小學(xué)奧數(shù)4-5-1長方體與正方體(一).專項練習(xí)及答案解析

1、長方體與正方體（一）49對于小學(xué)幾何而言， 立體圖形的表面積和體積計算，既可以很好地考查學(xué)生的空間想所以，很多重要考試都象能力，又可以具體考查學(xué)生在公式應(yīng)用中處理相關(guān)數(shù)據(jù)的能力, 很重視對立體圖形的考查."皿4 例題精講如右圖，長方體共有六個面 （每個面都是長方形），八個頂點，十二條棱.EAC在六個面中，兩個對面是全等的，即三組對面兩兩全等.（疊放在一起能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形.）長方體的表面積和體積的計算公式是：長方體的表面積：S長方體=2（ab +bc +ca）;長方體的體積：V長方體=abc.正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個面都是正方形.如果它的棱

2、長為a ,那么：S正方體=6a2, V正方體=a3 -板塊一長方體與正方體的表面積【例1】右圖中共有多少個面？多少條棱？后面【考點】長方體與正方體【難度】1星【題型】解答【解析】如右圖所示，可以分前、后、左、右、上、下六個方向看這個立體圖形.前、后看各有1個面，左面看有1個面，右面看有2個面，上面看有2個面，下面看有 1個面.所以共有1+1+1+2+2+1 =8（個）面.前后方向的棱有 6條，左右方向 的棱有6條，上下方向的棱也有 6條，所以共有棱6+6 + 6 =18（條）.【答案】8個面，18條棱【鞏固】右圖中共有多少個面？多少條棱?【考點】長方體與正方體【難度】1星【題型】解答【解析】9

3、個面，21條棱.【答案】9個面，21條棱例2如右圖，在一個棱長為 10的立方體上截取一個長為 8,寬為3,高為2的小長方體，那么新的幾何體的表面積是多少？【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】解答【解析】我們從三個方向（前后、左右、上下）考慮，新幾何體的表面積仍為原立方體的表面積：10父10父6=600.【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】解答【答案】600【鞏固】在一個棱長為 50厘米的正方體木塊，在它的八個角上各挖去一個棱長為5厘米的小正方體，問剩下的立體圖形的表面積是多少？【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】解答【解析】對于和長方體相關(guān)的立體圖形表面積，一般從上下、左右、

4、前后3個方向考慮.變化前后的表面積不變： 50 m 50m 6 = 15000（平方厘米）.【答案】15000【例3】如右圖，有一個邊長是 5的立方體，如果它的左上方截去一個邊分別是 5, 3, 2 的長方體，那么它的表面積減少了多少 ？【解析】 原來正方體的表面積為 5 M 5M 6 =150.現(xiàn)在立體圖形的表面積減少了前后兩個面中的部分面，它們的面積為 （3M2）父2=12,所以減少的面積就是 12.【答案】12例4如圖，有一個邊長是 5的立方體，如果它的左上方截去一個邊分別是5, 3, 2的長方體，那么它的表面積減少了百分之幾？【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】奧林

5、匹克，初賽， 10題【解析】 原來正方體的表面積為5 X 5X6=150,現(xiàn)在立體圖形的表面積截了兩個面向我們的側(cè)面，它們的面積為（3 X 2） X 2=12, 12+ 150=0.08=8 %.即表面積減少了百 分之八.【答案】百分之八例5右圖是一個邊長為 4厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置 挖去一個邊長l厘米的正方體，做成一種玩具.它的表面積是多少平方厘米 （圖中只畫出了前面、右面、上面挖去的正方體）【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】解答【解析】原正方體的表面積是 4 M4父6 =96（平方厘米）.每一個面被挖去一個邊長是1厘米的正方形，同時又增加了 5個邊長是1

6、厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分.總的來看，每一個面都增加了4個邊長是1厘米的正方形.從而，它的表面積是：96+4父6=120平方厘米.【答案】120【例6】如圖，有一個邊長為 20厘米的大正方體，分別在它的角上、棱上、面上各挖掉一個大小相同的小立方體后，表面積變?yōu)?454平方厘米，那么挖掉的小立方【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】解答【解析】 大立方體的表面積是 20 M 20 M 6 =2400平方厘米.在角上挖掉一個小正方體后，外面少了 3個面，但里面又多出3個面；在棱上挖掉一個小正方體后，外面少了2個面，但里面多出 4個面；在面上挖掉一個小正方體后，外面少了 1個面，但

7、里面多出5個面.所以，最后的情況是挖掉了三個小正方體， 反而多出了 6個面, 可以計算出每個面的面積： （2454 -2400） +6=9平方厘米，說明小正方體的棱長是3厘米.【答案】3【例7】下圖是一個棱長為 2厘米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個棱長1為1厘米的正萬體小侗， 接著在小侗的底面正中向下挖一個棱長為，厘米的正2方形小洞，第三個正方形小洞的挖法和前兩個相同為1厘米，那么最后得到的4立體圖形的表面積是多少平方厘米?【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】我們?nèi)匀粡?個方向考慮.平行于上下表面的各面面積之和：2父2父2=8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2父

