初中數(shù)學(xué)思想方法匯總

1、初中數(shù)學(xué)思想方法的概念、種類及滲透策略分析分類討論思想一、分類討論思想的意義當(dāng)我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)由于被研究對(duì)象的屬性不同，影響了研究問題的結(jié)果，因而需對(duì)不同屬性的對(duì)象進(jìn)行分類研究;或者由于在研究問題過程中出現(xiàn)了不同情況，因而需對(duì)不同情況進(jìn)行分類研究.通過分類討論，常能化繁為簡，更清楚地暴露事物的本質(zhì)，并增加條件， “分類討論”,簡言就是先分類，后討論。閱讀大綱和教材會(huì)發(fā)現(xiàn),初中數(shù)學(xué)對(duì)分類討論本著先易后難、循漸進(jìn)的原則,把“分類討論思想”分兩個(gè)層次,即“分類思想”和“討論思想” 。 分類思想在初中數(shù)學(xué)占有相當(dāng)要的地位,通過教學(xué)應(yīng)使學(xué)生確立類思想,學(xué)會(huì)分類方法 , 而“討論思則要求通過有關(guān)

2、知識(shí)的傳授起到潛默化的作用。 分類討論是一種邏輯方法,也是一種數(shù)學(xué)思想。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性,能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性,所以在試題中占有重要的位置。二、分類討論的一般步驟是：明確討論對(duì)象,確定對(duì)象的全體確定分類標(biāo)準(zhǔn),正確進(jìn)行分類逐步進(jìn)行討論,獲取階段性結(jié)果歸納小結(jié),綜合得出結(jié)論。三、分類討論思想的分類原則：分類討論必須遵循原則進(jìn)行，在初中階段，我們經(jīng)常用到的有以下4 大原則 :(1)同一性原則(2)互斥性原則(3)相稱性原則(4)多層次性原則四 、 七年級(jí)數(shù)學(xué)中體現(xiàn)分類討論思想的知識(shí)點(diǎn)上冊(cè)：1、 含字母式子的絕對(duì)值的化簡2、 過平面內(nèi)的點(diǎn)畫直線的條數(shù)3

3、、 線段、 角的計(jì)算4、立體圖形異面點(diǎn)之間的最短距離5、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離6、分段計(jì)費(fèi)問題。下冊(cè)：1、兩邊分別平行的兩角的關(guān)系2、正數(shù)的平方根3、實(shí)數(shù)的分類4、坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)5、P112第10 題6、解字母系數(shù)的不等式7、借助不等式(組)的正整數(shù)解討論方案設(shè)計(jì)問題。五、典型例題例1. ( 2011 浙江中考)解關(guān)于x 的不等式組：a(x 2)> x 3(9 a x) >9a+8例 2 已知直線AB 上一點(diǎn)C，且有CA=3AB ，則線段CA 與線段 CB 之比為_或 。練習(xí)：已知A、 B、 C 三點(diǎn)在同一條直線上，且線段AB=7cm ，點(diǎn) M 為線段 AB 的中點(diǎn)，線段 BC=3

4、cm ，點(diǎn) N 為線段 BC 的中點(diǎn)，求線段MN 的長 .例 2 下列說法正確的是()A、 兩條線段相交有且只有一個(gè)交點(diǎn)。B、如果線段AB=AC 那么點(diǎn) A 是 BC 的中點(diǎn)。C、兩條射線不平行就相交。D、不在同一直線上的三條線段兩兩相交必有三個(gè)交點(diǎn)。 與角有關(guān)的分類討論思想的應(yīng)用 角的一邊不確定性引發(fā)討論。例 3 在同一平面上，AOB=70 °， BOC=30 °，射線 OM 平分 AOB ， ON 平分 BOC，求 MON 的大小。練習(xí) 已知 AOB=6 0° ,過 O作一條射線OC， 射線 OE 平分 AOC ， 射線 OD 平分 BOC，求 DOE 的大小

