高中數(shù)學(xué)《用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1》課件新人教B版必修

1、2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（一）總體的數(shù)字特征（一） 一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) （1）眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最）眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)或出現(xiàn)次數(shù)最多的大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)或出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)。那個(gè)數(shù)據(jù)。（2）中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，累計(jì)頻率為）中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，累計(jì)頻率為0.5時(shí)所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)或?qū)?shù)據(jù)按大小時(shí)所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)或?qū)?shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)（如果數(shù)據(jù)的個(gè)排列，位于最中間的數(shù)據(jù)（如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取當(dāng)中兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作數(shù)為偶數(shù)，就取當(dāng)中兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)）。為

2、中位數(shù)）。（3）平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，）平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即即123nxxxxxn例例1. 從某大型企業(yè)全體員工某月的月工資從某大型企業(yè)全體員工某月的月工資表中隨機(jī)抽取表中隨機(jī)抽取50名員工工資資料如下：名員工工資資料如下： 800 800 800 800 800 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1500 15

3、00 1500 1500 1500 1500 1500 2000 2000 2000 2000 2000 25002500 2500計(jì)算這計(jì)算這50個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)，個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)，并估計(jì)這個(gè)企業(yè)員工的平均工資。并估計(jì)這個(gè)企業(yè)員工的平均工資。解：眾數(shù)是解：眾數(shù)是1200，中位數(shù)是，中位數(shù)是1200， 平均數(shù)是這平均數(shù)是這50個(gè)數(shù)值的和除以個(gè)數(shù)值的和除以50得得1320. 估計(jì)這個(gè)企業(yè)員工的平均工資是估計(jì)這個(gè)企業(yè)員工的平均工資是1320元元. 所以用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)所以用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)是是1320元。元。 同樣，再隨機(jī)抽取同樣，再隨機(jī)抽取50名

4、員工的工資，名員工的工資，計(jì)算所得的樣本平均數(shù)一般會(huì)與例計(jì)算所得的樣本平均數(shù)一般會(huì)與例1中的中的樣本平均數(shù)不同。樣本平均數(shù)不同。 所以用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均所以用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)時(shí)，樣本的平均數(shù)只是總體的平均數(shù)數(shù)時(shí)，樣本的平均數(shù)只是總體的平均數(shù)的近似值。的近似值。 下面我們用來看樣本平均數(shù)與樣本頻下面我們用來看樣本平均數(shù)與樣本頻率直方圖的聯(lián)系。率直方圖的聯(lián)系。我們知道我們知道,n個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)123nxxxxxn則有則有nx=x1+x2+xn.也就是把每個(gè)也就是把每個(gè)xi(i=1,2,3,n)都用都用x代替代替后，數(shù)據(jù)總和保持不變。后，數(shù)據(jù)總和保持不變。

5、 所以平均數(shù)所以平均數(shù)x對(duì)數(shù)據(jù)有對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊取齊”的作用，的作用，代表一組數(shù)據(jù)的數(shù)值平均水平。代表一組數(shù)據(jù)的數(shù)值平均水平。 在頻率分布直方圖中，平均數(shù)是直方圖在頻率分布直方圖中，平均數(shù)是直方圖的平衡點(diǎn)，假設(shè)橫軸是一塊放置直方圖的的平衡點(diǎn)，假設(shè)橫軸是一塊放置直方圖的蹺蹺板，則支點(diǎn)取在平均數(shù)處時(shí)蹺蹺板達(dá)蹺蹺板，則支點(diǎn)取在平均數(shù)處時(shí)蹺蹺板達(dá)到平衡。到平衡。例例2.某工廠人員及工資構(gòu)成如下：某工廠人員及工資構(gòu)成如下： 人員人員經(jīng)理經(jīng)理管理人管理人員員高級(jí)技高級(jí)技工工工人工人學(xué)徒學(xué)徒合計(jì)合計(jì)周工資周工資2200250220200100人數(shù)人數(shù)16510123合計(jì)合計(jì)220015001100200010

6、06900（1）指出這個(gè)問題中的眾數(shù)、中位數(shù)、）指出這個(gè)問題中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；平均數(shù)；（2）這個(gè)問題中，平均數(shù)能客觀地反映）這個(gè)問題中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的工資水平嗎？為什么？該工廠的工資水平嗎？為什么？ 解解：（：（1）由表格可知：眾數(shù)為由表格可知：眾數(shù)為200，中，中位數(shù)為位數(shù)為220。平均數(shù)為。平均數(shù)為300（元（元/周）。周）。（2）雖然平均數(shù)為）雖然平均數(shù)為300元元/周，但由表格周，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的用平均數(shù)不