8、2父4 = 16（平方厘米），1父1父4 = 4（平方厘米），-K - M4 =1（平方厘米）,-X 1 44 = -（平方厘米），這個立體圖形的表面積22444為：8+16 +4+1+1 =29-（平方厘米）.44【答案】2914【例8】從一個棱長為10厘米的正方形木塊中挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少？（寫出符合要求的全部答案）【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】小學(xué)生數(shù)學(xué)報【解析】按圖1所示沿一條棱挖，為 592平方厘米；按圖2所示在某一面上挖，為 632平方厘米；按圖3所示在某面上斜著挖，為 648平方厘米；按圖4所示挖通兩個

9、對面，為 672平方厘米.【答案】按圖1所示沿一條棱挖，為 592平方厘米;按圖2所示在某一面上挖，為632平方厘米;按圖3所示在某面上斜著挖，為648平方厘米;按圖4所示挖通兩個對面，為672平方厘米.1、 2、 3、 4、【例9】一個正方體木塊，棱長是15.從它的八個頂點處各截去棱長分別是5、6、7、8的小正方體.這個木塊剩下部分的表面積最少是多少?【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯【解析】截去一個小正方體，表面積不變，只有在截去的小正方體的面相重合時，表面積才會減少，所以要使木塊剩下部分的表面積盡可能小，應(yīng)該在同一條棱的兩端各截去長7與8的小正方體（如圖所示）

10、，這時剩下部分的表面積比原正方體的表 面積減少最多.剩下部分的表面積最小是：15 M15M6_7m7m2 = 1252.想想為什么不是 15x15x6-7x7 -8x8 ?【答案】1252【例10】從一個長8厘米、寬7厘米、高6厘米的長方體中截下一個最大的正方體（如卜圖），剩下部分的表面積之和是 平方厘米.【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【解析】 可以將這個圖形看作一個八棱柱，表面積和為：（8 77 -6 父6）父2 +6 父（1 +6+6 +6+1 +7 +8 + 7） =292（平方厘米）.也可以這樣想：由于截去后原來的長方體的表面少了3個6M6的正方形，而新圖形凹進(jìn)去的部分

11、恰好是3個6 M6的正方形，所以新圖形的表面積與原圖形的表面積相等，為（8父7+8父6+7父672 =292（平方厘米）.【答案】292【鞏固】一個長、寬、高分別為 21厘米、15厘米、12厘米的長方形，現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大的切下一個正方體，剩下的體積是多少平方厘米？【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】 本題的關(guān)鍵是確定三次切下的正方體的棱長.由于21:15 :12 =7:5:4 ,為了方便起見.我們先考慮長、寬、高分別為7厘米、5厘米、4厘米的長方體.因為7 >5 >4

12、, 容易知道第一次切下的正方體棱長應(yīng)該是4厘米（如圖），第二次切時，切下棱長為3厘米的正方體符合要求.第三次切時，切下棱長為2厘米的正方體符合要求.剩下的體積應(yīng)是21父15父12 （123 +93 +63 ）=1107 （平方厘米）.【答案】1107【例11一個正方體木塊，棱長是 1米，沿著水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成3長條，每條又鋸成4小塊，共得到大大小小的長方體24塊，那么這24塊長方體的表面積之和是多少？【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】 鋸一次增加兩個面，鋸的總次數(shù)轉(zhuǎn)化為增加的面數(shù)的公式為：鋸的總次數(shù)父2 =增加的面數(shù).原正方體表面積：1 M1父6=6（平方米）

13、，一共鋸了（2 1） +（3 1） +（4 1） =6次，6 +1 M1 M2M6 =18（平方米）.【答案】18【鞏固】如右圖，一個正方體形狀的木塊，棱長 l米，沿水平方向?qū)⑺彸?3片，每片 又鋸成4長條，每條又鋸成 5小塊，共得到大大小小的長方體60塊.那么，這60塊長方體表面積的和是多少平方米？【考點】長方體與正方體【題型】解答【難度】3星【解析】我們知道每切一刀，多出的表面積恰好是原正方體的 2個面的面積.現(xiàn)在一共切 了（3 1） +（4 1） +（5 1） =9刀，而原正方體一個面的面積 1 Ml =1（平方米）， 所以表面積增加了 9x2x1 =18（平方米）.原來正方體的表面積

14、為 6M 1 = 6（平方 米），所以現(xiàn)在的這些小長方體的表積之和為6 + 18=24（平方米）.【答案】24【鞏固】一個表面積為56cm2的長方體如圖切成 27個小長方體，這27個小長方體表面積 的和是 cm2 .【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，六年級，初賽【解析】每一刀增加兩個切面，增加的表面積等于與切面平行的兩個表面積，所以每個方向切兩刀后，表面積增加到原來的3倍，即表面積的和為 56M3=168（cm2）.【答案】168【例12】右圖是一個表面被涂上紅色的棱長為10厘米的正方體木塊，如果把它沿虛線切成8個正方體，這些小正方體中沒有被涂上紅色的所有表面的面

