第一講《不等式和絕對值不等式》課件（新人教選修）

1、第一講 不等式和絕對值不等式1、不等式1、不等式的基本性質(zhì)：、對稱性： 傳遞性：_ 、 ，a+cb+c、ab， ， 那么acbc； ab， ，那么acbc、ab0， 那么，acbd、ab0，那么anbn.（條件 ）、 ab0 那么 （條件 ）nnba abbacacbba ,Rcba ,0c0c0 dc2,nNn2,nNn練習：1、判斷下列各命題的真假，并說明理由：（1）如果ab，那么acbc；（2）如果ab，那么ac2bc2；（3）如果ab，那么anbn(nN+)；（4）如果ab, cb-d。 2、比較(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。（假命題）（假命題）（假命題）（假命題）

2、（真命題）（真命題）（假命題）（假命題）解：因為解：因為(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18) =200， 所以所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6)例2、 已知ab0，cd0，求證：abdc例1、求證：如果ab0，cd0，那么acbd。證明：因為ab0, cd0， 由不等式的基本性質(zhì)（3）可得acbc, bcbd， 再由不等式的傳遞性可得acbcbd。 練習： 如果ab,cd，是否一定能得出acbd？并說明理由 。例3、若a、b、x、yR，則 是 成立的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要

3、條件()()0 xyabxaybxaybC例5、已知f(x)=ax2+c，且-4f(1)-1，-1f(2)5，求f(3)的取值范圍。例4、對于實數(shù)a、b、c，判斷下列命題的真假：（1）若cab0，則（2）若ab, ，則a0，b0，a2-2ab+c2 =0，bca2，試比較a、b、c的大小。解：因為bca20，所以b、c同號；又a2+c2=2ab0，且 a0，所以b= 且c0。因為(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )0，所以b-c0.當b-c0，即bc時，b= 得所以a2c+c3 2a3即a3-c3+a3-a2c0，(a-c)(2a2+ac+c2)0,b0,c0，所

4、以2a2+ac+c20，故a-c0,即ac.從而aca2，所以b2a2，即ba。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，與前面矛盾，故bc.所以acb, ab0，那么（2）如果ab0，cd0，那么ac0，那么當且僅當a=b時，等號成立。2abab證明：因為證明：因為 =a+b-2 00， 所以所以a+b a+b ， 上式當且僅當上式當且僅當 ，即，即a=ba=b時，等號成時，等號成立。立。2()abab2 abab稱為稱為a,b的的算術(shù)平均算術(shù)平均稱為稱為a，b的的幾何平均幾何平均 兩個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。兩個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。如圖在直角三角形中，

5、CO、CD分別是斜邊上的中線和高，設AD=a，DB=b，則由圖形可得到基本不等式的幾何解釋。CABDO例3 求證：（1）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；（2）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。結(jié)論：已知結(jié)論：已知x, y都是正數(shù)。（都是正數(shù)。（1）如果積）如果積xy是定值是定值p，那么當那么當x=y時，和時，和x+y有最小值有最小值2 ；（；（2）如果）如果和和x+y是定值是定值s，那么當，那么當x=y時，積時，積xy有最大值有最大值p214sABENMFDCQPHG例4 某居民小區(qū)要建一座八邊某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型形的休閑場所，它的主體造型平面圖（

6、右圖）是由兩個相同的平面圖（右圖）是由兩個相同的矩形矩形ABCD和和EFGH構(gòu)成的面積構(gòu)成的面積為為200平方米的十字型地域，計平方米的十字型地域，計劃在正方形劃在正方形MNPQ上建一座花壇，上建一座花壇，造價為每平方米造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪花崗巖地坪，造價為每平方米花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個空角（圖中四個直元，再在四個空角（圖中四個直角三角形）上鋪上草坪，造價為每平方米角三角形）上鋪上草坪，造價為每平方米80元。元。（1）設總造價為）設總造價為S元，元，AD長為長為x米，試建立米，試建立S關于關

7、于x的函數(shù)關系式。的函數(shù)關系式。（2）當）當x為何值時為何值時S最小，并求出這個最小值。最小，并求出這個最小值。222221;21128125)()21254)().4babbbbb2補充例題 已知a,b (0,+ )，且a+b=1，求證：（1）a（ ）；1（3）（a+；a1（ ）（a+a課堂練習：課本P10第5題、第6題、第9題5、設a, bR+,且ab，求證：(1) (2)6、設a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：（1）(a+b)(b+c)(c+a)8abc；（2）a+b+c9、已知x、yR,求證：2abba ；2ababab.abbcca222() .22xyxy小結(jié)：理解并熟練掌握基本不

8、等式及其應用，特別要注意利用基本不等式求最值時， 一定要滿足“一正二定三一正二定三相等相等”的條件。作業(yè)：課本P10第7、8、10題，第11題為選做題。3、三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式33 , ,3abca b cRabcabc定理如果，那么，當且僅當時，等號成立。即：三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。212122,nnnnnaaaaaa aanaa11把基本不等式推廣到一般情形：對于n個正數(shù)a它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即： 當且僅當a時，等號成立。211 (1 5)(0)5yxxx例求函數(shù)的最值。235252(2 )(2 ),2525120,20,552(2 )545.23