5、 例 4 化簡 x 5 2x 3練習(xí)：設(shè)a 是有理數(shù)，求a+ a 的值例 5：甲、乙兩人騎自行車，同時(shí)從相距75km 的兩地相向而行，甲的速度為15km/n，乙的速度為 10km/n ，經(jīng)過多少小時(shí)甲、乙兩人相距25km？例 6：在同一圖形內(nèi)，畫出AOB=60 °， COB=50 °， OD 是 AOB 的平分線，OE 是COB 的平分線，并求出DOE 的度數(shù)頂點(diǎn)B， 怎樣爬行路線最短？如果要爬行到頂點(diǎn)例7：如圖，長方體的長寬高分別為3、 4、 5，一只螞蟻長方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿表面爬行到六 、 練習(xí)題（菁優(yōu)網(wǎng)期末考試題精選）1. 閱讀下列內(nèi)容后，解答下列各題：幾個(gè)不等于定例

6、如：考查代數(shù)式（x-1 ）（x-2 ）的值與0 的大小當(dāng)x<1 時(shí)，x-1 <0，x-2 <0，（x-1 ）（x-2 ）>0當(dāng) 1<x< 2時(shí)， x-1 > 0， x-2 <0，（x-1 ）（x-2 ）<0當(dāng)x>2 時(shí)，x-1 >0，x-2 >0，（x-1 ）（x-2 ）>0綜上：當(dāng)1 < x< 2 時(shí)，（x-1 ）（x-2 ）<0當(dāng)x<1 或x> 2 時(shí)，（x-1 ）（x-2 ）>01 ）填寫下表：（用“+”或“- ”填入空格處）2）由上表可知，當(dāng)x 滿足時(shí)，（x+2）（x+1

7、）（x-3 ）（x-4 ）0；3）運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，直接寫出當(dāng)x 滿足時(shí)，（x-7 ）（x+8）（x-9 ）0x< -2-2 <x< -1-1 < x<33< x< 4x> 4x+2-+x+1-+x-3-+x-4-+（ x+2 ） （ x+1 ） （ x-3 ） （ x-4 ）+-2 已知 動(dòng)點(diǎn)P 以每 秒 2cm的 速 度 沿圖 甲 的 邊 框 按 從B? C? D? E? F? A 的路 徑移 動(dòng)， 相應(yīng)的 ABP 的 面積 S 與時(shí) 間 t 之 間 的 關(guān)系 如 圖 乙 中 的 圖 象 表 示 若AB=6cm試回答下列問題：1） ）圖甲中的

8、BC長是多 少 ？2） 圖乙中的a 是多少？3） 圖甲中的圖 形面積的 多 少 ？4） 圖乙中的b 是多少？3 某 學(xué) 校 計(jì) 劃 購 買 若 干 臺(tái) 電 腦 ， 現(xiàn) 從 兩 家 商 場(chǎng) 了 解 到 同 一 種 型 號(hào) 電 腦 每 臺(tái) 報(bào) 價(jià) 均 為 6000 元 ， 并 且 多 買 都 有 一 定 的 優(yōu) 惠 ， 甲 商 場(chǎng) 的 優(yōu) 惠 條 件 是 ： 第 一 臺(tái) 按 原 價(jià) 收 費(fèi) ， 其 余 每 臺(tái) 優(yōu) 惠 25% ； 乙 商 場(chǎng) 優(yōu) 惠 的 條 件 是 ： 每 臺(tái) 優(yōu) 惠 20%1） 什么情況下到甲商場(chǎng)購買更優(yōu)惠 ？2） 什么情況下到乙商場(chǎng)購買更優(yōu)惠 ？3） 什么情況下兩家商場(chǎng)的收費(fèi)相

9、同 ？4 為 增 強(qiáng) 公 民 的 節(jié) 約 意 識(shí) ，合 理 利 用 天 然 氣 資 源 ，某 市 自 1 月 1 日 起 對(duì) 市 區(qū) 民 用 管道天然氣價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，實(shí)行階梯式氣價(jià)，調(diào)整后的收費(fèi)價(jià)格如表所示：每月用氣量單價(jià)不 超 出 75m3的 部 分32.5 元 /m超 出75m3 不 超 出 125m3 的 部 分2.75 元 /m3超 出 125m3的 部 分3 元 /m 31 ）甲用戶1 月份的 用 氣 量 為 145m3，應(yīng) 繳 費(fèi) 多 少 元 ？2）乙用戶2、3月 份 共 用 氣 175m3（2月 份 用 氣 量 超 過 3 月 份 ） ， 共 繳 費(fèi) 455， 乙 用 戶 2、