15、積和是多少平方厘米？【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】10父10 M 6 =600（平方厘米）.【答案】600【例13】有n個同樣大小的正方體，將它們堆成一個長方體，這個長方體的底面就是原正方體的底面.如果這個長方體的表面積是3096平方厘米，當(dāng)從這個長方體的頂部拿去一個正方體后，新的長方體的表面積比原長方體的表面積減少144平方厘米，那么n為多少？【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】由于堆成的長方體的底面就是原來正方體的底面，說明這個長方體是由這些正方體一字排開組成的，從這個長方體的頂部拿去一個正方體，減少的面積相當(dāng)于側(cè)面的四個正方形的面積，所以正方體每

16、個面的面積是144士4=36(平方厘米).所堆成的長方體的表面積，包含底面的2個正方形和側(cè)面的4n個正方形，所以n =(3096 -36 父2) -144 =21 .【答案】21【例14】邊長分另1J是3、5、8的三個正方體拼在一起， 在各種拼法中，表面積最小多少？【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】三個正方體兩兩拼接時， 最多重合3個正方形面，其中邊長為3的正方體與其它 兩個正方體重合的面積不超過邊長為3的正方形，邊長為5和邊長為8的正方體的重合面面積不超過邊長為5的正方形，三個正方形表面積和為 633 6 55 688 -2 233 -2 5 5 =502.【答案】502

17、【例15如圖，25塊邊長為1的正方體積木拼成一個幾何體，表面積最小是多少?【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】當(dāng)小積木互相重合的面最多時表面積最小.設(shè)想27塊邊長為1的正方形積木，當(dāng)拼成一個 3M3M3的正方體時，表面積最小，現(xiàn)在要 去掉2塊小積木，只有在兩個角上各去掉一塊小積木， 或在同一個角去掉兩塊相鄰的積木 時，表面積不會增加，該幾何體表面積為 54.【答案】54【例16】由六個棱長為1的小正方體拼成如圖所示立體，它的表面積是 【考點】長方體與正方體【難度】3星【關(guān)鍵詞】走美杯，4年級，決賽，第3題，8分【解析】 三視圖法：表面積為：(4+5+4 )x2 =26【答案】

18、26【題型】填空【例17】將15個棱長為1的正方體堆放在桌子上，噴上紅色后再將它們分開。涂上紅色的部分，面積是()平方厘米【考點】長方體與正方體【難度】3星【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽，第12題【解析】注意底面放在桌子上，不能被染到。從上向下看有【題型】填空10個：從左向右看有 6個;從前向后看有7個。因此被染色的面有10+(6+7產(chǎn)2 =36個面【答案】36【例18】用6塊右圖所示(單位：cmj的長方體木塊拼成一個大長方體，有許多種拼法,其中表面積最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米?【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答【解析】要使表面積最小，需重疊的面積最大，如圖的拼接方式

19、新的長方體長為5 ,寬為4,高為3,所以表面積為(3父4+3黑3+3黑4)父2 =66(cm2);要使表面積最大 需重疊的面積最小，如圖所示，長為 18,寬為2,高為1 ,所以最大的表面積 為(18 1 18 2 1 2) 2 =112(cm2)【答案】112【鞏固】用10塊長5厘米，寬3厘米，高7厘米的長方體積木堆成一個長方體，這個長 方體的表面積最小是多少 ？【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答【解析】教師可以先提問：這個長方體的表面積最大是多少？為使表面積最大，要盡量保證10x2個7義5的面成為表面，想要做到這點很容易，只需將7 M 5面做底面，而后將10個長方體連排，銜接的面

20、選用3 M 5的面（銜接的面將不能成為表面積 ）， 這樣得到的長方體表面積最大.同樣要想最小，可把 7N5面做銜接的面，可得到 10個長方體的連排，但此時我們還可以 再制造出銜接面，如圖：此時增加了2個5X7的面，減少了 10個3X7的面，總體來講表面積減少了.表面積是：2父（7 M15+15M10+10M7） =650（平方厘米），所以這就是最小的表面積.【例19】要把12件同樣的長a、寬b、高h(yuǎn)的長方體物品拼裝成一件大的長方體，使打包后表面積最小，該如何打包？當(dāng)b=2h時，如何打包？當(dāng)b<2h時，如何打包？當(dāng)b2h時，如何打包？【考點】長方體與正方體【難度】5星【題型】解答【解析】圖

21、2和圖3正面的面積相同，側(cè)面面積=正面周長父長方體長，所以正面的周長 愈大表面積越大，圖 2的正面周長是 8h+6b,圖3的周長是12h+4b.兩者的周 長之差為2 (b-2h).當(dāng)b=2h時，圖2和圖3周長相等，可隨意打包；當(dāng)b<2h時，按圖2打包；當(dāng)b2h時, 按圖3打包.【答案】當(dāng)b=2h時，圖2和圖3周長相等，可隨意打包;當(dāng)b<2h時，按圖2打包；當(dāng)b>2h時，按圖3打包.圖3【鞏固】要把6件同樣的長17、寬7、高3的長方體物品拼裝成一件大的長方體，表面積最小是多少?【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答【解析】考慮所有的包裝方法，因為 6 = 1父2父3,所

