調和數(shù)列研究課件

1、 2、提出問題：、提出問題：H(n)是否收斂？是否收斂？ 我們借助于數(shù)學軟件我們借助于數(shù)學軟件Mathematica 對對H(n)的收斂性進的收斂性進行觀察。行觀察。 Step1 定義前定義前n項和項和H(n) Hn_:=Sum1/k,k,1,n Step2 列出列出H(n)隨隨n變化的數(shù)據(jù)表變化的數(shù)據(jù)表 t=Tablen,NHn,6,n,1,100nHn11.0000021.5000031.8333342.08333995.177381005.1873810007.48547100009.78761100000014.39273 Step3 根據(jù)數(shù)據(jù)表畫出根據(jù)數(shù)據(jù)表畫出H(n)的圖形的圖形

2、ph1=ListPlott204060801002345 通過對所得圖象的觀察和分析，我們發(fā)現(xiàn)它很接近對通過對所得圖象的觀察和分析，我們發(fā)現(xiàn)它很接近對數(shù)函數(shù)的圖象。我們把它與對數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)的圖象。我們把它與對數(shù)函數(shù) y=lnx 的圖象一起比的圖象一起比較一下。較一下。 Step4 與對數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) y=lnx 作比較作比較 ph2=PlotLogx,x,1,100 Showph1,ph22040608010012345 根據(jù)圖象比較的結果可以看出，當根據(jù)圖象比較的結果可以看出，當n很大時，很大時，H(n)的的圖象與圖象與ln(n)的圖象非常相似，但它們大致相差一個常數(shù)。的圖象非常相似，但它

3、們大致相差一個常數(shù)。這個常數(shù)約為這個常數(shù)約為 C=H(100)-ln100-ln1000.5822.0.5822. 我們將我們將 lnx 的圖象向上平移的圖象向上平移C個單位后再進行觀察。個單位后再進行觀察。 c1=H100-Log100-Log100 ph3=PlotLogx+c1,x,1,100 ph3=PlotLogx+c1,x,1,100 Showph1,ph3 Showph1,ph32040608010012345 猜測猜測1 調和數(shù)列的前調和數(shù)列的前n項和項和H(n)是發(fā)散數(shù)列，它的數(shù)值與是發(fā)散數(shù)列，它的數(shù)值與ln(n)+C 很接近。很接近。 猜測猜測2 數(shù)列數(shù)列H(n)- - l

4、n(n)可能是收斂的。可能是收斂的。 可以得到如下的數(shù)據(jù)表：可以得到如下的數(shù)據(jù)表： Step5 用計算數(shù)據(jù)作印證用計算數(shù)據(jù)作印證 對充分大的對充分大的n，計算，計算H(n)- -ln(n)的值：的值： t2=TableNn,Hn,Logn,Hn- -Logn,10, n,1000,10000,1000nH(n)ln(n)H(n)- -ln(n)10007.485470861 6.907755279 0.577715581620008.1783681047.60090245950.577465644130008.5837498908.006367568 0.577382322340008.871

5、3903008.29404964010.577340659750009.0945088538.5171931910.57731566160009.2768137448.6995147480.577298995970009.4309525208.8536654280.577287091880009.5644749848.98719682070.577278163690009.6822510769.1049798560.5772712194100009.7876060369.2103403720.5772656641 3、研究數(shù)列、研究數(shù)列H(n)- -ln(n)的收斂性的收斂性 Step1 令令

6、C(n)=H(n)- -ln(n)，通過圖象觀察其特性：，通過圖象觀察其特性： Cupn_ :=Hn- -Logn tup=Table n, NCupn,6,n,1,100 ph4=ListPlottup,PlotStyle-RGBColor0,0,1 Step2 令令c(n)=H(n)- -ln(n+1)，通過圖象觀察其特性：，通過圖象觀察其特性： Clown_ :=Hn- -Logn+1 tlow=Table n, NClown,6,n,1,100 ph5=ListPlottlow,PlotStyle-RGBColor1,0,0 Step3 比較比較C(n)和和c(n)，在同一坐標系中作出它們的圖象。，在同一坐標系中作出它們的圖象。 Showph4,ph5204060801000.520.540.560.580.62 通過觀察可知如下事實：通過觀察可知如下事實： 1、C(n)是單調遞減數(shù)列；是單調遞減數(shù)列； 2、c(n)是單調遞增數(shù)列；是單調遞增數(shù)列； 3、c(n) C(n)； 4、c(n)，C(n)都是收斂數(shù)列，而且它們有相同的極限。都是收斂數(shù)列，而且它們有相同的極限。 4、結論與