10、3月 份 的 用 氣 量 各 是 多 少 ？5如圖 ，在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ，A（a，0），B（b，0），C（-1 ，2），且|2a+b+1|+（ a+2b-4 ） 2=0 （1） 求a， b的 值 ；1（2） 在y 軸 上存 在 一 點(diǎn) M，使 COM的面 積 = 2 ABC的 面 積 ， 求 點(diǎn) M的坐 標(biāo) 數(shù)學(xué)建模思想一、數(shù)學(xué)建模思想的意義數(shù) 學(xué) 建 模 思 想 ，就 是 通 過 對(duì) 實(shí) 際 問 題 的 分 析 ，抓 住 其 本 質(zhì) ，聯(lián) 想 相 應(yīng) 的 知 識(shí) ，建 立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。二、已學(xué)模型1 、一 元 一 次 方 程 ； 2 、二 元

11、 一 次 方 程 的 整 數(shù) 解 、正 整 數(shù) 解 ； 3 、二 元 一 次 方 程 組 ；4、不 等 式（ 組 ） ； （ 正 整 數(shù) 解 ） 5、假 設(shè) 法 ； （ 雞 兔 同 籠 ） 6、用 樣 本 數(shù) 據(jù) 估 計(jì) 總 體相 應(yīng) 的 數(shù) 據(jù) 。7、列 舉 法 ； 8、 算 術(shù) 法 ；三、方法在 分 析 各 種 實(shí) 際 問 題 ，抓 其 本 質(zhì) 的 過 程 中 ， 了 解 各 類 問 題 的 生 活 背 景 ， 感 受數(shù)學(xué)模型在社會(huì)日常生活中的廣泛應(yīng)用，積累數(shù)學(xué)背景知識(shí)，體會(huì) 數(shù)學(xué)閱讀與文 學(xué) 閱 讀 的 區(qū) 別 （ 數(shù) 學(xué) 閱 讀 是 量 的 分 析 ， 文 學(xué) 閱 讀 是 字 詞 的

12、理 解 ）， 提 高 閱 讀 有 數(shù) 學(xué)背景的材料的能力，培養(yǎng)用合適的數(shù)學(xué)模型解決問題的能力。四、典型題目（精選于菁優(yōu)網(wǎng)七年級(jí)期末考試試卷）感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣闊背景吧！經(jīng)歷選模、建模、解決問題的過程。1 根據(jù)圖中給出的信息，解 答 下列問題：（ 1 ）放入一個(gè)小球水面升高 cm，放入一個(gè)大 球 水 面 升高cm；（ 2）如果要使水面上升到50cm，應(yīng)放入大球 、 小 球 各多少個(gè)？2 某鎮(zhèn)水庫的可用水量為12000萬m 如圖所示，在桌面上放著A、B 兩個(gè)正方形，共 遮 住 了27cm 2的面 積 ， 若 這兩個(gè) 正方形重疊部分的面積為3cm2，且正 方形B 除重疊 部 分 外的 面 積是 正 方

13、 形A除重 疊部分外的面積的2倍，則正 方形A的面積 是4 如 圖 ， 將 正 方 形 ABCD的 一 角 折 疊 ， 折 痕 為 AE， FAD比 FAE 大 48 °，設(shè) FAE 和 FAD的 度 數(shù) 分 別 為 x°，y°，那么 x， y 所適合的一個(gè)方程組是（ ），假設(shè)年降水量不變 ， 能 維 持 該 鎮(zhèn) 16 萬人20年的用水量為實(shí)施城鎮(zhèn) 化建設(shè)，新遷入了4萬人后 ， 水 庫 只 能 夠 維 持 居民15年的用水量（1 ）問：年降水量為多少萬m3？每人年平均用水量多少m3？（ 2）政府 號(hào) 召 節(jié) 約 用 水 ，希 望 將 水 庫 的 使 用 年 限 提

14、 高 到 25 年 則 該 鎮(zhèn) 居 民 人 均每 年 需 節(jié) 約 多 少 m3 水 才 能 實(shí) 現(xiàn) 目 標(biāo) ？（ 3）某企 業(yè) 投 入 1000 萬 元 設(shè) 備 ，每 天 能 淡 化 5000m 3 海 水 ，淡 化 率 為70%每淡化1m3海 水 所 需的 費(fèi) 用 為 1.5 元， 政府 補(bǔ) 貼 0.3元 企 業(yè) 將 淡 化水 以 3.2元 /m 3的價(jià) 格出 售 ， 每年 還 需 各 項(xiàng) 支 出 40萬 元 按 每年 實(shí) 際 生 產(chǎn) 300天 計(jì) 算 ，該 企 業(yè)至少幾年后能收回成本（結(jié)果精確到個(gè)位）？5 某 電 信 局 現(xiàn) 有 300 部 已 申 請(qǐng) 裝 機(jī) 的 電 話 等 待 裝 機(jī)