22、以一共有兩種拼接方式:第一種按長寬高1父1父6拼接，重疊面有三種選擇，共3種包裝方法.第二種按長寬高1父2黑3拼接，有3個長方體并列方向的重疊面有三種選擇，有 2個長方體并列方向的重疊面剩下 2種選擇，一共有6種包裝方法.其中表面積最小的包裝方法如圖所示，表面積為1034.【答案】1034【例20如圖，把正方體用兩個與它的底面平行的平面切開，分成三個長方體，這三個長方體的表面積比是3: 4: 5時，用最簡單的整數(shù)比表示這三個長方體的體積比:【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級，第 11題【解析】體積比為3:8:13【答案】3:8:134分米的小正方體，求

23、這【例21如圖，在一個棱長為 5分米的正方體上放一個棱長為個立體圖形的表面積.【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】我們把上面的小正方體想象成是可以向下“壓縮”的，“壓縮”后我們發(fā)現(xiàn)：小正方體的上面與大正方體上面中的陰影部分合在一起，正好是大正方體的上面.這樣這個立體圖形的表面積就可以分成這樣兩部分：上下方向：大正方體的兩個底面；四周方向（左右、前后方向）：小正方體的四個側(cè)面，大正方體的四個側(cè)面.上 下方向：5x5x2=50 （平方分米）；側(cè)面：5x5x4=100 （平方分米）， 4M4M4 =64（平方分米）.這個立體圖形的表面積為：50+100+64=214（平方分米）.【

24、答案】214【鞏固】如右圖所示，由三個正方體木塊粘合而成的模型，它們的棱長分別為1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方體的下面不涂油漆，則模型涂刷油漆的面 積是多少平方米？【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】該圖形從前、后、左、右四面觀察到的面積都是12 +22 +42 =21平方米，從上面觀察到的面積是 42 =16平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面積是 21父4+16 =100平方米.【答案】100【例22如圖，棱長分別為1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四個正方體緊貼在一起,則所得到的多面體的表面積是平方厘米.【難度】3星【考點】長方體與正方體【題型】填空

25、【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，復(fù)賽，第 7題，5分【解析】（法1）四個正方體的表面積之和為：（12 + 22 + 32 + 52）x6 = 39父6 =234（平方厘米），重 疊 部 分 的面 積 為：2222222221 m3+（2 m2+1 ）+（3 +2 +1）+（3 +2 +1 ） =3+9+14+14 =40 （平萬厘米），所以，所得到的多面體的表面積為：234 -40 =194 （平方厘米）.（法2）三視圖法.從前后面觀察到的面積為52 + 32 + 22 = 38平方厘米，從左右兩個面觀察到的面積為52 +32 =34平方厘米，從上下能觀察到的面積為52 =25平方厘米.表面積為（3

26、8 +34 +25爐2 =194 （平方厘米）.【答案】194【例23如圖，用若干個體積相同的小正方體堆積成一個大正方體，要使大正方體的對 角線（正方體八個頂點中距離最遠(yuǎn)的兩個頂點的連線）穿過的小正方體都是黑 色的，其余小正方體都是白色的，并保證大正方體每條邊上有偶數(shù)個小正方體。當(dāng)堆積完成后，白色正方體的體積占總體積的93.75%,那么一共用了多少個黑色的小正方體？【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，復(fù)賽，第 18題，10分【解析】白色正方體的體積占總體積的93.75%,即占整個的 ,白色正方體與黑色正方16體之比為：1: 15,觀察可知，每一層黑色正方體有

27、4個，則白色正方體有 60個，所以每一層共有 64個正方體，則正方體的邊長為1,則共有8層，所以一共用了 4X8=32個小的黑色的正方體。【答案】32【例24】邊長為1厘米的正方體，如圖這樣層層重疊放置，那么當(dāng)重疊到第5層時，這個立體圖形的表面積是多少平方厘米?【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】 這個圖形的表面積是俯視面、左視面、正視面得到的圖形面積的 2倍.該立體圖形的上下、左右、前后方向的表面面積都是15平方厘米，該圖形的總表面積為90立方厘米.【答案】90【鞏固】按照上題的堆法一直堆到 N層(N >3),要想使總表面積恰好是一個完全平方數(shù)，則N的最小值是多少？【

28、考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答【解析】每增加一層，每一個“大面”就增加到N(N +1)個小面，總表面積是 6個“大2面”，所以就增加到3N(N +1)個小面，幾何題變成數(shù)論題，問題轉(zhuǎn)化為“3N(N+1) 是一個完全平方數(shù)， N的最小值是幾(N >3)? ”因為N和N +1互質(zhì)，所以N和N +1必須有一個是完全平方數(shù)，一個是平方數(shù)的3倍，但N +1不能是平方數(shù)的3倍，因為如果 N+1是平方數(shù)的3倍，設(shè)N+1=3n2, N =3n2 -1此時N被3除余2,不可能是完全平方數(shù)，所以 N是平方數(shù)的3倍，N +1是完全平方數(shù)，開 始試驗：當(dāng)N =3父12 =3,不符合題意；當(dāng)N =3

