投資學最優(yōu)風險資產(chǎn)組合(1)

1、.2009年年9月月投資學投資學 第第7章章優(yōu)化風險投資組合優(yōu)化風險投資組合Optimal Risky Portfolios.2上章回顧： 無風險資產(chǎn)與風險資產(chǎn)組合 資本配置線 最優(yōu)風險資產(chǎn)頭寸本章邏輯： 風險資產(chǎn)組合與風險分散化原理 風險資產(chǎn)組合的優(yōu)化 從資本配置到證券選擇2*)(pfpArrEy.7.1 分散化與投資組合風險 什么是投資組合? 投資組合：由投資人或金融機構(gòu)所持有的股票、債券、衍生金融產(chǎn)品等組成的集合。投資組合的目的在于分散風險。 Portfolio is a financial term denoting a collection of investments held b

2、y an investment company, hedge fund, financial institution or individual.47.1 分散化與投資組合風險 投資組合的風險來源：來自一般經(jīng)濟狀況的風險(系統(tǒng)風險，systematic risk / nondiversifiable risk)特別因素風險(非系統(tǒng)風險, unique risk / firm-specific risk / nonsystematic risk / diversifiable risk).5圖 7.1 Portfolio Risk as a Function of the Number of S

3、tocks in the Portfolio.6圖7.2 投資組合分散化.7Covariance and Correlation Portfolio risk depends on the correlation between the returns of the assets in the portfolio Covariance and the correlation coefficient provide a measure of the way returns of two assets vary.8Two-Security Portfolio: Return Portfolio R

4、eturn Bond Weight Bond Return Equity Weight Equity Return pDEDEPDDEErrwrwrwwrr()()()pDDEEE rw E rw E r.9 = Variance of Security D = Variance of Security E = Covariance of returns for Security D and Security ETwo-Security Portfolio: RiskEDEDEEDDrrCovwwww,222222p2E2DEDrrCov,.10Two-Security Portfolio:

5、Risk Another way to express variance of the portfolio:2(,)(,)2(,)PDDDDEEEEDEDEw w Cov rrw w Cov r rw w Cov rr.11Table 7.2 Computation of Portfolio Variance From the Covariance Matrix.127.2 兩種風險資產(chǎn)的投資組合的方差越大越大，組合112),( 又：),(2 )()()(則有：組成和股票基金由長期債券組合P設(shè)某一風險資產(chǎn)組合2222222222PwwwwrrCovrrCovwwwwrEwrEwrEEDDEDE

6、EDEDEEDDPEDDEEDEDEDEEDDPEEDDP .13情況一：的風險并未降低時組合1結(jié)論： 即：)( 2則有：，1若2222222PwwwwwwwwEEDDPEEDDPDEEDEDEEDDPDE)()()(因為EEDDPrEwrEwrE.14情況二：的風險可降至零時組合結(jié)論：令即：則有：，若PwwwwwwwwwEDDDEEDEDEEDDEEDDPEEDDPDE11,0- )( 122DEEDEDEEDDPwwww222222.15情況三：低的風險可有一定程度降時組合結(jié)論：則有：，若PwwEEDDPDE1 11.16組合的機會集與有效集資產(chǎn)組合的機會集合（Portfolio oppo

7、rtunity set），即資產(chǎn)可構(gòu)造出的所有組合的期望收益E(r)和標準差 。有效組合（Efficient portfolio ）：給定風險水平下的具有最高收益的組合或者給定收益水平下具有最小風險的組合。每一個組合代表E(r)和空間中的一個點。有效集（ Efficient set） ：又稱為有效邊界、有效前沿（ Efficient frontier）,它是有效組合的集合（點的連線）。.17 命題1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的機會集合是一條直線。 證明：由資產(chǎn)組合的計算公式可得PEDEDEEDEDEEEDPDDEDEPPEDEPDEDEEDDPEEDDPrErErErErErErErEwwww

8、wrEwrEwrE)()()()()( )()()()/()() 3)(2() 3( 1)2( ) 1 ( )()()(由式.18兩種資產(chǎn)組合（完全正相關(guān)），當權(quán)重wD從1減少到0時可以得到一條直線，該直線就構(gòu)成了兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)的機會集合（假定不允許買空賣空）。收益收益 E(rp)風險風險pDE.19兩種完全負相關(guān)資產(chǎn)的可行集 兩種資產(chǎn)完全負相關(guān)，即DE =-1，則有DDEEPEDEDEEDDPEDEDPEDEDEDEEDDPEEDDPwwwwwwwwwwwrEwrEwrE,時)/(當,時)/(當0,時)/(當)3( 1)2( )1( )()()(.20命題2：完全負相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的機