15、假 設(shè) 每 天 新 申 請(qǐng) 裝 機(jī) 的 電 話 部數(shù)相同，該電信局每個(gè)電話裝機(jī)小組每天裝的電話部數(shù)也相同，那么安排3 個(gè) 裝 機(jī) 小 組 ，恰 好 30 天 可 將 需 要 裝 機(jī) 的 電 話 全 部 裝 完 ；如 果 安 排 5 個(gè) 裝 機(jī) 小 組 ， 則 恰 好 10 天 可 將 需 要 裝 機(jī) 的 電 話 全 部 裝 完 試 求 每 個(gè) 電 話 裝 機(jī) 小 組 每 天 裝 機(jī) 多 少部？每天有多少部新申請(qǐng)裝機(jī)的電話？6 某 服 裝 廠 現(xiàn) 有 A種 布 料 70 米，B種 布 料52 米 現(xiàn) 計(jì) 劃 用這 兩 種 布料 生 產(chǎn)M、N 兩種 型 號(hào) 的 時(shí) 裝 共 80套 ，已 知做一套

16、M型號(hào) 時(shí)裝 需 用 A種布 料 0.6米 ， B 種布料0.9米；做一套N型號(hào)時(shí) 裝 需 用A種布料1.1米， B 種 布 料 0.4米本著最大限度 使用現(xiàn)有布料的原則，請(qǐng) 你 設(shè) 計(jì) 這兩種 型號(hào)時(shí)裝 的 生 產(chǎn) 方 案（即兩種型號(hào)時(shí)裝分 別計(jì)劃生產(chǎn)的套數(shù)）， 有 幾 種 ？請(qǐng)寫 出來7如圖，在3 × 3 的方陣圖中，填寫了一些數(shù)和代數(shù)式（其中每個(gè)代數(shù)式都表示一個(gè)數(shù)）使得每行的3 個(gè)數(shù)、每列的3 個(gè)數(shù)、斜對(duì)角的3 個(gè)數(shù)之和均相等（ 1 ）求x， y 的值；（ 2）在備用圖中完成此方陣圖34x34-2-2ya2y-xcb8 為 極 大 地 滿 足 人 民 生 活 的 需 求 ， 豐

17、 富 市 場(chǎng) 供 應(yīng) ， 我 區(qū) 農(nóng) 村 溫 棚 設(shè) 施 農(nóng) 業(yè) 迅 速 發(fā) 展 ，溫 棚 種 植 面 積 在 不 斷 擴(kuò) 大 在 耕 地 上 培 成 一 行 一 行 的 矩 形 土 埂 ，按 順 序 間 隔 種 植 不 同 農(nóng) 作 物 的 方 法 叫 分 壟 間 隔 套 種 科 學(xué) 研 究 表 明 ：在 塑 料 溫 棚 中 分 壟 間隔套種高、矮不同的蔬菜和水果（同一種緊挨在一起種植不超過兩壟），可增加 它們的光合作用，提高單位面積的產(chǎn)量和經(jīng)濟(jì)效益現(xiàn)有一 個(gè) 種 植總 面 積為 540m2的 矩 形 塑 料 溫 棚 ， 分 壟 間 隔套 種 草 莓 和 西 紅柿 共 24壟，種 植 的 草莓

18、 或 西紅 柿 單 種農(nóng) 作 物 的 總 壟 數(shù) 不 低 于 10 壟，又 不 超 過 14 壟（ 壟 數(shù)為正整數(shù)），它們的占地面積、產(chǎn)量、利潤分別如下：占 地 面 積 （ m2/壟 ）產(chǎn)量（千克/壟）利潤（元/千克）西紅柿301601.1草莓15501.61）若 設(shè) 草 莓 共 種 植 了 x壟 ，通 過 計(jì) 算 說 明 共 有 幾 種 種 植 方 案 ？ 分 別 是 哪 幾 種 ？2）在這幾種種植方案中，哪種方案獲得的利潤最大？最大利潤是多少？9 在有16支 球隊(duì) 參賽 的足 球甲級(jí)聯(lián)賽中，每兩支球隊(duì)之間一個(gè)賽季要進(jìn)行2場(chǎng)比 賽，每支球隊(duì)一個(gè)賽 季 要踢滿30場(chǎng)球賽比賽規(guī)則規(guī)定：勝一場(chǎng)得3

