第三章 線性方程組new.

1、11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 11112122122212,nnmmmmnAaaaAaaaAaaa 1112111212222212,nnmmmnmnaaabxaaabxAbxaaabxAxb 線性方程組線性方程組Axb 考慮再學(xué) 方程對(duì)應(yīng)一個(gè)向量再學(xué)方程間方程間的關(guān)系的關(guān)系向量間向量間的關(guān)系的關(guān)系 向量組構(gòu)成矩陣再學(xué)矩陣的性質(zhì)矩陣的性質(zhì)和運(yùn)算和運(yùn)算 教學(xué)內(nèi)容和基本要求教學(xué)內(nèi)容和基本要求 21021125cxAxbAxb ,APA bPb AxbPAxPbAxb ,A b ,A b .設(shè)設(shè)A Rn n , 則則

2、 有非零解有非零解 |A|=0.設(shè)設(shè)A Rm n, 則則有非零解有非零解 r(A)n有非零解有非零解 A不可逆，退化，奇異不可逆，退化，奇異.設(shè)設(shè)A Rn n , 則則 只有零解只有零解 |A| 0. A可逆，非退化，非奇異可逆，非退化，非奇異.123123123(1)0(1)0(1)0 xxxxxxxxx 對(duì)系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣A作初等作初等變換變換, 化為階梯陣化為階梯陣.當(dāng)當(dāng)或或 = 時(shí)時(shí), r(A)3, 當(dāng)當(dāng)且且 時(shí)時(shí), r(A)=3, 注注1 1：基礎(chǔ)解系是：基礎(chǔ)解系是解向量組的解向量組的極大無(wú)關(guān)組極大無(wú)關(guān)組， 所以基礎(chǔ)解系所以基礎(chǔ)解系不唯一不唯一， 且任意兩個(gè)基礎(chǔ)解系且任意兩個(gè)基礎(chǔ)解

3、系等價(jià)等價(jià)； 注注2：解向量組的解向量組的秩秩是基礎(chǔ)解系含有的向是基礎(chǔ)解系含有的向 量的個(gè)數(shù)，即量的個(gè)數(shù)，即. .B123412341234 0223 20773 0 xxxxxxxxxxxx 1 1 1 12 2 3 2 7 7 3 1 1 1 0 1/50 0 1 4/50 0 0 01210,01 1212113411/510, (,R).04/50 1xxccc cxx 101/5 4/52112121222212nnnnnaa aa aa aaa aAa aa aa 121100,010001n 21aa 31aa 1naa 12000,000naaa 1r A 10a 是是Ax =

4、 0 的解的解. 12120ttABA B BBAB ABAB 證明：證明： r Bnr A12,tBBB可由可由Ax = 0的基礎(chǔ)解系線性表示的基礎(chǔ)解系線性表示.12,tBBB r Ar Bn 例例4. A Rs n, B Rn t. 若若AB=0, 則則 r(A)+r(B) n. r(A)n ()|An|=0 ()1 1 1 11 1 1 31 1 2 0 1 1/2 3 1/2 1/21 1 0 10 0 1 20 0 0 0 0 2/ 1 3213 0 432143214321xxxxxxxxxxxx1212341210 0,01 0,R.xxccxxc c 10121/21/2 32

5、1321321)(13)(10)(1xxxxxxxxx對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣(A, b)作初等作初等變換變換, 化為階梯陣化為階梯陣.本質(zhì)是解向量組的極大無(wú)關(guān)組本質(zhì)是解向量組的極大無(wú)關(guān)組, 秩為秩為n-r(A)初等行變換初等行變換 1212,nnAB 極大無(wú)關(guān)組不唯一，任兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都等價(jià)極大無(wú)關(guān)組不唯一，任兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都等價(jià),且含有相同個(gè)數(shù)且含有相同個(gè)數(shù)(秩秩)的向量的向量.命題：如果命題：如果中任意中任意個(gè)個(gè)無(wú)關(guān)的向量均為無(wú)關(guān)的向量均為的極大無(wú)關(guān)組的極大無(wú)關(guān)組. 12,siii 12,siii 初等行變換初等行變換 1212,nnAB 12,siii 12,siii 121211,ssi