9、會集合是兩條直線，其截距相同，斜率異號。證明：PEDEDEEDEDEEEDEPDEDEPPPDEEDDPEDEDrErErErErErErErEfwwww)()()()()( )()1 ()()(),(,)/(從而時當.21命題成立。從而時當同理可證，PEDEDEEDEDEPPDDDEEPEDEDrErErErErErEfwwww)()(-)()()()(),(-,)/(.22 兩種證券完全負相關(guān)的圖示收益收益rp風險風險pDE.23命題3：不完全相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的機會集合是一條二次曲線(雙曲線)證明：略.24各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風險資產(chǎn)構(gòu)成的資產(chǎn)組合機會集合(portfolio oppor

10、tunity set)D收益收益E(rp)風險風險p=1=1=0.3=0.3=-1=-1E.25表7.1 兩只共同基金的描述性統(tǒng)計.26表7.3 不同相關(guān)系數(shù)下的期望收益與標準差.27圖7.3 組合期望收益為投資比例的函數(shù).28圖7.4 作為投資比例函數(shù)的組合標準差.29圖7.5 投資組合的期望收益為標準差的函數(shù).307.3 資產(chǎn)在股票、債券與國庫券之間的配置p組合方法：組合方法：兩項風險資產(chǎn)先組合形成新兩項風險資產(chǎn)先組合形成新的風險資產(chǎn)組合，然后再向組合中加入無的風險資產(chǎn)組合，然后再向組合中加入無風險資產(chǎn)風險資產(chǎn)p形成的形成的資本配置線資本配置線(CAL)中斜率最高的，中斜率最高的，效用水平

11、最高效用水平最高.31圖7.6 債券與股票基金的可行集和兩條可行的CALs.32最優(yōu)風險資產(chǎn)組合P的求解DEEDfEfDDfEEfDEDfEEfDDEDEDEDEEDDPEEDDPPfPPwwwrrCovrrErrErrErrErrCovrrErrEwwwrrCovwwwwrEwrEwrEtsrrESMaxi1 ),()()()()(),()()(1 ),(2 )()()( . .)(2222/12222.33圖7.7 The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds with the Optimal CAL and the Optimal Ri

12、sky Portfolio.34圖7.8 Determination of the Optimal Overall Portfolio.35圖7.9 The Proportions of the Optimal Overall Portfolio.36小結(jié)：兩種風險資產(chǎn)與無風險資產(chǎn)組合的配置程序p確定各類證券的收益風險特征確定各類證券的收益風險特征p建造風險資產(chǎn)組合建造風險資產(chǎn)組合 根據(jù)式根據(jù)式(7-13)計算最優(yōu)風險資產(chǎn)組合計算最優(yōu)風險資產(chǎn)組合P的構(gòu)成比例的構(gòu)成比例DEEDfEfDDfEEfDEDfEEfDDwwrrCovrrErrErrErrErrCovrrErrEw1 ),()()()(

13、)(),()()(222ArrCovrErErEDEDEDf),(,),(),(,.小結(jié)：兩種風險資產(chǎn)與無風險資產(chǎn)組合的配置程序根據(jù)式根據(jù)式(7-2)、(7-3)計算風險資產(chǎn)組合計算風險資產(chǎn)組合P的收益風險特的收益風險特征征 配置風險資產(chǎn)組合和無風險資產(chǎn)配置風險資產(chǎn)組合和無風險資產(chǎn)根據(jù)式根據(jù)式(7-14)計算風險資產(chǎn)組合計算風險資產(chǎn)組合P與無風險資產(chǎn)的組合與無風險資產(chǎn)的組合權(quán)重權(quán)重計算最終投資組合中具體投資品種的份額。計算最終投資組合中具體投資品種的份額。),(2 )()()(22222EDEDEEDDPEEDDPrrCovwwwwrEwrEwrE2*)(pfpArrEy.387.4 馬科維茨

14、的資產(chǎn)組合選擇模型 均值-方差（Mean-variance）模型是由Harry Markowitz于1952年建立的，其目的是尋找投資組合的有效邊界。通過期望收益和方差來評價組合，投資者是理性的：害怕風險和收益多多益善。 因此，根據(jù)投資組合比較的占優(yōu)原則，這可以轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題，即（1）給定收益的條件下，風險最小化（2）給定風險的條件下，收益最大化.391111mins.t.,1nnijijijni iiniiw ww rcw11111212.=( , ,., )w=( ,.,),nnnnTnncr rrw wwr若已知資產(chǎn)組合收益、方差 協(xié)方差矩陣和組合各個資產(chǎn)期望收益向量，求解組合中資產(chǎn)

