一元方程數(shù)值解法

1、第8章 一元方程數(shù)值解法是所要求的近似值。就為止。這時(shí)候值很接近，即直到前后兩次求出的。即：次的初值代入出的新值又作為下一。這樣一次一次的將求得代入再將。的第一次近似值等號(hào)的右邊，求出，把它代入上式定一個(gè)初值的范圍，給大致估計(jì)出一個(gè)根的表達(dá)式：改寫為求將是：一般迭代法的主要思想一般迭代法法。一般迭代法和牛頓迭代求解，主要有兩類：）的根，通過數(shù)值算法求一元方程11433221002110|-|)()()()()()() 3()2()()() 1 ( 1 . 8(nnnxxxxxxgxxgxxgxgxxgxxgxxxxxxxgxxxfxf次迭代后仍未收斂。經(jīng)輸出：，也就不再進(jìn)行下去，足若達(dá)到此次數(shù)

2、仍不能滿一個(gè)最高的循環(huán)次數(shù)，止的迭代下去，應(yīng)規(guī)定仍不收斂。為防止無休結(jié)果許多次迭代之后這樣一個(gè)問題：有可能在設(shè)計(jì)算法時(shí)，應(yīng)考慮。附近有一個(gè)根，設(shè)估計(jì)在：式子，可得到如下形式首先找出。例：用迭代法求解nxxxxxgxxxx|x-x|002/ ) 12()(0122n1n02323program Read(*,*)x,m Do 10 i=1,m X1=(-x*3-2*x*x-1)/2 If(abs(x-x1).gt.1e-6) then X=x1 Else Stop End if10 continue Write(*,*)x end程序運(yùn)行情況如下：1,20i=1 x1=-1.0000000i=2

3、 x1=-1.5000000i=3 x1=-1.5625000.i=19 x1=-1.5436890Stop(循環(huán)19次后，已滿足所給條件)。形式和初值擇不收斂。因此要恰當(dāng)選斂，對(duì)有的收，則可能對(duì)有的存在滿足對(duì)所有的收斂速度越快。如果不越小，均收斂，且對(duì)于任意的，那么為一個(gè)定數(shù)有，若且對(duì)所有的具有一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，而則不收斂。如果的，對(duì)有的是收斂對(duì)某些則不收斂，對(duì)同一個(gè)是收斂的，而有的有的可以寫出一下形式：的形式。例如本題中，可以寫出不同的應(yīng)當(dāng)說明：對(duì)同一個(gè)00000032323)(1q|(x)g|xg(x)x)1(qq|(x)g|)(),()()(122) 3(2) 12()2(2/ ) 12(

4、) 1 ()(),(xxgxxxqxxgxxxgxgxgxxxxxxxxxxgxxf)()(|),()6()()()5()()4()()()()()()()3()()()()2() 1 (0)( 2 . 811133322211122111221111110nnnnnnnxfxfxxxxxxfxxxxfxfxfxxfxfxxxxxfxfxxxxfxfxfxfxxxfxxxxxf頓迭代公式為：足夠接近于真實(shí)根。牛就認(rèn)為的根之差真正的根。當(dāng)兩次求出一直求下去，直到接近求出再通過。軸于的切線交作再通過。求出通過。故有。由于?？梢杂霉角蟪鲚S與的切線，交作過。于，交。在幾何上就是作求出通過的真實(shí)根的近

5、似根選一個(gè)接近于是這樣的：附近的一個(gè)實(shí)根的方法在用牛頓迭代法求牛頓迭代法。求出新的次一次地。這樣就能使用循環(huán)一就代表了和個(gè)變量。也就是說只要用兩，再求出新的始值值作為下一次迭代的初的將求出的下一個(gè)近似值。然后代表通過迭代求出的，代表代表代表迭代次數(shù)，的初始值，代表第一次編程思路：用求出：已知：附近的一個(gè)實(shí)根。在例：用牛頓迭代法求xxxxxxxxxxxxxffxffnxxxxxfxxxxfxxxxxfn,11) 1(1),1(1443)(142)(00142)(32122323program Read(*,*)x N=110 x1=x F=x1*3-2*x1*2+4*x1+1.0 F1=3*x1

