理論力學 第五章 湖大課件

1、模型:研究機械運動與力的作用關(guān)系理論的普遍性: 離散型 松散介質(zhì):連續(xù)型固體、流體、剛體(包括剛體、機構(gòu)、彈塑性結(jié)構(gòu)、流體等)直接用于一切動力學受力的質(zhì)點系意 義:2.動強度設(shè)計1.一切動力學基礎(chǔ)經(jīng)典動力學分析動力學牛頓力學、矢量動力學(物理中已闡述)兩個原理為基礎(chǔ)內(nèi)容:動力學動力學動量主矢變化率與外力主矢關(guān)系動量主矩變化率與外力主矩關(guān)系5-1 質(zhì)點動力學方程5-2 質(zhì)點系動量定理5-3 質(zhì)點系動量矩定理5-4 動量定理和動量矩定理的應用5-1-1 牛頓三大定律5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程任何物體具有慣性；力是改變運動的原因。 牛頓在地球上發(fā)現(xiàn)，總結(jié)于自然 哲學的數(shù)學原理。1.慣性定律 不受

2、力質(zhì)點，保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)(相對慣性系)。表明:2. (對質(zhì)點)maF即 ，合力與加速度同時、同向。22ddmtrF5-1-1 牛頓三大定律5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程0Ba此時彈力，摩擦力不變:ABAAAmmg fFamm A與B在F作用下勻速運動，已知突然拆去F，求此時 AB,aa 。ABm ,mf和kBAF5-1-1 牛頓三大定律5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程0Ba物塊沿斜面運動， 沿斜面。 a ABAAmgmmaRcossinFFG故合力沿斜面，且大小為 已知 求物體所受合力。 0,fG,F,AB,aaABm ,m 已知 懸掛重物，求繩斷時 ?BAkFG5-1-1

3、 牛頓三大定律5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程m20m xx光滑圓管在水平面勻速轉(zhuǎn)動，管內(nèi)小球如何運動? 三大定律適應慣性系(地球、地心、日心)不僅適應平衡體，也適應非平衡體。第3定律可用于非慣性系。3.作用與反作用定律在x方向有:即 小球沿管向外運動。2mxmxCa2xx x5-1-1 牛頓三大定律5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程1.兩種形式imt, ,rFr rxFxm msF投影式 直角坐標 弧坐標系矢量式 yFym zFzm 2nsmF0bF坐標與坐標導數(shù)正向相同。投影式兩邊正方向相同。還有柱坐標、球坐標式等。5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程A

4、BOrxvBcosAvrAvAa2.兩類問題:第二類:第一類: 已知運動求力微分已知力求運動積分 繞線輪與滑塊，已知，r，m，f0，求與x的關(guān)系。TF22cosxrx22Arvr1x5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程由 得TcosAFma422T5222mr xFxr研究滑塊A為所求。AaATF42222Ar xaxr得Axv 注意到:33222AAr avxxr5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程NFmg5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程 如何可使 與坐標正向一致?Aa建立圖示 坐標1x，1xlx1Axa不對，A、B兩點均運動。d dABlrt 對嗎?ABORxA

5、a1x5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程2mymgFmgy2 vgvm即myoyvFmgmgc設(shè)22vcvm則5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程質(zhì)量為m小球在空氣中下落，阻力大小 試求小球的運動。0000v,y,2F ,5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程2200d dvtvtcvmcth()gvtcdcth()dyt00gyttc2lnch()cgytgcddyt運動分析:v/cgt/cO12 mmgv即此時阻力與重力平衡 mv空中降落傘很快達到mmgvc5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程 存在極限速度 ，小球趨于等速運動；cvm5

6、-1-2 質(zhì)點的運動微分方程 如圖(a)所示，質(zhì)量為m的物體受線性彈簧和粘性阻尼約束，在重力場中沿鉛直方向平移運動，取靜平衡位置O為坐標x軸原點，給定初始位移位 和初速度0 x0 x ，試求物體的運動規(guī)律。 單自由度阻尼自由振動。kcm圖(a)5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程即 mxkxcx 0mxcxkx(a) 物體受力如圖(b)，粘性阻尼力 沿物體速度的相反方向，大小為 ，因數(shù)c稱為阻力因數(shù)阻力因數(shù)。因坐標原點在靜平衡位置，可同時不計彈簧靜伸長和重力，由質(zhì)點運動微分方程，有 CFCFcx 0km，2cnm0引入無阻尼 和n m圖(b)kFCFx x5-1

