2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程4.3空間直角坐標(biāo)系學(xué)案(含解析)新人教A版必修

1、4.3空間直角坐標(biāo)系提出問題nA(1) 如圖數(shù)軸上A點(diǎn)，B點(diǎn).1廠(2) 如圖在平面直角坐標(biāo)系中，P, Q點(diǎn)的位置.bmy靑111 0Q八a(3)如圖是一個房間的示意圖，我們?nèi)绾伪硎景宓屎蜌馇虻奈恢?問題 1:上述(1)中如何確定A,B兩點(diǎn)的位置？ 提示：利用A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo) 2 和一 2.問題 2: 上述中如何確定P,Q兩點(diǎn)的位置？提示：利用P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)(a,b)和(m n).問題 3：對于上述(3)中，空間中如何表示板凳和氣球的位置？ 提示：可借助于平面坐標(biāo)系的思想建立空間直角坐標(biāo)系，如圖示.導(dǎo)入新知1空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1) 空間直角坐標(biāo)系：從空間某一定點(diǎn)引三條兩兩垂直，且有相

2、同單位長度的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz.空間直角坐標(biāo)系的建立及坐標(biāo)表示層析教材.新知無師自逋-2 -(2) 相關(guān)概念：點(diǎn)0叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸.通過每兩個坐標(biāo)軸的平 面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面.2 .右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向X軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z_軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.3 .空間一點(diǎn)的坐標(biāo)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作Mx,y,z).其中x叫點(diǎn)M的橫坐

3、標(biāo)，y叫點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫點(diǎn)M的豎坐標(biāo).化解疑難1 .空間直角坐標(biāo)系的建立建立空間直角坐標(biāo)系時，要考慮如何建系才能使點(diǎn)的坐標(biāo)簡單、便于計算，一般是要使盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，對于長方體或正方體，一般取相鄰的三條棱所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.2 .空間直角坐標(biāo)系的畫法(1)x軸與y軸成 135 (或 45 ) ,x軸與z軸成 135 (或 45 ).1(2)y軸垂直于z軸、y軸和z軸的單位長相等，x軸上的單位長則等于y軸單位長的3 .特殊點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示如下點(diǎn)的位置X軸y軸z軸xOy平面yOz平面xOz平面坐標(biāo)表小(x,0,0)(0 ,y,0)(0,0 ,z)(x,

4、y,0)(0 ,y,z)(X,0 ,z)提出問題(1) 已知數(shù)軸上A點(diǎn)的坐標(biāo) 2,B點(diǎn)的坐標(biāo)一 2.(2) 已知平面直角坐標(biāo)系中P(a,b) ,Qm n).問題 1 ：如何求數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離？提示：|AB= IX1X2I = |X2X1|.問題 2：如何求平面直角坐標(biāo)系中P,Q兩點(diǎn)間距離？提示：d=|PQ=, am2+bn2.問題 3:若在空間中已知P(X1,y1, z ,F2(X2,y2,Z2)，如何求|PF2|? 提示：與平面直角坐標(biāo)系中空間兩點(diǎn)間的距離公式-3 -兩點(diǎn)的距離求法類似.導(dǎo)入新知1.點(diǎn)P(x,y,z)到坐標(biāo)原點(diǎn)00,0,0)的距離|Op=,x2+y2+z2.2 .任意兩點(diǎn)P

5、(X1,y1,Z1) ,P2(X2,y2,Z2)間的距離 |P1F2|-4 -寸XiX22+yiy22+ 乙一z2.化解疑難1 空間兩點(diǎn)間的距離公式可以類比平面上兩點(diǎn)間的距離公式，只是增加了對應(yīng)的豎坐標(biāo) 的運(yùn)算.例 i如圖，在長方體ABCD-AiBGD中，E,F分別是棱BC CG上的點(diǎn)，|CF= |AB=2|CE, |AB： |AD： |AA| = i : 2 : 4.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出E,F點(diǎn)的坐標(biāo).解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB AD AA的方向分別為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如 圖所示.分別設(shè) |AB= i , |AQ= 2, |AA| = 4,則|CF= |AB= i,ii|CE=

