運(yùn)用“三點(diǎn)法”求解動(dòng)點(diǎn)路徑長問題

1、運(yùn)用“三點(diǎn)法求解動(dòng)點(diǎn)路徑長問題初中數(shù)學(xué)中動(dòng)點(diǎn)路徑問題,一般有兩種情況：線段或圓弧.本文提出一種求動(dòng)點(diǎn)路徑長的方法一一三點(diǎn)法,“三點(diǎn)指動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn),終點(diǎn)與過程點(diǎn).該方法分為三步:(1)精準(zhǔn)作圖,運(yùn)用刻度尺,圓規(guī)及量角器等工具作出位置較為精準(zhǔn)的“三點(diǎn).(2)大膽猜測,假設(shè)“三點(diǎn)共線,那么動(dòng)點(diǎn)路徑為線段；假設(shè)“三點(diǎn)不共線,那么動(dòng)點(diǎn)路徑為圓弧.(3)小心驗(yàn)證,根據(jù)畫出的“三點(diǎn)圖,運(yùn)用相似三角形、“定角定長定圓等方法對(duì)猜測進(jìn)行嚴(yán)格的證實(shí)一、知識(shí)準(zhǔn)備1、根本概念如圖1,在RUABC中,AC=6,BC=8,/C=90,點(diǎn)P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是AC延長線上的一個(gè)定點(diǎn),連結(jié)PD,過點(diǎn)D作DE_LPD,連結(jié)PE

2、,且nDEE當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長為Ei在圖1中,點(diǎn)P是“主動(dòng)在邊AB上開始動(dòng)的點(diǎn),稱為“主動(dòng)點(diǎn)；點(diǎn)E是跟著點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的點(diǎn),稱為“從動(dòng)點(diǎn).又點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)記作點(diǎn)R,稱為“主動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn),此時(shí)E1稱為“從動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn),此時(shí)作出符合要求的圖形(如圖2),稱該圖為“起點(diǎn)圖；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)記作點(diǎn)P2,稱為“主動(dòng)點(diǎn)的終點(diǎn),此時(shí)E2稱為“從動(dòng)點(diǎn)的終點(diǎn),作出符合要求的圖形(如圖3),稱該圖為“終點(diǎn)圖.區(qū)別于起點(diǎn)P1,終點(diǎn)F2,將圖1中的點(diǎn)P稱為“主動(dòng)點(diǎn)的過程點(diǎn),此時(shí)E稱為“從動(dòng)點(diǎn)的過程點(diǎn),相應(yīng)地把圖1稱為“過程圖.將起點(diǎn)圖,終點(diǎn)圖,過程圖放在同一個(gè)圖形中,將這個(gè)

3、圖形稱為“三點(diǎn)圖(如圖4).4月仍.漁FJE圖3圖42、定角定長定圓固定度數(shù)的角對(duì)著固定長度的線段時(shí)隱含著一個(gè)固定大小的圓,此時(shí)定線段為定圓的一條弦,定角為弦所對(duì)的一個(gè)圓周角.引例1如圖5,線段AB=4,點(diǎn)C是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),使/ACB=901作出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑圖5圖6由“90.角所對(duì)的弦是直徑可以得到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是以AB為直徑的圓,且不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合如圖6.引例2如圖7,線段AB=4,點(diǎn)C是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),/ACB=45,作出頂點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑.圖7圖X當(dāng)點(diǎn)C位置不同時(shí),/ACB度數(shù)不變,根據(jù)“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,可以將ZACB看作弦AB所對(duì)的一個(gè)圓周角,圓心O必在弦AB的垂直

4、平分線上,且/AOB=2/ACB=90,計(jì)算可得半徑OA=2j2.所以,點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是優(yōu)弧ACB,且不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合如圖8.引例3如圖9,線段AB=4,點(diǎn)C是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),/ACB=120作出頂點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑.圖9圖10作出NACB的補(bǔ)角NACB為60.,/ACB的位置不同時(shí)度數(shù)為定值.類比弓I例2,可將/ACB看作弦AB所對(duì)的一個(gè)圓周角,圓心O必在弦AB的垂直平分線上,且/AOB=2ACB=120:計(jì)算可得半徑OA=4J3.在所以點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是劣弧Ab,3且不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合如圖10.二、方法歸納例l如圖11,在FtABC中,AC=6,BC=8,NC=90.點(diǎn)P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)