7、質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程2020 xnxx式(a)化為如下標準形式(b)221,20rnn 其特征方程為 ，特征根為22020rnr0n(1) 時，為弱阻尼，方程(b)的通解為1d2d(cossin)ntxeCtCt與無阻尼自由振動類似，上式可改寫為dsin()ntxAet(c) 5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程ntAe0 x0 x 其中 和 分別為阻尼自由振動的振幅和初相位，仍取決于初始條件 和 :d000arctanxxnx22000d()xnxAx 由于阻尼作用，振幅 隨時間不斷衰減。相鄰兩個振幅之比為常數(shù)，稱為減幅因數(shù)

8、，記作 ，即 ntAe22d0n稱為阻尼自由振動的。d1()2ntnTn t TAAeeAAe(d) 5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程式中 為阻尼振動周期，大于無阻尼振動周期，dTd22d022Tn(e) 與t無關(guān)，因此有d1121231jjnTjjjAAAAeAAAA(f) 引入對數(shù)減幅因數(shù) dlnnT或由式(f)表示為 111lnjAjA5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程(2) 時，為強阻尼，方程(b)的通解為0n1212rtr txC eC e式中 和 均為實數(shù)。1r2r(3) 時，為臨界阻尼，對應通解為0n12ntxCC

9、 t e 顯然(2)和(3)中兩函數(shù)均是非周期性的，可見阻尼較大時，物體作衰減蠕動。 本例只涉及單自由度質(zhì)點振動問題，有關(guān)系統(tǒng)振動內(nèi)容,將在后續(xù)的結(jié)構(gòu)力學課程中介紹。5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程 若圖(a)中阻尼因數(shù) ，則系統(tǒng)退化為無阻尼自由振動。試比較兩種運動的振幅、固有頻率與初相位有何不同?0c 圖(a)中，若阻尼因數(shù) ，系統(tǒng)為無阻尼自由振動，則微分方程變?yōu)?c 200 xx固有頻率為0km簡諧振動為0sin()xAt其中，振幅 ，初相位 。22000 xAx000arctan()xx5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程d

10、nT，111ln()jAjA 由，有1d11ln()2jAcnmjTA故 1d12ln()jAmcjTA依題意， 10j ，11100jAA。所以 2 10ln10031.7610 0.29c為所求。在圖(a)所示系統(tǒng)中，已知 ， ,10kgm d0.29T s物體的振幅在10個周期后降為原來的1，試求所需阻尼因數(shù) c。5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程在圖(a)所示振動物體上作用簡諧干擾力0sin,FFt再求物體的運動規(guī)律，并分析振幅的變化規(guī)律。 物體在任意位置x時，除受重力G、彈性力F、激振力Fs的作用外，還有線性粘滯阻力Fd。于是物體沿x軸的運動微分方程為mdFFG圖(c)kcm0lx

11、SxO5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程如圖(c)所示，5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程s0()sinmxmgkxFtcx注意到 smgk，有 0sinmxcxkxFt上式各項均除以m,并令 200,2,Fkcnhmmm則上式寫為 202sin(1)xnxhtmdFFG圖(c)kcm0lxSxO這就是阻尼強迫振動的運動微分方程阻尼強迫振動的運動微分方程。5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程當 0n時，式(1)的通解為 220( )sin()sin()(2)ntx tAen tBt式中常數(shù) B和分別為 222220(3)()4hBn22