29、父22 =12 , N +1 =13 ,不是完全平方數(shù)；當(dāng)N =3父32 =27 , N +1 =28 ,不是完全平方數(shù)； 2當(dāng)N=3M4 =48, N +1=49,是完全平方數(shù)， 所以N的最小值是48,即堆到第48層時，總表面積是完全平方數(shù)，為 3 48 49 =842.【答案】48【例25】把19個棱長為1厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個立體圖形.，求這個立體圖形的表面積.【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答【解析】 從上下、左右、前后觀察到的的平面圖形如下面三圖表示.因此，這個立體圖形的表面積為：2個上面42個左面+2個前面.上表面的面積為：9平方厘米，左表面的面

30、積為：8平方厘米，前表面的面積為：10平方厘米.因此，這個立體圖 形的總表面積為：(9 +8+10) m2 =54(平方厘米).【鞏固】用棱長是 1厘米的立方塊拼成如右圖所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米？【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 12題【解析】該圖形的上、左、前三個方向的表面分別由9、7、7塊正方形組成.該圖形的表面積等于(9 +7 +7)父2 =46個小正方形的面積，所以該圖形表面積為46平方厘米.【答案】46【例26現(xiàn)有一個棱長為1厘米的正方體，一個長寬為1厘米高為2厘米的長方體,個長寬為1厘米高為3厘米的長方體.下列圖形是把這

31、五個圖形合并成某一立 體圖形時，從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形.試?yán)孟旅嫒齻€圖形把合并成 的立體圖形（如例）的樣子畫出來，并求出其表面積.例：上【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答【解析】 從前面看到的和從側(cè)面看到的圖形都只有3層，說明疊成白圖形只有 3層.從上面看到的圖形中可以確定2個高為3厘米的長方體的位置， 一個水平方向，一個豎直方向，再從前面和側(cè)面的圖形可以看出這兩個長方體都在第1層；從而可以確定另一個高為3厘米的長方體及其它兩個圖形的位置，可得立體圖形的形狀如下圖所示.從上面和下面看到的形狀面積都為9平方厘米，共18平方厘米;從兩個側(cè)面看到的形狀面積都為7平方厘米，共14

32、平方厘米；從前面和后面看到的形狀面積都為6平方厘米，共12平方厘米;隱藏著的面積有2平方厘米.一共有18七4十12+2 =46（平方厘米）.【答案】461厘米的小正方體，其中【例27】將一個表面積涂有紅色的長方體分割成若干個棱長為一面都沒有紅色的小正方形只有3個，求原來長方體的表面積是多少平方厘米？【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】清華附中，培訓(xùn)題【解析】 長：3+1 +1 =5厘米；寬：1+1 +1=3厘米；高：1 +1+1=3厘米；所以原長方體的表面積是：（3w5+3父5十3父3） 3v2 = 78平方厘米.【答案】78【例28】有30個邊長為1米的正方體，在地面上擺

33、成右上圖的形式，然后把露出的表 面涂成紅色.求被涂成紅色的表面積.【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】4X4 +（1+2+3+4）X4 =56（平方米）.【答案】56【例29】有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如下圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為 2,且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積 ）超過39,則該塔形中正方體的 個數(shù)至少是.【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【解析】此幾何體不論有多少層，其上、下表面積是固定不變的，為2父2+2父2=8,它的每個側(cè)面的面積應(yīng)該超過（39 _8廣4 =7.7

34、5 .最底層的正方體的單個側(cè)面面積為2x2=4,往上依次為2, 1, 1 , 1 ,241 1刖五層正萬體的單個側(cè)面面積和為4 +2 +1 +- +- =7.75 ,2 4所以要想超過7.75,至少應(yīng)該是6個.【答案】6【例30如圖，這是一個用若干塊體積相同的小正方體粘成的模型.把這個模型的表面（包括底面）都涂成紅色，那么，把這個模型拆開以后，有三面涂上紅色的小正 方體比有兩面涂上紅色的小正方體多塊.【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空【解析】 三面涂上紅色的小正方體有：4X2+5X4 =28個，兩面涂上紅色的小正方體有:3X4 +1父4=16 個，所以三面涂紅色的比兩面涂紅色的多2

35、8 -16 =12塊.【答案】12【例31】小明用若干個大小相同的正方體木塊堆成一個幾何體，這個幾何體從正面看如圖1所示，從上面看如圖 2,那么這個幾何體至少用了 塊木塊.圖2【題型】填空【考點】長方體與正方體【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，復(fù)賽， 9題【解析】這道題很多同學(xué)認(rèn)為答案是26塊.這是受思維定勢的影響，認(rèn)為圖2中每一格都要至少放一塊.其實，有些格不放，看起來也是這樣的.如下圖，帶陰影的3塊不放時，小正方體塊數(shù)最少，為23次.條【答案】23塊【例32】小明用若干個大小相同的正方體木塊堆成一個幾何體，這個幾何體從正面看如圖2所示，從上面看如圖 3所示，那么這個幾何體至少用了 塊木塊.【考點】

