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如何靈活利用放縮法等方法證明不等式_第3頁(yè)
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如何靈活利用放縮法等方法證明不等式儲(chǔ)曙曉 不等式的證明有多種方法，如放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等，但是在運(yùn)用這些方法時(shí)，往往又有一定的困難.下面舉一例說(shuō)明.證明：思路1 采用放縮法當(dāng)n=1時(shí)，原不等式成立；當(dāng)n>1時(shí)，有兩種途徑：(1) 根據(jù)，有左邊<1+，而，當(dāng)n>4時(shí)不成立，所以放縮過(guò)大!(2) 根據(jù)，有左邊<，恰到好處!思路2 能用數(shù)學(xué)歸納法證明嗎?第一步 當(dāng)n=1時(shí)原不等式成立，容易驗(yàn)證；第二步 假設(shè)當(dāng)n=k (kN*)時(shí)命題成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí), 原不等式的左邊=而，從而不能證明.思路受阻！如何擺脫困境？這說(shuō)明，放縮過(guò)大，需要調(diào)整.因?yàn)楫?dāng)n=1或2時(shí)，原不等式都成立，所以只要證：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)預(yù)備命題：證明： 當(dāng)n=3時(shí)，命題的左邊=，右邊=，而，從而命題成立； 假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即；那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有命題的左邊=，而命題的右邊=，因?yàn)?，即，從而，即?dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.由得證，預(yù)備命題成立，即.而，所以又因?yàn)楫?dāng)n=1或2，上式也成立，所以，從而原不等式成立也得到證明.

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