15、權(quán)重向量則有.40 對于上述帶有約束條件的優(yōu)化問題，可以引入拉格朗日乘子和來解決這一優(yōu)化問題。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下1111L()(1)nnnnijiji iiijiiwwwrcw 上式左右兩邊對上式左右兩邊對wi求導數(shù)，令其一階條件求導數(shù)，令其一階條件為為0，得到方程組，得到方程組.41111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrw 和方程和方程 111niiiniiw rcw.42 這樣共有n2方程，未知數(shù)為wi（i1，2,n）、和，共有n2個未知量，其解是存在的。 注意到上述的方程是線性方程組，可以通過線性代數(shù)加以解決。.43正式證明正式證明: : n項風險

16、資產(chǎn)組合有效前沿項風險資產(chǎn)組合有效前沿假定假定1：市場上存在：市場上存在 種風險資產(chǎn)，令種風險資產(chǎn)，令Tnwwww),(21代表投資到這代表投資到這n種資產(chǎn)上的財富的相對份額，則有：種資產(chǎn)上的財富的相對份額，則有：11niiw且賣空不受限制，即允許且賣空不受限制，即允許0iw 2. 也是一個也是一個n維列向量，它表示每一種資維列向量，它表示每一種資產(chǎn)的期望收益率，則組合的期望收益產(chǎn)的期望收益率，則組合的期望收益2nTnrErEr)(,),(1rwrET)(.443.使用矩陣使用矩陣 表示資產(chǎn)之間的方差協(xié)方差，有表示資產(chǎn)之間的方差協(xié)方差，有111212122212nnnnnn 0注：方差協(xié)方差矩

17、陣是注：方差協(xié)方差矩陣是正定、正定、非奇異非奇異矩陣。所以，矩陣。所以，對于任何非對于任何非0的向量的向量0,aaaT都有.45。）, ( ， 2) (0),(121為非奇異矩陣則是單位矩陣使如果存在一個矩陣列的非零矩陣行、對一個正定則稱，都有如果對任何非零向量階實系數(shù)對稱矩陣，為、設(shè)AIIAB = BA = BAnndefinitepositiveMMXXxxxXnMTTn.46其中，其中， 是所有元素為是所有元素為1 1的的n n維列向量。維列向量。由此構(gòu)造由此構(gòu)造LagrangeLagrange函數(shù)函數(shù)11 )( . .21minmin22TTTwTwwrErwtswwwwT1)1,1

18、(1，)11 ()(21min,wTTTwrwrEwwL.47因為是二次規(guī)劃，一階條件既是必要條件，又是充分條因為是二次規(guī)劃，一階條件既是必要條件，又是充分條件件0=0,0,0T) 3( 011)2( 0)() 1 ( 01TTwLrwrELrwwL.48mnmnmnmnnTnxfxfxfxfXXfxxxxXxfxfXXfXXfXXfyxxX1111111111)()()()(,),() 1 (，則：若的微商定義為：關(guān)于則的實函數(shù)，為為實向量若：矩陣微商公式.49BXXBXXbBXXXXAXAXaaAxxXTnnijTTTnTn2)()(2)(,)(,),(,),()2(11為對稱陣，則：若則

19、于是，若：矩陣微商公式.50 1)4( )1()(1)11，得方程組：和再分別左乘以解得：由TTrrw )11()1(1 )1()()(1111TTTTrrrrrE21111 , 11 , 11ABCDCrrBrrATTTT此時令： D)()( 1 )(rAEBDArCECAABrE解得則方程組變?yōu)?511)(1)(1)1()()()(4)111111rEABrArrCEDDrEABrDArECw式得：將代入1)(111111ArCrErABD11 111111ArCDnrABDm再令：，此即為最優(yōu)權(quán)重向量得：nrEmw)(.52有效組合集的幾何特征nrEmwPP)(P：為任一有效組合，則有設(shè)

20、)()(2PnrEmnrEmwwPTPTPTP于是，性質(zhì)：有效組合集是均方平面上的雙曲線性質(zhì)：有效組合集是均方平面上的雙曲線nnrEmnrEnrEmmmTPTPTPTT)()( )(2.53)()1(1)()1(11111rABDrABDmmTTT DBBAAABABACBDrABrABDTT)(1)()1(11222112DrECnnrEDrAEmnrEDrAEnrEmPTPPTPPTPT)()( ,)()()()(同理，22.54CCArEDCDrECDrAEDBPPPP1)()()(2222于是，命題得證。即：1/)/)(/1222CDCArECPP.55 這是均方二維空間中的雙曲線，不