36、長方體與正方體【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級，初賽， 7題【解析】 這道題很多同學(xué)認(rèn)為答案是 31塊.這是受思維定勢的影響，認(rèn)為圖2中每一格都要至少放一塊.其實，有些格不放，看起來也是這樣的.如圖5,帶陰影的5塊不放時，小正方體塊數(shù)最少，為26塊.圖5【答案】26塊【例33】右圖是4 M5 M6正方體，如果將其表面涂成紅色，那么其中一面、二面、三面被涂成紅色的小正方體各有多少塊？/ ¥ / / # / / X / / / /【考點】長方體與止方體【解析】三面涂紅色的只后【難度】3星【題型】解答8個頂點處的8個立方體；兩面涂紅色的在棱長處，共(4 _2) 4 (5 _

37、2) 4 (6 _2) 4 =36塊；一面涂紅的表面中間部分：(4 _2) (5 _2) 2 (4 _2) (6 _2) 2 (5 _2) (6 _2) 2=52塊.【答案】52【例34】一個長方體，六個面均涂有紅色，沿著長邊等距離切5刀，沿著寬邊等距離切4刀，沿著高邊等距離切 n次后，要使各面上均沒有紅色的小方塊為24塊，則n的取值是.【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【解析】 沿著長邊等距離切 5刀，可切為5+1=6塊；沿著寬邊等距離切4刀，可切為4+1=5塊；沿著高邊等距離切 n刀，可切為n+1塊.由題意可知，長方體每一 個面的外層是涂有1面(或2面、或3面)的小方塊，所以，

38、各面均沒有紅色的小 方塊共(6 -2)x(5 -2)x(n +1 -2) =12(n 1)個，因各面均沒有紅色的小方塊為24塊，所以，12(n -1) =24 ,解得 n =3 .【答案】3【例35棱長是m厘米(m為整數(shù))的正方體的若干面涂上紅色，然后將其切割成棱長是1厘米的小正方體.至少有一面紅色的小正方體個數(shù)和表面沒有紅色的小正 方體個數(shù)的比為13:12 ,此時m的最小值是多少？【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】切割成棱長是1厘米的小正方體共有 m3個，由于其中至少有一面是紅色的小正 方體與沒有紅色面的個數(shù)之比為13:12 ,而13+12 =25 ,所以小正方體的總數(shù)是

39、25的倍數(shù)，即m3是25的倍數(shù)，那么 m是5的倍數(shù).當(dāng)m=5時，要使得至少有一面的小正方體有65個，可以將原正方體的正面、上面和下面涂色，此時至少一面涂紅色的小正方體有5X5+5父4父2=65個，表面沒有紅色的小正方體有125 -65 =60個，個數(shù)比恰好是13:12 ,符合題意.因此，m的最小值是5.【答案】5【例36】有64個邊長為1厘米的同樣大小的小正方體，其中34個為白色的，30個為黑色的.現(xiàn)將它們拼成一個 4M4M4的大正方體，在大正方體的表面上白色部分 最多可以是多少平方厘米？【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】要使大正方體的表面上白色部分最多，相當(dāng)于要使大正方體

40、表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方體盡量不露出來.在整個大正方體中，沒有露在表面的小正方體有（4_2）3=8（個），用黑色的；在面上但不在邊上的小正方體有 （4 2）2父6 =24（個），其中308=22個用黑色.這樣，在表面的4M4父6=96個1父1的正方形中，有22個是黑色，96 22 =74 （個）是白色, 所以在大正方體的表面上白色部分最多可以是74平方厘米.【答案】74【例37】一個長方體的長是12厘米，寬10厘米，高也是整厘米數(shù)，在它的表面涂滿顏 色后，截成棱長是1厘米的小正方體，其中一面有色的小正方體有448個.求原來長方體的體積與表面積.【考點】長方體與正方體【難度】3

41、星【題型】解答【解析】先求出長方體的高，再求其體積和表面積.設(shè)長方體的高為h厘米，則按題意截成 的 一 面 有 色 的 小 正 方 體 有-10 h 22h-1予 2 2個，因為h 2+2-面有色的小正方體有 448個，所以，88 +36h =448 ,解得h =10 .所以，長方體的體積為12x10x10=1200立方厘米，表面積為（12 父10 +12 X10 +10X10 不2 =680 平方厘米.【答案】體積1200,表面積是680【例38】將一個棱長為整數(shù)分米的長方體6個面都涂上紅色，然后把它全部切成棱長為1分米的小正方體.在這些小正方體中，6個面都沒有涂紅色的有 12塊，僅有兩個面

42、涂紅色的有 28塊，僅有一個面涂紅色的有 塊，原來長方體的 體積是 立方分米.【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空【解析】先考慮6個面都沒有涂紅色的正方體，它們最初是位于原長方體的“芯” （就是 去掉長方體各面最外面一層后剩下的小長方體）內(nèi)的正方體，共有 12塊，所以 12就是這個“芯”的長、寬、高（各比原來長方形的長、 寬、高小2）的乘積.而 12分拆成3個整數(shù)的乘積只有 4種情況：1M1M12 1父2M61x3x42M2M3；再看兩面涂紅的小正方體. 兩面涂紅的小正方體就是最初位于長方體的棱上除了頂角處的那些小正方體，它們的個數(shù)和恰好是“芯”的長、寬、高之和的4倍.由于這樣的小正