6、*2-4*x1+4 X=x1-f/f1 Write(*,*)n,x1,x N=n+1 If(abs(x-x1).gt.1e-6)goto 10 end運(yùn)行過程記錄如下：1.0N=1 x1=1.0000000 x=-0.3333333N=2 x1=-0.3333333 x=-0.2287582N=3 x1=-0.2287582 x=-0.2225152N=5 x1=-0.2224945 x=-0.2224945間相當(dāng)小為止。不斷縮小范圍，直到區(qū)間。用這個(gè)辦法的中點(diǎn)，并舍棄一半?yún)^(qū)與區(qū)間，再取則說明根在同號(hào)，與間。如果”，并且再舍棄一半?yún)^(qū)的中點(diǎn)“與再找圍。的辦法再進(jìn)一步縮小范少了一半。然后用相同這樣

7、將尋找根的范圍減之間，號(hào)，說明實(shí)根在是否同符號(hào)，如果不同與，檢查點(diǎn)的中之間有一實(shí)根。取符號(hào)相反，說明和如果區(qū)間內(nèi)有無一個(gè)實(shí)根。，判斷和兩點(diǎn)其基本思路是：任意取二分法22121112121212121),()()(),()()(),(),()()(),( 3 . 8xxxxxfxfxxxxxxfxfxxxxxxfxfxxxx。取附近的一個(gè)實(shí)根，在例：用二分法求重復(fù)上述步驟。找中點(diǎn)再根據(jù)新的區(qū)間。這就舍棄了原，作為新的同號(hào)，則用與這個(gè)區(qū)間。如果原，這就舍掉了作為新的不同符號(hào)，則用與如果區(qū)間呢？怎樣做到“舍棄”一半5, 02016)(,)2(),()()(),()()() 1 (2132111122

8、1xxxxxxfxxxxxxxxfxfxxxxxfxfprogram Read(*,*)x1,x2 F1=x1*3-6*x1-1 F2=x2*3-6*x2-110 x=(x1+x2)/2 F=x*3-6*x-1 If(sign(f,f1).eq.f) then X1=x F1=f Else X2=x F2=f End if If(abs(x1-x2).gt.1e-5).and.$ (abs(f).gt.1e-6) goto 10 If(abs(f).gt.1e-6) x=(x1+x2)/2 Write(*,*) x end程序運(yùn)行結(jié)果:1.0, 5.0 x=2.52891702.0, 4.0

9、x=2.5289170。區(qū)間，應(yīng)舍去等于同號(hào)，則與。如果代替，以代替應(yīng)以為改變符號(hào)和值。此時(shí)后，同號(hào)，則執(zhí)行與。因此，如果的符號(hào)傳送給的作用是將，函數(shù)的作用是傳送符號(hào)說明：2, 2)2,()2,(211) 1,(11) 1,(ffxxxxfffsignffffxxfffsignffffffsignsign分法采用的方法相同。是否同符號(hào)的方法與二與判別：?？捎孟率角蟪鳇c(diǎn)為軸，設(shè)交線必然交與異號(hào)，則它們之間的聯(lián)與如果與二分法相同。舍去一個(gè)。取舍的方法二個(gè)區(qū)間中與，從軸的交點(diǎn)聯(lián)線與與取。弦截法則是后從中舍棄一半的區(qū)間每次取區(qū)間的中點(diǎn)，然點(diǎn)不同，二分法二分法”相似，只有一弦截法的基本思路與“弦截法)()()()()()()(),(),()()( 4 . 821212122212121xfxfxfxfxfxxxxxxxxfxfxxxxxxxfxf為止。的值不超過求出的。要求進(jìn)行到先后二次例：用弦截法求根：623100472xxxx10 Read(*,*)x1,x2 F1=x1*3-2*x1*2+7*x1+4 F2=x2*3-2*x2*2+7*x2+4 If(sign(f1,f2).eq.f1) goto 10 F=1.020 if(abs(x1-x2).gt.1e-5).and.(abs(f).gt.1e-6) then x=x2-(x2-x1)/(f2-f1)*f2 f=x*3-2