12、02arctan(4)nA和為積分常數(shù)，可由初始條件確定。 式(2)中第一項表示的自由振動部分隨時間迅速衰減直至消失，研究穩(wěn)態(tài)過程時可忽略不計。主要研究式(2)中第二項表示的強迫振動部分。5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程2( )sin()(5)x tBt 式(5)表明有阻尼的強迫振動仍為等幅簡諧運動，其振幅與初始條件無關(guān)，其振動頻率等于激振力頻率，與阻尼無關(guān)，但阻尼使位移落后于激振力一個位相差 。由式(3)可見，阻尼使振幅減小。將式(3)改寫為02222000(6)14BBn 5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程式中， 020hH

13、Bk稱為靜力偏移。令頻率比 0,阻尼比 0n，動力放大因數(shù) 0BB，則上式又可改寫 為22201(7)(1)(2)BBB對應于不同的阻尼比 的振幅頻率曲線，稱為幅頻特性曲線，如圖(d)所示。從圖中可見: 的值，由(7)式可得出一系列圖(d)5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程即 (1) 當 10時(低頻段)，各條曲線的動力放大因數(shù)都接近于1。 即 (2) 當 10時(高頻段)，各條曲線的動力放大因數(shù)都接近于零。 (3) 當 01時，對于確定的 值，動力放大因數(shù) 有相應的最大值，由 d0d，可求得當 212時 的最大值為 max21(8)21也就是說，當 2202n

14、時，振幅B達到最大值 max220(9)2hBnn5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程5-1-2 質(zhì)點的運動微分方程 當物體以最大振幅振動時，就是共振共振現(xiàn)象；相應頻率稱為臨界頻率臨界頻率。當阻尼不大時當 0時發(fā)生共振，由式(3)最大振幅為 max0(10)2hBn 阻尼增加，共振頻率低頻移動，振幅減小，當 0.707，共振消逝。 (4) 阻尼對振幅影響共振區(qū)顯著，遠離共振區(qū)時不顯著，可不考慮阻尼因素。類似地，由式(4)可研究阻尼和頻率對相位差的影響，稱為相頻特性相頻特性。5-1 質(zhì)點動力學方程質(zhì)點動力學方程edditpF5-2-1 質(zhì)點系的動量5-2-2 質(zhì)點系動量定理5-2-3 質(zhì)心運動定

15、理iiCiiCmmmmpvvrryiiCypm ymvxiiCxpm xmvzCzpmv(動量系的主矢) 已知m,r, ,比較兩環(huán) 大小?21pp ,m2m2o1omrr5-2-1 質(zhì)點系的動量5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理PC3lP 位置不對! 應在 處.(向C簡化，還有動量主矩 )CL3lp123pr mr mmr22prm21 pp 故5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理5-2-1 質(zhì)點系的動量 求均質(zhì)桿合動量 ， 對嗎?mlp2p eddtpF1.微分式2.積分式3.守恒式e0F常矢peR0I21pp (不一定守恒)21ee21RdtttppFI(由對質(zhì)點的動量定理，求和得到)

16、揭示外力主矢與動量變化之關(guān)系，形式上與內(nèi)力無關(guān)。5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理5-2-2 質(zhì)點系動量定理三種形式均有投影式:ddxxpFte21xxxppI0 xF xp 常量，則5-2-2 質(zhì)點系動量定理若e0 xI 12xxpp，則若5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理T2FmgmIIv與 成 角,vT22()(2)FRImgmvvmgIarctan2mv方向:2mvmgITFIvvmRTFmg5-2-2 質(zhì)點系動量定理 圓錐擺，已知 試求半周期內(nèi)繩張力沖量 TFI 。mvR、 、5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理描述了質(zhì)系質(zhì)心加速度與外力主矢的關(guān)系。Cmpv1.定理ddtp對剛體

17、僅描述了隨質(zhì)心平移的一個側(cè)面。 eCmaFCiimm,aaCiimxm x 例如炮彈在空中爆炸后，其質(zhì)心仍沿拋物線運動， 直到一個碎片落地。跳水運動員質(zhì)心作拋體運動。例如5-2-3 質(zhì)心運動定理5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理2.質(zhì)心守恒(不動)e001) 0CFv若00CCavCr 常矢002) 0 xC xFv若00C xC xavCx 常量 對! Ciimxm xt，Ciimxm x有Ciimxmx0iimx 對嗎?Cx 若常量，0iim x，則經(jīng)故有0Cx當時，5-2-3 質(zhì)心運動定理5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理0 xF 0mx有 則右移設(shè),SAA()02AABAa bmS