43、方體共有28塊，所以“芯”的長、寬、高之和為28 + 4=7;符合條件的只有2+2+3 =7 ,所以“芯”為2M2M3的長方體，原來的長方體是4M4M5的長方體.一面涂紅的長方體就是最初位于長方體各個面中間部分的長方體，它們的數(shù)量為:（2x2+2父3+2父3泮=32 （個），原來長方體的體積為：4x4x5=80 （立方分米）.【答案】一面涂色的有 32塊，長方體的體積是 80立方分米例39右圖是由27塊小正方體構(gòu)成的 3 m3 m3的正方體.如果將其表面涂成紅色， 則在角上的8個小正方體有三面是紅色的， 最中央的小方塊則一點紅色也沒有， 其余18塊小方塊中，有 12個兩面是紅的，6個一面是紅的

44、.這樣兩面有紅色 的小方塊的數(shù)量是一面有紅色的小方塊的兩倍，三面有紅色的小方塊的數(shù)量是一點紅色也沒有的小方塊的八倍.問：由多少塊小正方體構(gòu)成的正方體，表面 涂成紅色后會出現(xiàn)相反的情況，即一面有紅色的小方塊的數(shù)量是兩面有紅色的 小方塊的兩倍，一點紅色也沒有的小方塊是三面有紅色的小方塊的八倍？【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【解析】 對于由n3塊小正方體構(gòu)成的 nxnxn正方體，三面涂有紅色的有 8塊，兩面涂有紅色的有12 m （n2）塊，一面涂有紅色的有 6x（n2）2塊，沒有涂色的有（n2）3塊.由題設(shè)條件，一點紅色也沒有的小方塊是三面涂有紅色的小方塊的八倍，即3（n -2） =

45、8X8,解得 n=6.【答案】216【例40有6個相同的棱長分別是 3厘米、4厘米、5厘米的長方體，把它們的某些面 染上紅色，使得有的長方體只有1個面是紅色的，有的長方體恰有2個面是紅色的，有的長方體恰有 3個面是紅色的，有的長方體恰有 4個面是紅色的，有 的長方體恰有5個面是紅色的，還有一個長方體6個面都是紅色的，染色后把所有長方體分割成棱長為 1厘米的小正方體.分割完畢后，恰有一面是紅色的 小正方體最多有多少個？【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽， 決賽） 4題【解析】一面染紅的長方體，顯然應(yīng)將 4父5的長方體染紅，這時產(chǎn)生 20個一面染成紅色 的小正方體，個數(shù)

46、最多.二面染紅的長方體，顯然應(yīng)將兩個4x5的長方體染紅，這時產(chǎn)生 40個一面染成紅色的小正方體，個數(shù)最多.三面染紅的長方體， 顯然應(yīng)將4x5 , 4x5 , 4父3的面染紅，于是產(chǎn)生4x(5 +5 + 3-4) =36 個一面染成紅色的小正方體，其他方法得出的一面染成紅色的正方體均少于36個.四面染紅的長方體，顯然應(yīng)將4父5, 4x5 , 4x3 , 4M3的面染紅，產(chǎn)生 4黑(5 +5+3 +3-2黑4) =32個一面染成紅色的正方體，其他方法得到的一面染成紅色的小正方體均少于32個.五面染紅的長方體，應(yīng)只留一個3父5的面不染，這時就產(chǎn)生(3 -2)父(5 -2) +(4 -1)x(5 +5

47、+3 +3 -2x4) =27個一面染成紅色的小正方體，其他染法得到的一面染成紅色的小正方體均少于27 .六面染紅的長方體，產(chǎn)生 2Ml(32)父(52) +(5 -2)x(4 -2) +(4 2)父(3 2) =22個一面 染成紅色的小正方體.于是最多得到22+27 +32 +36 +40 +20 =177個一面染成紅色的小正方體.【答案】177【例41】三個完全一樣的長方體，棱長總和是288厘米，每個長方體相交于一個頂點的三條棱長恰是三個連續(xù)的自然數(shù)，給這三個長方體涂色，一個涂一面，一個涂 兩面，一個涂三面.涂色后把三個長方體都切成棱長為1厘米的小正方體，只有一個面涂色的小正方體最少有多少

48、個？【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答【解析】每個長方體的棱長和是 288+3 =96厘米，所以，每個長方體長、寬、高的和是96 T4 =24厘米.因為，每個長方體相交于一個頂點的三條棱長恰是三個連續(xù)的 自然數(shù)，所以，每個長方體的長、寬、高分別是9厘米、8厘米、7厘米.要求切割后只有一個面涂色的小正方體最少有多少個，則需每一個長方體按題意涂色時，應(yīng)讓切割后只有一個面涂色的小正方體最少.所以，涂一面的長方體應(yīng)涂一個8乂7面，有 8 M7=56 個；涂兩面的長方體，若兩面不相鄰，應(yīng)涂兩個8M7面，有8父7父2=112個；若兩面相鄰，應(yīng)涂一個8M7面和一個9M7面，此時有7M(8+92)