6、iiiiiAB 12,siii 12,siii 12,siii 12,siii 初等行變換初等行變換 1212,nnAB 12,siii 12,siii 12,siii 12,siii 對(duì)應(yīng)的原矩陣的列對(duì)應(yīng)的原矩陣的列也是原矩陣也是原矩陣的的極大無(wú)關(guān)組極大無(wú)關(guān)組；初等行變換初等行變換 1212,nnAB 12,siii 12,siii 12121212ssjiisijiisikkkkkk 12,siii 12,siii 對(duì)應(yīng)的原矩陣的列對(duì)應(yīng)的原矩陣的列也是原矩陣也是原矩陣的的極大無(wú)關(guān)組極大無(wú)關(guān)組； 初等行變換初等行變換,AA(階梯陣階梯陣)若要將若要將非主列非主列用極大無(wú)關(guān)組用極大無(wú)關(guān)組線性表

7、示線性表示, 則要化則要化成成行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣. 對(duì)應(yīng)的原矩陣的列對(duì)應(yīng)的原矩陣的列也是原矩陣也是原矩陣的的極大無(wú)關(guān)組極大無(wú)關(guān)組；2 1 1 1 21 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9A 2 1 1 1 21 1 2 1 44 6 2 2 43 6 9 7 9A 10104011030001300000 本質(zhì)是解向量組的極大無(wú)關(guān)組本質(zhì)是解向量組的極大無(wú)關(guān)組, 秩為秩為n-r(A)1. 設(shè)設(shè)A是是6 5矩陣矩陣, 若若Ax= 的解空間是的解空間是2維的維的, 則則AT x= 的解空間是的解空間是 維的維的; 32. 設(shè)設(shè)x R3, r(A)=2, 是是Ax=b的解的解

8、,123, 123(1,1,1) ,(2,4,6)TTAx=b 20r AAx 的基礎(chǔ)解系有的基礎(chǔ)解系有1個(gè)解向量個(gè)解向量 23120A 0,2,4T 0,2,41,1,1,TTkkR Ax=b假若假若k1 + k2( 1+ ) + k3( 2+ ) = 0, 即即k1 = k2 = k3 = 0. 則則(k1 + k2 + k3) + k2 1 + k3 2 = 0.于是于是(k1 + k2 + k3) = k2 = k3 = 0,所以所以 , 1+ , 2+ 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān). 下證下證 , 1, 2線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).否則否則 能由能由 1, 2線性表示線性表示, 從而從而 是線性方程組是

9、線性方程組Ax = 0的解的解, 矛盾矛盾! 所以所以 , 1+ , 2+ 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān). 下證下證 , 1, 2線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).否則否則 能由能由 1, 2線性表示線性表示, 從而從而 是線性方程組是線性方程組Ax = 0的解的解, 矛盾矛盾! 11010 ,1111ab 2111101001011001A 所以所以r(A) = 1, 因而因而 = 1. 此時(shí)，此時(shí)，211111010000001000 0111 1012 11010 ,1111ab 不存在更多的線性無(wú)關(guān)的解向量不存在更多的線性無(wú)關(guān)的解向量, 試確定這時(shí)參試確定這時(shí)參數(shù)數(shù) 及及a的值的值, 并求這時(shí)并求這時(shí)Ax = b

10、的通解的通解.2. 若在若在Ax = b的解集中存在的解集中存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量?jī)蓚€(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量, 但但若在若在Ax = b的解集中存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解的解集中存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量向量, 但不存在更多的線性無(wú)關(guān)的解向量但不存在更多的線性無(wú)關(guān)的解向量, 則則Ax =0的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量. 所以所以r(A, b) = r(A) = 2. 此時(shí)此時(shí) = 1. 1111013/2,020 1010 1/211110002aA ba a = 2, 02/ 12/3101321cxxx11113120,132k 1111103/41/431

11、20011/43/4132000Akk 13/41/4,10 21/43/401 秩秩(A) = 2.3. 問(wèn)是否存在秩大于問(wèn)是否存在秩大于2的的M使得使得AM = O? 為什么為什么?3113 4004B 11113120,132k 秩秩(A) = 2.3. 問(wèn)是否存在秩大于問(wèn)是否存在秩大于2的的M使得使得AM = O? 為什么為什么? 1, 2由于任何一個(gè)滿足由于任何一個(gè)滿足AM = O的矩陣的矩陣M的的列向量組列向量組都可以由都可以由 1, 2線性表示線性表示, 因而不存在秩大于因而不存在秩大于2的矩陣的矩陣M使得使得AM = O. 所以這樣的矩陣所以這樣的矩陣M的秩一定的秩一定 2. 填空題選擇題：作為課