18、mS() ()BAABa b mS2 mm 0Cx,且(左移)BbaBAM5-2-3 質(zhì)心運動定理 已知 力偶M使B轉(zhuǎn) 后，求 。0ABm ,m ,a,b, f,90AS5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理yxCAB均質(zhì)桿長為l，在鉛垂面內(nèi)滑倒，f=0,求桿端A運動軌跡?0 0 xCF,x,cos2sinAAlxyl桿質(zhì)心C沿鉛直線運動。設(shè)任意時刻t，狀態(tài)如圖CvCAB5-2-3 質(zhì)心運動定理22224 1AAxyll故，為橢圓軌跡。5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理FAB5-2-3 質(zhì)心運動定理 物A置于箱B右端在水平力F作用下，B由靜止開始運動。已知 。B在2s內(nèi)前移5m，不計B與地面摩

19、擦。試求A在B內(nèi)移動距離(B足夠長)。20kg30kg120NABm,m,F5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理研究整體: AABBFm am a ,由有1202030 (1) ABaa212BBSa t ,而 有(1),代入式得214.5 m2AASa t54.50.5 mABBASSS故2B152 , 2a25(m/s )2B a故 29m/s4Aa FAB5-2-3 質(zhì)心運動定理5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理無相對運動時:經(jīng)時間t1，發(fā)生第1次碰撞。碰后A與B相對速度大小不變。 為什么 =常量?BaBABmmFaA對B的摩擦力大小為 ，是常量。 Am gf2591m/s244ABB

20、Aaaa 若給定B長4m, 完全彈性碰撞以后情形?(有向后與向前之區(qū)別),taAB21214 18 44 2 st FAB有相對運動時:5-2-3 質(zhì)心運動定理5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理Am gf 曲柄滑槽機構(gòu)。已知 ，G 為導桿重心。曲柄、滑塊、導桿質(zhì)量分別為 試求支座O動約束力。 2,lBGlOA123m ,m,m 。OABG5-2-3 質(zhì)心運動定理5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理OABGC xiiO xmam xF123coscos( cos)22Cllmxmtm ltmlt而 2123(2)cos2OxClFmxmm2mt 故 2max123(22)2O x lFmmm2

21、12 (2)sin2O yClFmymmt 同理2max12 (2)2O ylFmm由質(zhì)心運動定理t 當時，2t 當時，yxOxFOyF5-2-3 質(zhì)心運動定理5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理5-2-3 質(zhì)心運動定理5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理 偏心電機轉(zhuǎn)動時，已知 ，支座動約束力多大?OxCFmx22d( cos)dmettOyCFmytme sin22cosmet me1OCOOxFOyFm,e,5-2-3 質(zhì)心運動定理5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理1mmvrvuvrrcoscossinsinvv u , vv上式在x，y方向投影urvu22211() tgmvummm

22、20 xp,由有1cos0mumv解之得:11tantanmmm可見 。當時1mm 1炮車放炮。已知 (對地)，求反沖速度 。u1m ,m, ,vv5-2-3 質(zhì)心運動定理5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理htv可見 一定時, 大小一定，且0h，v0ttvvg11tanmmm 不計空氣阻力， ?射程最遠。 炮臺放炮（高h） ?射程最遠。此時2202ttv vvgh,，設(shè)炮彈落地速度為(能量守恒)0cosxvt要使水平射程 最大。1mm5-2-3 質(zhì)心運動定理45時，射程最遠，5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理002t0tan2vvvvgh 01cos22gxgtv只要 最大。即圖示矢量三角

23、形面積最大。必有 即0tvv代入上式01210tanvmmmv2gh得 時，水平射程最大。t g0vtv5-2-3 質(zhì)心運動定理因 邊長一定。0t,v v5-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理5-3-1 質(zhì)點系的動量矩ed()dOOtLMF5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理2. 對運動點A1. 對固定點OOiiimLrvAOLLAOP()vLxxiixOxLLmL或0Av(1)對兩個固定點A,O 之關(guān)系(2)對固定軸x (1)絕對動量矩(數(shù)學上完全類似力矩) P 動量AiiimLrv絕對速度iv5-3-1 質(zhì)點系的動量矩5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動