9、6752242.515675yxxx xxxxxxxyxxxxmax解：當且僅當，即時，y3max11 41 514(1 5 )(),4431081.108xxxyx xxy 下面的解法對嗎？練習：是銳角，求y=sincos2的最大值。22422222232221sincos2sincoscos21 2sincoscos4(),232732sincos1 sin,sin32 3.9y max解：當且僅當即時取等號，此時y2P1115 ,2 .2bh2b課本第題 已知a0, b0, 且h=mina, a求證：22222222222222222 0,0,2,112,22 0h=mina,00和ab

10、0時，如下圖可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b（2）當ab0,b0，如下圖可得：|a+b|a|+|b|Obaxa+b如果a0，如下圖可得：|a+b|00，|x-a|,|y-b|x-a|,|y-b|，求證：，求證： |2x+3y-2a-3b|5. |2x+3y-2a-3b|5.證明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3=5.所以所以 |2x+3y-2a-3b|5.|2x+3y-2a-3b|0，則 |x|a的解集是(-,-a)(a,+)Oa-a

11、xO-aax|x|a（1）|ax+b|c和|ax+b|c(c0)型不等式的解法：換元法：令t=ax+b, 轉(zhuǎn)化為|t|c和|t|c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。分段討論法：00|(0)()axbaxbaxbc caxbcaxbc或00|(0)()axbaxbaxbc caxbcaxbc或例3 解不等式|3x-1|2例4 解不等式|2-3x|7補充例題：解不等式211(1)(3| 1)| 342(2)34|.xxxx|ax+b|c(c0)型不等式比較：類型化去絕對值后集合上解的意義區(qū)別|ax+b|c-cax+b-c x|ax+bcax+bcx|ax+bc, 并 課堂練習：P20第6題型

12、型不不等等式式的的解解法法和和）（cbxaxcbxax 2521 5 xx解不等式解不等式例例 ，。A，BA；BA，BA，BBAB，BB，；BAAA，AA。，A，A，B，：2355511231211111111111式式的的解解集集是是故故原原不不等等的的距距離離之之和和都都大大于于的的任任何何點點到到點點的的右右邊邊的的左左邊邊或或點點點點的的距距離離之之和和都都小小于于之之間間的的任任何何點點到到點點與與從從數(shù)數(shù)軸軸上上可可以以看看到到點點這這時時也也有有右右移移動動一一個個單單位位到到點點向向?qū)Ⅻc點同同理理這這時時有有到到點點個個單單位位向向左左移移動動將將點點數(shù)數(shù)都都不不是是原原不不

13、等等式式的的解解上上的的因因此此區(qū)區(qū)間間兩兩點點的的距距離離是是那那么么對對應應的的點點分分別別是是設設數(shù)數(shù)軸軸上上與與解解法法x12-2-3ABA1B1521 5 xx解不等式解不等式例例 ，xxxx，xxxxxx，x：23 , 2 , 2, 5)2()1( ,1 , 53, 5)2()1( ,123, , 3, 5)2()1( , 22的的解解集集為為綜綜上上所所述述可可知知原原不不等等式式此此時時不不等等式式的的解解集集為為解解得得原原不不等等式式可可以以化化為為時時當當此此時時不不等等式式的的解解集集為為矛矛盾盾即即原原不不等等式式可可以以化化為為時時當當此此時時不不等等式式的的解解集

14、集為為解解得得原原不不等等式式可可以以化化為為時時當當解解法法 521 5 xx解不等式解不等式例例 , 23,1x , 4-2x1x2- 2,-2x , 6252105213解解集集為為由由圖圖象象可可知知原原不不等等式式的的作作出出函函數(shù)數(shù)圖圖象象即即構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)將將原原不不等等式式轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為解解法法，xy，xxyxx：yxO-32-2型型不不等等式式的的解解法法和和）（cbxaxcbxax 2利用絕對值不等式的幾何意義利用絕對值不等式的幾何意義零點分區(qū)間法零點分區(qū)間法構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)法作業(yè)：作業(yè)：P20第第7題、第題、第8題題(1)(3)練習：練習：P20第第8題題(2)432)

15、2.(8 xx解解不不等等式式補充練習：解不等式：（1）1|2x+1|3.（2）|x-1|-4|x+3.答案：（1）x|0 x1或-2x-1 （2）x|-5x-1或3x7 （3）1 |22x xx 或作業(yè)作業(yè)6431)1(720 xP解解不不等等式式題題第第第第.32, 135,3103213531032310351 6436143143643143: 故原不等式的解集為故原不等式的解集為或或解得解得或或或或即即等式組等式組原不等式等價于下列不原不等式等價于下列不解解xxxxxxxxxx8.解不等式解不等式:.,).,24322,23,4)3()2(,2).2,3(43223,45,4)3()2(,23.3,(4323,25,4)3()2(,3:432)2(Rxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原原不不等等式式的的解解集集是是綜綜上上所所述述的的解解集集是是不不等等式式組組即即原原不不等等式式可可化化為為時時當當?shù)牡慕饨饧癁闉樗砸圆徊坏鹊仁绞浇M組顯顯然然成成立立即即原原不不等等式式可可化化為為時時當當?shù)牡慕饨饧鞘羌醇床徊坏鹊仁绞浇M組解解得得原原不不等等式式可可化化為為時時當當解解 .25,21,.25