21、妨稱為最小方差曲線（min variance curve）。雙曲線的中心是（0，A/C），漸近線為1/)/)(/1222CDCArECPPP/)(CDCArEP.56g點是全局最小方差組合點（點是全局最小方差組合點（global minimum variance portfolio point）均值均值方差方差wgCA/C/1.57 注意點wg以下的部分，由于它違背了均方準則，被理性投資者排除，這樣，全局最小方差點wg以上的部分（子集），被稱為均方效率邊界(mean-variance efficient frontier)均值均值方差方差wg.58不同理性投資者具有不同風險厭惡程度.59結(jié)合投

22、資者效用曲線的最優(yōu)組合選擇 最優(yōu)資產(chǎn)組合位于無差異曲線I2與有效集相切的切點處。由G點可見，對于更害怕風險的投資者，他在有效邊界上的點具有較低的風險和收益。.60資產(chǎn)組合理論的優(yōu)點 首次對風險和收益進行精確的描述，解決對風險的衡量問題，使投資學從一個藝術(shù)邁向科學。 分散投資的合理性為基金管理提供理論依據(jù)。單個資產(chǎn)的風險并不重要，重要的是組合的風險。 開創(chuàng)了數(shù)量分析方法在金融學當中的應(yīng)用.61資產(chǎn)組合理論的缺點 當證券的數(shù)量較多時，計算量非常大，使模型應(yīng)用受到限制。 均值方差分析的成立條件：收益正態(tài)分布和二次型效用函數(shù).62圖7.10 The Minimum-Variance Frontier

23、of Risky Assets.63圖7.11 The Efficient Frontier of Risky Assets with the Optimal CAL.64圖 7.12 The Efficient Portfolio Set.657.4.2 資產(chǎn)配置與資產(chǎn)分割.66對組合選擇的啟示v若市場是有效的，資產(chǎn)組合選擇問題可以分為兩個獨立的工作，即資本配置決策（Capital allocation decision）和資產(chǎn)選擇決策（Asset allocation decision）。v資產(chǎn)選擇決策：在眾多的風險證券中選擇適當?shù)娘L險資產(chǎn)構(gòu)成資產(chǎn)組合。v資本配置決策：考慮資金在無風險資產(chǎn)

24、和風險組合之間的分配。v基金公司可以不必考慮投資者偏好的情況下，確定最優(yōu)的風險組合-separation property。.677.4.3 分散化的力量_2_2211_1221121222112,11),() 1(1,1),(11, 2 , 1,1),(CovnCovnnnrrCovnnCovnrrCovnnninwrrCovwwnPPnijjnijiniinijjnijiniiPijijnjniiP有：時于是當定義：則有：不妨設(shè)：項資產(chǎn)組合的方差：.68表7.4 Risk Reduction of Equally Weighted Portfolios in Correlated and

25、Uncorrelated Universes.69本章小結(jié)p風險資產(chǎn)組合分散化原理風險資產(chǎn)組合分散化原理pMarkowitz投資組合理論、最優(yōu)效率邊界投資組合理論、最優(yōu)效率邊界p資本配置與證券選擇資本配置與證券選擇p資本配置與資產(chǎn)分割資本配置與資產(chǎn)分割.練習馬克維茲描述的投資組合理論主要關(guān)注于：系統(tǒng)風險的減少分散化對于投資組合的風險影響非系統(tǒng)風險的確認1. 積極地資產(chǎn)管理以擴大收益.練習下面對投資組合分散化的說法哪些是正確的？適當?shù)姆稚⒒梢詼p少或消除系統(tǒng)風險。分散化減少投資組合的期望收益，因為它減少了投資組合的總體風險當把越來越多的證券加入到投資組合中時，總體風險一般會以遞減的速率下降。1.除非投資組合包含了至少30只以上的個股，分散化降低風險的好處不會充分地發(fā)揮出來。.練習 下面哪一種投資組合不屬于馬克維茲描述的有效邊界？期望收益標準差A15%36%B12%15%C5%7%D9%21%.練習 假設(shè)證券市場有很多股票，股票A和股票B的特性如下： 假設(shè)投資者可以以無風險收益率rf借款。則rf的值為多少？股票期望收益標準差A10%5%B15%10%相關(guān)系數(shù)=-1.練習 股票提供的期望收益率為18%，標準差為22%。黃金提供的期望