24、量矩定理OAPLO(2)相對動量矩(在A點固連平移系)AiiimLrv()AiiAimLrvviAivvv() AAAmLLACvCCLLAmACvAi iAmLrv相對速度i v(3)兩者關(guān)系故C為質(zhì)心，0AC ，當即 動點為質(zhì)心C時對質(zhì)心的絕對與相對動量矩相等5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-1 質(zhì)點系的動量矩Ar3.剛體的動量矩(對固定點A)iCvv(對動點A， 形式同上，但 為一般運動矢) ACAL()AiiCCmmLrvACvACP(1)平移且有設(shè)rvk ,kjirzyx(2)定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點O:dOxzyzzMmJJJLr vijkkiOLOzxyj5-3 質(zhì)點系動

25、量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-1 質(zhì)點系的動量矩ddxzyzMMJxz m, Jyzm,可見:OzJL d22zMJxym,其中稱為；為對z軸。ArkiOLOzxyj但剛體對z軸的動量矩 與慣性積無關(guān)。zL，可以證明剛體上任意 當轉(zhuǎn)軸 z 為(0 xzyzJJ;LO不沿方向一般情形,點存在三根正交主軸)時，有主軸5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-1 質(zhì)點系的動量矩212CJmR2112CJml常見主軸質(zhì)量對稱面對稱軸常見剛體均質(zhì)輪(半徑R)均質(zhì)桿(長為l)CC5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-1 質(zhì)點系的動量矩平行軸定理:2OCJJOC m2OJm工程中:(只能從

26、質(zhì)心移動)慣性半徑或迴轉(zhuǎn)半徑CO5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-1 質(zhì)點系的動量矩 在剛體上建立質(zhì)心平移系 ,且使 運動平面，則相對運動為繞 軸的轉(zhuǎn)動，已知 。對兩固定點A、C C x y z Cz CzCv,ACCmLLACvCCx zz yzJJJ LLijk(3)平面運動a)一般情形Czxy5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-1 質(zhì)點系的動量矩b)主軸情形若 為主軸時，C z0;x zy zJJ CCJ LAC, LL()ACCJmLACv則故方位相同，可視為代數(shù)量。CzxyAm,r,h,L求。ACLJ mr r-h均質(zhì)輪滾動，已知ccvrAhrCCv5-3

27、質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-1 質(zhì)點系的動量矩()OCCLmvR rJ vCOCCm,R,r,v ,L ,L ,L求。 均質(zhì)輪純滾，已知vvvCCCCvLJ Jr 212CCLLmr 各構(gòu)件質(zhì)量均為m，求 。OL br2lrCO2rROvCCvrccvrrCCv a1rO2rC5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-1 質(zhì)點系的動量矩12222122211()32OrrLml m rrmrrLLOCPOC21rrl22211(2 )(2 )212mrmrmr0圖(a):圖(b):2296mr br2lrCO2r a1rO2rCCL5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-

28、3-1 質(zhì)點系的動量矩 br2lrCO2r2222112(2 )212mr rmrmrmrmr 2OCLJ mr rmrmr22629)3423(2(亦可按平面運動剛體計算!)C5-3-1 質(zhì)點系的動量矩5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理(分別對各質(zhì)點，再求和，內(nèi)力矩抵消)eddOOtLMeOuM幾何解釋，類比ddddO,ttLrvu 矢端速度等于外力系對O點的主矩OL21ee21dtOOOOttLLMMI沖量矩定理外沖量矩(賴柴定理)1.微分式:2.積分式:3. 守恒式:e0O,M若d0dLLOO,t常矢則5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理4