49、 = 105個，所以涂兩面的最少有 105個； 涂三面的長方體，若三面不兩兩相鄰，應(yīng)涂兩個8M7面、一個9M7面，有 7秋8+8+9-4 =1 47個 ； 若 三 面 兩 兩 相 鄰， 有 (7 1/(8 1 )+(7 1尸(9 1 )+(81卜(9 1 )=146個，所以涂三面的最少有 146個.那么切割后只有一個面涂色的小正方體最少有56 +105 +146 =307個.【答案】307【例42】有125個同樣大小的正方體木塊，木塊的每個面的面積均為1平方厘米，其中63個表面涂上白色，還有 62個表面涂上藍(lán)色。將這 125個正方體木塊粘在一 起，形成一個棱長為 5厘米大正方體木塊。這個大正方

50、體木塊的表面上，藍(lán)色 的面積最多是 平方厘米?！究键c】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，第 10題【解析】8個頂點上的正方體木塊表面積是3平方厘米，棱上的正方體木塊表面積是2平方厘米，面上的正方體木塊表面積是1平方厘米，所以要先在頂點和棱上放藍(lán)色的正方體木塊，剩下的放在面上，不放在內(nèi)部，藍(lán)色的面積最多是 3X 8+2X （5-2） X 12+1 X （ 62-8-36 ） =114 平方厘米.【答案】114【例43】有100個棱長為1厘米的正方體木塊，表面均為白色，還有25個棱長為1厘米的正方體木塊，表面均為藍(lán)色。將這125個正方體木塊粘在一起，形成一個大正

51、方體。大正方體的表面為白色的面積至少是 平方厘米。【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級，初賽， 8題【解析】 將藍(lán)色正方體盡量依次往角上、棱上放，因為這三個位置上的正方體的裸露表面有3、2塊。這二個位置上的正方體依次有8、（5-1-1 ） X 12=36個.所以25個正方體在角上放8個，棱上放17個，那么所占的表面積有 8X3+17X2=58塊.白色 面積為150-58=92塊，即92平方厘米.【答案】92例44 64個同樣大小的小正方體，其中34個為白色的，30個為黑色的。現(xiàn)將它們拼成一個4X 4X4的大正方體，在大正方體的表面上白色部分的面積與黑色部分 的

52、面積之比最大為?！究键c】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級，決賽，第6題，10分【解析】 沒有露在表面的小正方體有（4-2） 2 =8（個），用黑色的。在面上但不在邊上的小 正方體有（4-2） 2X6=24（個），其中22個用黑色。這樣，在表面的4X4X 6=96（個） 小正方形中，22個是黑色，96-22=74（個）是白色，白色與黑色的面積比為74:22 =37:11 ?！敬鸢浮?7:11【例45】將16個相同的小正方形拼成一個體積為16平方厘米的長方體，將表面涂漆，然后分開，結(jié)果，其中 2面涂漆的小正方體有 8個，那么3面涂漆的小正方體 有 個，4面涂漆的小正方

53、體有 個?！究键c】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，復(fù)賽，第 12題，5分【解析】16=1 X 1 X 16=1X 2X 8=1 X 4X 4=2X 2X 4,其中只有2X2X4的長方體有8個小 正方體2面涂漆，它的3面小正方體有8個(8個角)，沒有4面都涂漆的.【答案】三面涂漆的有 8個，無四面涂漆的【例46】把一個大長方體木塊表面上涂滿紅色后，分割成若干個同樣大小的小正方體， 其中恰好有兩個面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，那么至少要把這個大長方體分割成多少個小正方體？【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答【解析】設(shè)小正方體的棱長為1,考慮兩種不同的

54、情況，一種是長方體的長、寬、高中有 一個是1的情況，另一種是長方體的長、寬、高都大于1的情況.當(dāng)長方體的長、寬、高中有一個是1時，分割后只有一層小正方體，其中有兩個面涂上紅色的小正方體是去掉最外層一圈的小正方體后剩下的那些.因為有兩個面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，設(shè)100 =axb ,那么分成的小正方體個數(shù)為(a +2 y (b +2 y<1 =ab+2(a +b )+4 =2(a+b )+104 ,為了使小正方體的個數(shù)盡量少，應(yīng)使(a+b版小，而兩數(shù)之積一定，差越小積越小，所以當(dāng)a =b =10時它們的和最小，此時共有(10 +2戶(10 +2 )=144個小正方體.當(dāng)長方體的長、寬、高都大于1時，有兩個面涂上紅色的小正方體是去掉 8個頂點所在的 小正方體后12條棱上剩余的小正方體，因為有兩個面涂上紅色的小正方體恰好是100塊,所以長方體的長、寬、高之和是100+4+2X3=31.由于