5、D是AC延長線上的一個(gè)定點(diǎn),連結(jié)PD,過點(diǎn)D作DE_LPD,連名nPE,且tanZDPE=-,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長為.51.精準(zhǔn)作圖由于tanDPE=2,所以通過計(jì)算很難得到5/DPE的度數(shù)不借助方f算器,但可以運(yùn)用量角器測量圖12中/DPE生22.在圖11的根底上,先作起點(diǎn)圖.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)記作點(diǎn)P1,在圖中作出ZDPQ=22*如圖12,過點(diǎn)D作DE1_LPD交射線AQ于點(diǎn)E1如圖13.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)記作點(diǎn)F2,運(yùn)用類似的方法在圖13的根底上作出終點(diǎn)圖,并去掉多余局部,得到一幅完整的三點(diǎn)圖如圖14.A3)圖132、大膽猜測通過三點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E1,點(diǎn)E,點(diǎn)E2根本在

6、一條直線上如圖14,所以可以大膽的猜測點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是一條線段,點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長就是線段E1E2的長度.于是提出猜測一“在三點(diǎn)圖中,從動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn),終點(diǎn),過程點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí),從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為線段月PJd片圖14圖i5在三點(diǎn)圖中,從動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn),終點(diǎn),過程點(diǎn)三點(diǎn)不共線時(shí),就初中數(shù)學(xué)而言,不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓,這里提出猜測二“在三點(diǎn)圖中,從動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn),終點(diǎn),過程點(diǎn)三點(diǎn)不共線時(shí),從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為圓弧.當(dāng)運(yùn)動(dòng)路徑為圓弧時(shí),考慮尋找固定度數(shù)的角與固定長度的線段,運(yùn)用“定角定長定圓的方法作出運(yùn)動(dòng)路徑3.小心驗(yàn)證在圖15中,由于/E1DE+/RDE=90：/RDP+NRDE=90,ZPDP=/E1DE.DE

7、1DEDPi-DP .DEE1;DPP1.同理AE2DE:AP2DP,可得/DEE2=/DPP2.又DPP1DPP2W80,.DEEiDEE2W80.,點(diǎn)Ei,點(diǎn)E,點(diǎn)E2三點(diǎn)共線.E1DE2+jPDE2=90*,/RDP2+/RDE2=90, /PDP2=/E1DE2.DE1_DE2=2DP1DP25 AE1DE2:APDP2,E1E2=2 PP2=10, E1E2=4.通過上述論證得到結(jié)論一：“當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)在一條線段上運(yùn)動(dòng),從動(dòng)點(diǎn)也在一條線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),主動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)、終點(diǎn)、某個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形和從動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)、終點(diǎn)、某個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似.因此可以先求出主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長再乘以相似比得到從動(dòng)點(diǎn)的

8、運(yùn)動(dòng)路徑長.三、運(yùn)用求解例2如圖16,在FtdCOD中,/COD=90.OC=OD=2,以O(shè)為圓心,AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,點(diǎn)D.連結(jié)AD,BC相交于點(diǎn)P,將RMCOD從OA與OC重合的位圖16圖17在圖16的根底上先作起點(diǎn)圖,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)記作點(diǎn)Ci,此時(shí)點(diǎn)D在點(diǎn)Di,位置,BC-ADi,交于點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)A重合如圖17.再作終點(diǎn)圖,此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)Di重合記作點(diǎn)C2,點(diǎn)D與點(diǎn)B重合記作點(diǎn)D2,AD?與BC?交于點(diǎn)P2,點(diǎn)B與點(diǎn)B重合如圖18.通過三點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)P,點(diǎn)P2三點(diǎn)不共線,考慮從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為圓弧,但需要運(yùn)用“定角定長定圓的方法加以證實(shí)(P1)A(Ct)(P1)(A)圖18圖19

9、在APAB中,AB=4為定長,由于/COD=90.所以/COA+/DOB=90,又“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半1得到CBADAB90=45,2置開始,繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90q那么交點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長是.所以/APB=135口為定角.所以點(diǎn)P在以AB=4為弦,/APB=135口為圓周角的定圓上運(yùn)動(dòng).類比引例2,NAPB的補(bǔ)角/APB=45口也為定角,可將NAPB看作弦AB所對(duì)的一個(gè)圓周角,圓心O必在弦AB的垂直平分線上,且ZAOB=2ZAPB=90i.又由于“直徑所對(duì)的圓周角為90o,所以O(shè)是弦AB的垂直平分線與圓O的一個(gè)交點(diǎn)所以半徑OA=2.2.所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是劣弧AB如圖19,根據(jù)弧長公式得到l=9022=、2二.180通過上述論證可以發(fā)現(xiàn),主動(dòng)點(diǎn)C1,點(diǎn)C2與點(diǎn)O構(gòu)成的扇形C1OC2圓心角為900,半徑為2;從動(dòng)點(diǎn)P1,F2與點(diǎn)0構(gòu)成的扇形POP2的圓心角為900,半彳仝為2匹.由于兩個(gè)扇形的圓心角都為900,所以扇形C1OC2:扇形P1OP2,相似比為1：J5,因此扇形的弧長之比90、2也為1：J2.主動(dòng)點(diǎn)c的運(yùn)動(dòng)