29、 .投影式:eddxxLMt2211edtOxOxxtLLMte0 xM,若守恒方向性則xL 常數(shù)如圓錐擺:e0O,Me0OCM,而CL守恒不守恒；OLOCL守恒；e0C,MvCGTFO21ed0tOtt,M若12OOLL則5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理 已知 O為均質(zhì)細桿質(zhì)心， ，求A、B動約束力。BAOl211sin12OOLLml l,m, , , lAB 桿細長，可略去 方向 22OLe OuM由 cosOuL 而e2sin224OABMmlFFl故 方向如圖，右手法則AF1OL21 BF5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-2

30、 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理Or1m2mm已知 ，求a1212()m,r,m ,mmmddeOOLMt12122()dd(22)mmgtmmm r研究整體，受力如圖。由(不用隔離體法)。ar故 212d1()d2mmm r t即 12()mmgr1m g2m gOyFOxFamg5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理若不計繩與滑輪的質(zhì)量，則1a2avvAABBOm v rm v rJ BAvv猴子爬繩比賽，已知rrABABmm ,vv。若考慮繩與滑輪的質(zhì)量，則顯然，AB5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理CBAD

31、I221312 (2)3212ABCBDIlml mvlml 設(shè)沖擊后，速度如圖。研究整體，由沖量矩定理，對A軸(1)12CABBDvll且 BDABCv 研究BD桿，對固定點 ，有B21212CBDlI lmvml (3) 已知 求沖擊后瞬時m,l,I，ABBD，。兩桿鉸接懸吊5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理 (1)對固定點A、B，使用沖量矩定理，避免了未知 的約束力沖量。 (2)BD桿相對固定平面作平面運動。 (3)懸吊n根桿受沖擊的思考。 123由、 、 得630( )( ) 77ABBDII,mlml5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理

32、5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理d,d2ABLlmgF lt由0,BF 令飛輪角加速度多大時，約束力FB為零?,22OOlmglJmgJ則BAmgBF2llBABFgm5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-2 質(zhì)點系對固定點的動量矩定理imzxyOCA 在A點固連平移系為任一質(zhì)點。,iAx y z m 1 .定理的一般形式iri rr, iiiAirOArvvv(復合運動)A為運動點(已知vA，aA)，O為固定點，C為質(zhì)心。由物理，對運動質(zhì)心C，有ddCCtLMd?dAtL 對一般運動點A 5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理ddAA

33、CCCAAAmmmmtLvvOAavvACa ed ()()dAAAmt LMFACa()CAvveeirFOArF d,dOOtLM有代入5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理LrvOiiimrOArvviiAimiiiiAAmmOAvrvLLOAvACvACAmm5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理對一般動點AddAAtLM 平移系中， , (絕對導數(shù)=相對導數(shù)) (動系單位矢方向不變)ddddAAttLL由于修正項，工程中一般不用，多用于非慣性系中。5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理2. 定理的特殊形式使修正項 的情形()0Am ACa

34、ddAAtLM1)0,aA( (A固定、勻速直線運動、加速度瞬心)(3) 與 共線， AaAC0AaACddAAtLMddCCtLMddCtL(2) ,即A為質(zhì)心C0AC5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理 均質(zhì)桿長l，繩段瞬時。 0AaAC有 d,dAALMt2132lmlmg即如何用最簡方法求?32gl故BACmgAa5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理 均質(zhì)輪滾動，已知 。vv0, CaC C 有vvd dLMCCt即232mrFr23 Fmrm,r,FvCaccvrrCCvFvC5-3 質(zhì)點系動量矩

35、定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理 均質(zhì)桿長l,沿墻滑落。vcos2CGlJv cos2ClJG有BFGBACvCvCa2221( )1223CmllJmmlv3 cos2glAFCvC=常數(shù)時， 指向CvCa5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理 半圓柱滾動，一般位置時。 vv0CC Ca當直徑面水平時， 指向C，有vCavvddCCLMtvvddCCLMtvCa不指向質(zhì)心C，COvCmgvCa5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理 均質(zhì)環(huán)滾而不滑，A球固結(jié)環(huán)上，求 繩段瞬時 。有