6、2|AB= 2，i 3 所以 |BE=|BC |CE= 22=2.所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ii, 3, 0，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(i,2,i)類題通法空間中點(diǎn)P坐標(biāo)的確定方法(i)由P點(diǎn)分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、z軸于點(diǎn)Px、Py,R，這三個點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別為x,y,z,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)就是(x,y,z).(2)若題所給圖形中存在垂直于坐標(biāo)軸的平面，或點(diǎn)P在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上，則要充分2 空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)A(xi, yi,zi)，B(X2,y2,Z2)，則AB中點(diǎn)Zi+Z2.21突1題型一 空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定17V-yi+y22 ，頓定考向.考題千變不離梵宗-

7、5 -利用這一性質(zhì)解題.活學(xué)活用如圖所示，V-ABCD是正棱錐，0為底面中心，E,F分別為BC CD的中點(diǎn)已知|AB=2, |V0=3，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，試分別寫出各個頂點(diǎn)的坐標(biāo).-6 -解：底面是邊長為 2 的正方形,ICE= |CR= 1.0點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，C(1,1,0)，同樣的方法可以確定B(1 , - 1,0) ,A 1, - 1, 0) ,D 1,1,0) V 在 z 軸上，- V(0,0,3)空間中點(diǎn)的對稱例 2 (1)點(diǎn)A(1,2 , - 1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy及x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 _ (2)已知點(diǎn)只 2,3 , - 1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點(diǎn)為R,點(diǎn)P關(guān)于坐

8、標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)為P2,點(diǎn)F2關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)為P3,則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為 _答案(1)(1,2,1), (1 , - 2,1)(2 , - 3,1)類題通法1 .求空間對稱點(diǎn)的規(guī)律方法空間的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題，要掌握對稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解對稱點(diǎn)的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個結(jié)論.(1)空間直角坐標(biāo)系中，任一點(diǎn)F(x,y,z)的幾種特殊對稱點(diǎn)的坐標(biāo)如下: 關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P( x, y, z);關(guān)于x軸(橫軸)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于y軸(縱軸)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于z軸(豎軸)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于xOy坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于

9、yOz坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于xOz坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是F2(x,-y,z)；F3( -x,y,一z)；珂-x,-y,z)；P5(x,y,一z)；P6(x,y,z)；P7(x,-y,z) 活學(xué)活用1 .在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)R3,1,5)關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()-7 -2 .點(diǎn) R 3,2， 1)關(guān)于平面xOy的對稱點(diǎn)是 _，關(guān)于平面yOz的對稱點(diǎn)是 _關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是 _，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是 _ .答案：(一 3,2,1)(3,2 , 1)( 3, 2,1)(3,2,1)空間中兩點(diǎn)間的距離例 3如圖，已知正方體ABCDA B C D的棱長為a.Ml為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC

10、上，且| AN= 3|NC|，試求|MN的長.由于M為BD的中點(diǎn)，取A C的中點(diǎn)O,根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式，可得|MN=類題通法求空間兩點(diǎn)間的距離時，一般使用空間兩點(diǎn)間的距離公式，應(yīng)用公式的關(guān)鍵在于建立適 當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的坐標(biāo)的方法視具體題目而定，一般說來，要轉(zhuǎn)化到 平面中求解，有時也利用幾何圖形的特征，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的知識確定.活學(xué)活用A. ( 3,1,5)C. (3 , 1, 5)答案：AB. ( 3, 1,5)D. ( 3,1， 5)解由題意應(yīng)先建立坐標(biāo)系，以因?yàn)檎襟w的棱長為a,D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.所以 0a,a,0) ,A(a,0,a),C(

11、0,a,a), D (0,0 ,a).因?yàn)閨AN= 3|NC|，所以N為A C的四等分點(diǎn)，從而N為O C的中點(diǎn)，故a.34a,_64-8 -如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為a的正方體ABCDABCD,AQ的中點(diǎn)E到AB的中點(diǎn)F的距離為()-9 -A. 2aC. a答案：B1D.qa儲補(bǔ)短板.拉分題一分不丟典例如圖，三棱柱ABGABC中，所有棱長都為ABC建立適當(dāng)坐標(biāo)系寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo).解析 取AC的中點(diǎn)0和AG的中點(diǎn)O,可得BCLAC分別以0B 0C 00所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)槿庵?棱長均為 2,所以0A= 0C=1, 0B=，3,可得A(0 , 1,0)，