7、能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平工資水平.三種數(shù)字特征的比較三種數(shù)字特征的比較 :（1）樣本）樣本眾數(shù)眾數(shù)通常用來表示通常用來表示分離變量的分離變量的中心值中心值，容易計(jì)算，但是它只能表達(dá)樣本，容易計(jì)算，但是它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息，通常用于描述數(shù)據(jù)中的很少一部分信息，通常用于描述分離變量的中心位置；分離變量的中心位置；（2）中位數(shù)中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)的影不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)的影響，容易計(jì)算，它僅利用了數(shù)據(jù)中響，容易計(jì)算，它僅利用了數(shù)據(jù)中排在中排在中間間的數(shù)據(jù)的信息。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差，的數(shù)據(jù)的信息。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差，即存在一些錯(cuò)誤數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)該用抗極端數(shù)即存在一些錯(cuò)誤數(shù)

8、據(jù)時(shí)，應(yīng)該用抗極端數(shù)據(jù)強(qiáng)的中位數(shù)表示數(shù)據(jù)的中心值。據(jù)強(qiáng)的中位數(shù)表示數(shù)據(jù)的中心值。（3）平均數(shù)平均數(shù)受樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的影受樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，響，“越離群越離群”的數(shù)據(jù)，對(duì)平均數(shù)的影響的數(shù)據(jù)，對(duì)平均數(shù)的影響也越大，與眾數(shù)和中位數(shù)相比，平均數(shù)代也越大，與眾數(shù)和中位數(shù)相比，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比表了數(shù)據(jù)更多的信息，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置較差時(shí)，使用平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差。可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差。 在體育、文藝等各種比賽的評(píng)分中，在體育、文藝等各種比賽的評(píng)分中，使用的是平均數(shù)。計(jì)分過程中采用使用的是平均數(shù)

9、。計(jì)分過程中采用“去去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”的方的方法，就是為了防止個(gè)別裁判的人為因素法，就是為了防止個(gè)別裁判的人為因素給出過高或過低的分?jǐn)?shù)對(duì)選手的得分造給出過高或過低的分?jǐn)?shù)對(duì)選手的得分造成較大的影響，從而降低誤差，盡量保成較大的影響，從而降低誤差，盡量保證公平性。證公平性。（4）如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，）如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值。之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值。在實(shí)際應(yīng)用中，如果在實(shí)際應(yīng)用中，如果同時(shí)知道樣本中位同時(shí)知道樣本中位數(shù)和樣本平均

10、數(shù)數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息，幫助我們作出數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息，幫助我們作出決策。決策。例例3. 右面是某校學(xué)右面是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間的抽生日睡眠時(shí)間的抽樣頻率分布表（單樣頻率分布表（單位：位：h），試估計(jì)該），試估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間。眠時(shí)間。睡眠時(shí)間睡眠時(shí)間 人數(shù)人數(shù)頻率頻率6, 6.5)50.056.5, 7)170.177, 7.5)330.337.5, 8)370.378, 8.5)60.068.5, 920.021001解解1：總睡眠時(shí)間約為：總睡眠時(shí)間約為 6.255+6.7517 +7.2533+7.7537

11、+8.256+8.752 =739(h) 故平均睡眠時(shí)間約為故平均睡眠時(shí)間約為7.39h解解2：求各組：求各組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和，的和，6.250.05+6.750.17+7.250.33+7.7537+8.250.06+8.750.02 =7.39(h) 估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間約為估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間約為7.39h例例4. 某單位年收入在某單位年收入在10000到到15000、15000到到20000、20000到到25000、25000到到30000、30000到到35000、35000到到40000及及40000到到50000元之間的職工所占的比分別元之間的職工所占的比分別為為10%，15%，20%，25%，15%，10%和和5%，試估計(jì)該單位職工的平均年收入。，試估計(jì)該單位職工的平均年收入。 解：估計(jì)該單位職工的平均年收入為解：估計(jì)該單位職工的平均年收入為 1250010%+1750015%+2250020%+2750025%+3250015%+3750010%+450005%=26125(元元)答：估計(jì)該單位人均年收入約為答：估計(jì)該單位人均年收入