的前-項和，其中 a- 、 b- 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和：S- 1 3x 5x2 7x3(2- 1)x- 1解：由題可知， (2- 1)x-1的通項是等差數(shù)列2- 1的通項與等比數(shù)列X-1的通項之積設(shè) xS- 1x 3x2 5x3 7x4(2-1)x一得 (1 x)S-12x2x22x3 2x42x- 1(2- 1)x-(錯位相減)再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1x)S-11 x 2x(21 x1)x-S-(2- 1)x- 1 (2- 1

4、)x-(1 x)(1 x)2例4求數(shù)列2,£, 2，,2-,前-項的和.2 2“ 2 32 （反序）又因為 sin xcos(90 x), s in2x cos2 x 1+得（反序相加）2S (sin 21cos21 ) (sin2 2cos2 2 )2 2(sin 89 cos 89 ) = 89解：由題可知,2n的通項與等比數(shù)列丄的通項之積2n設(shè)Sn2Sn（設(shè)制錯位）（錯位相減）462n22232n462n3,4n 1222/曰1得(1-)Sn212n22 n 12* 1Q n尹的通項是等差數(shù)列22221Sn2 2 2 22 二342 2 222 2nnn 12 2n 22* i

5、練習(xí)：求：S=1+5x+9x 2+(4n-3)xn-1解：Sn=1+5x+9x2+(4門書)1兩邊同乘以x,得x Sn=x+5 x2+9x3+(4 n-3)則-得，(1-x) Sn=1+4 ( x+ x2+x3+n+ x ) - (4n-3) xn當(dāng) x=1 時，Sn=1+5+9+ + （4n-3） =2n2-n當(dāng) x工 1 時，Sn=亠4x（1-xn）+1- （4n-3） xn 1-x1-x3.反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1 an）.2 2 2例 5求 sin 1 sin 2 sin 32

6、 2sin 88 sin 89 的值2 2 2解：設(shè) S sin 1 sin 2 sin 32 2sin2 88sin289將式右邊反序得2 2S sin 89 sin 882 2 2sin 3 sin 2 sin 1S= 44.54. 分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1 13n 2，13n 2) a例6求數(shù)列的前n項和：11,4,飛 7,aa11解：設(shè) Sn(1 1)(丄 4)(冷 7)aa將其每一項拆開再重新組合得1 1 1Sn (1 - -2) (1 4 7 3n 2)a aa(分組

7、)當(dāng)a= 1時，Sn n空衛(wèi)=2 2組求和)當(dāng)a 1時，&na1 -a(3n 1)n2a a1 n (3n 1)na 12例7求數(shù)列n(n +1)(2n+1)的前n項和.3 2解：設(shè) ak k(k 1)(2k 1) 2k3 3k2Snk(kk 11)(2kn31) =(2kk 13k2k)將其每一項拆開再重新組合得Snnk3k2(分組)=2(13233n )3(1222n2)(1 2n)2 2n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 2 2(分組求和) n(n 1)2(n 2)練習(xí)：1 1 1 1求數(shù)列12,24 -38'?,(n尹?的前n項和。解：1111Sn

8、 12： 3 ? (n n)24821 111(1 2 3 ? n) (2?)2 2 2211(n 1) 1225. 裂項法求和項）an這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通分解，然后重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如:(1)(3)(5)anananf(n 1)f (n)(2)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan nn(n 1)an(2 n)2(2n 1)(2 n 1)1 1 . _( _ ) 2 2n 1 2n 1n(n1)( n 2)2 n(n1 1)(nnn(n 1)12n2(n 1)n(n 1

9、)12n1n 2n 1嵌，則Sn(n1_1)2n的前n項和.例9求數(shù)列（裂項）（裂項求和）ann 、nSn=(.2.1)(、.3.2)( n 1. n)例10在數(shù)列an中,an，又bn，求數(shù)列bn的前an an 1解:an18(-n（裂項）數(shù)列b n的前n項和1）eSn8(11)(1(丄n七n 1（裂項求和）=8(18nn 1例11求證:cosO cos1cos1 cos2cos88 cos89cos1sin21解：設(shè)S（裂項）（裂項求和）-(tan 1 sin1練習(xí)：求cosO cos1cos1 cos2cos88 cos89sin 1cos n cos(n 1)tan(n1)tan nSc

10、os0 cos1cos1 cos2cos88 cos89tanO ) (tan2 tan1 ) (tan3(ta n89 tanO) = cot1sin 1sin 1原等式成立1 1 1 1、3，1 5，3 5，63之和。tan2 ) tan89tan88 cos1sin211解：31535632(1 3)1(3 5)1(5 1)1(1 1 1 11 11 112 (1 3)(35(5 7(7 99)6. 合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求S.例 12 求 cos1° + cos2°

11、 + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.解：設(shè) S= cos1° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° cosn cos(180 n )(找特殊性質(zhì)項) Sn=(cos1° + cos179°) + ( cos2° + cos178° ) + (cos3° + cos177°) + + ( cos89° + cos91 °) + cos90°(合并求和)=0例

12、13數(shù)列佃: a11,a23,a32,an 2an1an,求S2002.解：設(shè) S?002 = a1a2 a 3a 2002由 a11, a23, a32, a. 2 a. 1 a.可得a41 , a53, a62,a71,a83,a92,a101,an3,a122,a6k 11, a6k 23,a6k32,a6k41,a6k 53, a6k 62a6k1 a6k 2a6k3a6k 4a6k5a6k 60(找特殊性質(zhì)項)合并求和)(a1 a2 a3a6 ) (a7a8a12 )(a6k 1 a6k 2a6k 6 )(a1993a1994a1998 )a1999a2000a2001a2002=a

13、1999a2000a2001a2002=a6k 1a6k 2a6k 3a6k 4=5例 14在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若 a5a69,求 log 3 a1 log3a?log 3 a10 的值.解：設(shè) Snlog 3 a1 log3 a2log 3a10由等比數(shù)列的性質(zhì) m n pqamanapaq(找特殊性質(zhì)項)和對數(shù)的運算性質(zhì) log a Mlog a Nloga M N得Sn(log 3 a1log 3 a10)(log 3 a2log3a9)(log 3a5 log3a6)(合并求和)=(log 3 ai aio) (log 3 a? a?) (log 3 *5)=log 3 9 l

14、og3 9 log 3 9=107. 利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析， 找出數(shù)列的通項及其特征， 然后再利用數(shù)列的通項 揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前 n 項和，是一個重要的方法 .例 15求 1 11 1111111 之和.n個1解:由于111 11-9999；(10k 1)k個19k個 19項及特征）1 11111111 1n個11(101（找通（分組求和）1123=-(10 10 10 91 10(10n 1) n910 1981(10 10 9n)例16已知數(shù)列an:an解： (n 1)(an項及特征）（設(shè)制分組）（裂項）(n 1)(ann 1裂項求和）1) -(102 1) 1(103 1)9910n) 一(1 1 1 1)9n個1(n 1)(n3)，求 n(n 1)( an1an 1)的值.an1)8(n1)(n 1)(n1an1) 4E=4(11-(10n 1)1 3)1n 4)(n 2)(n4)（找通8 Ln 2)(n4) (n11(n 318(c宀）1n 4)（分組、_ 13 T 練習(xí)：求5, 55, 555,，的前n