12、耳.3, 0,0), qo,1,o),Ai(0， 1,2) ,B(73, 0,2) ,C(0,1,2).易錯防范1.解答此題不是以0B 0C 00所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，而 是以AB ACAA所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而錯誤地求出A(0,0,0),耳 2,0,0) ,C(0,2,0).2 .求空間點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)鍵是建立正確的空間直角坐標(biāo)系，這也是正確利用坐標(biāo)求解此類問題的前提建立空間直角坐標(biāo)系時要注意坐標(biāo)軸必須是共點(diǎn)且兩兩垂直，且符合右手法則.成功破障如圖，在棱長為 1 的正方體ABCDABCD中，以正方體的三條棱所在 直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系0

13、xyz.(1)若點(diǎn)P在線段BD上，且滿足 3|BR= |BD|，試寫出點(diǎn)P的坐標(biāo), 并寫出P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)；在線段GD上找一點(diǎn)M使點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).12.空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用誤區(qū)-10 -,2 2（22V解：由題意知P的坐標(biāo)為 3，3, 3，P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為一 3，3， 3 .設(shè)線段GD上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0 ,mm,答案：A答案：Az軸上有一點(diǎn)P，使|PA= IPB，則點(diǎn)P的坐標(biāo)答案：（0,0,6）4.在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCDA1BCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3， 1,2），其中心M的坐標(biāo)為（0,1,2），則該正方體的棱長為答案：穿5如圖所示，直三

14、棱柱ABCABC中，|Cq= |CB= |CA= 2,ACL CB D E分別是棱AB B1C的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，求DE EF的長度.所以點(diǎn)M為 0，1 12，2 .LUJ旦腳自主演練，百煉方成鋼隨堂即時演練1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F（3,4,5A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于xOy平面對稱C.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱D. 以上都不對2 .在空間直角P 2,1,4)關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（A. ( 2,1， 4)B.(2， 1， 4)C. (2 ， 1,4)D. (2,1， 4)3 .已知點(diǎn)A(4,5,6)，B( 5,0,10)，在-11 -12 -答案：IDE= & |EH=李課時達(dá)標(biāo)

15、檢測一、選擇題1 .在空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(a,b,c)，有下列敘述：點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于橫軸(x軸) 的對稱點(diǎn)是R(a,b,c)；點(diǎn)P(a, b,c)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為R(a,b,c)；點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點(diǎn)是P3(a,b,c)；點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的 對稱點(diǎn)為P4( a,b,c).其中正確敘述的個數(shù)為()A. 3B. 2C. 1D. 0答案：C2.若點(diǎn)P( 4, 2,3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy及y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(a,b,c) , (e,f,d)，則c與e的和為()A. 7B. 7C. 1D. 1答案：D3 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(1，葦

16、 2,3)，過P點(diǎn)作平面xOy的垂線PQ Q為垂足，貝 U Q 的坐標(biāo)為()A. (0 ,2, 0)B. (0 ,2,3) jC. (1,0 ,. 3)D. (1 ,.2, 0)答案：D4 .點(diǎn)A(1,2 , 1)，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于面xOy對稱，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，則|BC的值為()A. 2 5B. 4C. 2 2D. 2 7答案：B5 .已知點(diǎn)A(x,1,2)和點(diǎn)B(2,3,4)，且|AE| = 2 6，則實(shí)數(shù)x的值是()A. 3 或 4B. 6 或 2C. 3 或4D. 6 或2答案：D二、填空題6 .已知A(4,3,1), 07,1,2),C(5,2,3)，則ABC是三角形.(填三角形的形狀)答案：等腰-13 -7已知A(1 -1,1 -1,t) ,B(2 ,t,t)，則 |AE| 的最小值為答案：355518.在棱長為 1 的正方體ABCDABCD中，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，G在棱CD上 ,且|CG= 4ICD,E為CiG的中點(diǎn)，貝U EF的長為答案：罟三、解答題T|DD|=|CC|=|AA|=2,C(3,3,2),D(0,3,2)./N為CD的中點(diǎn),N, 3 , 1 .M是AC的三分之一分點(diǎn)且靠近在平面yOz內(nèi)，且ZBDC=90,Z在 RtBDC中,ZBDC=90,|CD=3 , |DE= |CDsin 30=-2, |OE= |OB-|BE= |OB-|BQcos 60點(diǎn)D