36、00Ba,cos30BJmgr0OOCa 滾至OA水平時，再求 。mmrO030AmgmgBCOrAFBOaO指向質(zhì)心Ca5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理OJmgrFr有d,dBBLMt即2222ddmrmrmrmrmgrt2()Fmrm rr而222211()222mgrmrmrmr又由能量守恒有4gr故24mrmgr對固定點B，另解:對運動點O，COrAFB5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理若 則3. 動量矩相對守恒0,CMCL常矢對質(zhì)心軸:若 則0,CzMCzL常量可解釋:貓在下落過程中如何翻身

37、?跳水時如何產(chǎn)生多周旋轉(zhuǎn)?轉(zhuǎn)椅上的人如何能自轉(zhuǎn) ?1805-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理4 . 剛體平面運動微分方程e,Cm aF有(b)CCJM 式(a)和(b)稱為剛體平面運動微分方程,與動量定理和動量矩定理數(shù)學上等價。ddCzCZLMt 由 有 分解為隨質(zhì)心C平移繞C軸轉(zhuǎn)動 (a)CxCymxFmyF由5-3 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理5-3-3 質(zhì)點系相對運動點的動量矩定理5-4-1 解題要點5-4-2 典型問題動量矩定理常與動量定理結(jié)合，求解相關(guān)問題。靈活選矩心，嚴格守恒條件。結(jié)合運動學條件。5-4-1 解題要點 圓輪運動問題。m

38、RFhf， ， ， ， ，已知ChFCa求 及摩擦力SF 。5-4 動量定理和動量矩定理的綜合應用動量定理和動量矩定理的綜合應用 受力與加速度分析如圖。由剛體平面運動微分方程，有:假設(shè)輪純滾動，即聯(lián)立解之得ChFSNS (1) (2) (4)() (3)CCmaFFFmgF hRF RJ未知量 (4)CaRS2(32 ),33CFhFRhaFmRR mgSFCaNF5-4-2 典型問題5-4 動量定理和動量矩定理的綜合應用動量定理和動量矩定理的綜合應用當h3R/2時， 向右SF h3R/2時， 0SFChFmgSFCaNF可見:5-4-2 典型問題5-4 動量定理和動量矩定理的綜合應用動量定理

39、和動量矩定理的綜合應用已知m, r, R, f, F, ，輪如何運動?arccosrR當時，(前滾)0arccosrR當時，(后滾)0arccosrR當時，(平移)0CrFR聽話的繞線輪。5-4-2 典型問題5-4 動量定理和動量矩定理的綜合應用動量定理和動量矩定理的綜合應用 如圖所示，長為l的均質(zhì)桿AB，重量為G，從靜止于直角墻角且傾角為 的初始位置開始運動。若不計摩擦，求任意 角位置時桿的角速度與角加速度。2.00GBAC5-4-2 典型問題5-4 動量定理和動量矩定理的綜合應用動量定理和動量矩定理的綜合應用vcos (a)2ClJG3cos(b)2gl v221 124CGG lJlgg

40、而ddddddddtt又故 當桿端A沒離開墻角時，AB桿的速度瞬心在Cv點， ，在任意 角位置時，有v2lC C GBACBFAFvC5-4-2 典型問題5-4 動量定理和動量矩定理的綜合應用動量定理和動量矩定理的綜合應用003dcosd2gl 03(sinsin )gl 故 舍去正值 代入式(b),并積分得如何求任意位置時FA,FB大小?A端在何位置離開墻面? 考慮摩擦時，如何求解?GBACAFBFvC5-4-2 典型問題5-4 動量定理和動量矩定理的綜合應用動量定理和動量矩定理的綜合應用 水平管繞軸z轉(zhuǎn)動，A，B兩球細繩相連，22 kg0.5kg0.2 kg mABCm,m,J,r40 cm/sAv,求 (不計摩擦和繩重)。100cml,圖示瞬時，測得60 cmAr,0.5 rad/s, ArAlBz5-4-2 典型問題5-4 動量定理和動量矩定理的綜合應用動量定理和動量矩定理的綜合應用ddzzJtJ d0dzLt0zzM,L常數(shù)，22() zzCA ABALJJm rml r而d0dzzJJt代入上式，得rrd22()()0.8dzA AABAAJm r vmlrvt而20.4 rad/s 故不變， 變化 變zLzJ則ArA