19、分，平一 場(chǎng)得1分，負(fù) 一場(chǎng)得0分賽季結(jié)束，積分排第1的獲得冠軍，,積分排第15和 第 16名 的 球 隊(duì) 降 級(jí) （ 下 賽 季 參 加 乙 級(jí) 聯(lián) 賽 ） 某 賽 季 第 27 輪 比 賽 結(jié) 束 時(shí) ， 部 分 球 隊(duì) 的 積 分 排 名 如 下 表 各 隊(duì) 末 賽 的 3 場(chǎng) 比 賽 中，A、B、 C、 D 四隊(duì) 的 比 賽 全 部 在 這 四個(gè) 隊(duì) 之 間 進(jìn) 行 （1 ） 第27 輪 比 賽結(jié) 束 時(shí) ， 乙 隊(duì) 負(fù) 了 7場(chǎng) ， 求 乙 隊(duì) 此 時(shí) 勝 、 平 各 多 少 場(chǎng) ？（2） 第27 輪 比賽 結(jié) 束 時(shí) ，甲隊(duì) 的負(fù) 場(chǎng)數(shù) 比 乙 隊(duì) 多 ，則甲隊(duì)的勝、平、負(fù)場(chǎng)數(shù)各是

20、多少？（3） 若最 后 3場(chǎng)比 賽 A隊(duì)得5分， B隊(duì)一 場(chǎng) 未 負(fù) 得3分 ， 則 A隊(duì) 是 否 降 級(jí) ？ 為 什 么 ？球隊(duì)積分排名甲隊(duì)421乙隊(duì)402,A隊(duì)1613B隊(duì)1613C隊(duì)1613D隊(duì)161310 一 支 部 隊(duì) 行 軍 兩 天 ， 共 進(jìn) 行 78km ， 這 支 部 隊(duì) 第 一 天 的 平 均 速 度 每 小 時(shí) 比 第二 天 快 1.5km ，如 果 第 一 天 行 軍 4 小 時(shí) ，第 二 天 行 軍 5 小 時(shí) ，那 么 這 兩 天 每 天 的 平均速度各是多少？11 某 飲 料 廠 有 甲 ，乙 兩 條 飲 料 灌 裝 生 產(chǎn) 線 ，根 據(jù) 市 場(chǎng) 需 求 ，計(jì) 劃

21、 平 均 每 天 灌 裝 飲料700箱如果兩條生產(chǎn)線同時(shí)工作，則完成一天的 生產(chǎn)任 務(wù) 需 要 工 作7小 時(shí)；如 果 兩 條 生 產(chǎn) 線 同 時(shí) 工 作 2.5 小 時(shí) 后 ，再 由 乙 生 產(chǎn) 線 單 獨(dú) 工 作 ，則 完 成 一 天 的 生 產(chǎn)任務(wù)還需10小 時(shí) （1） 求 甲、乙兩條灌裝生產(chǎn)線每小時(shí)各灌裝多少箱 飲料？（2） 已 知甲灌裝生產(chǎn)線工作1小時(shí)的成本費(fèi)用為550元， 乙 灌 裝 生 產(chǎn) 線工作1小時(shí)的成本費(fèi) 用為 495元 ， 如 果 每 天 用 于 灌 裝 生 產(chǎn) 線 的 成 本 費(fèi) 用 不 得 超 過 7370元，那么甲灌裝生產(chǎn)線每天至少工作多少小時(shí)？12 如 圖 ， 在

22、 大 長 方 形 ABCD 中 ， 放 入 六 個(gè) 相 同 的 小 長 方 形 ， 則 圖 中 陰 影 部 分 面 積 （ 單 位 ： cm2） 為 （）A 16B 44C 96 D 14013 根 據(jù) 如 圖 所 給 信 息 ， 回 答 下 列 問 題 ：（ 1） 分 別 求 出 桌 子 和 椅 子 的 單 價(jià) 是 多 少 ？（ 2）學(xué) 校 根 據(jù) 實(shí) 際 情 況 ，要 求 購 買 桌 椅 總 費(fèi) 用 不 超 過 1000 元 ，并 且 購 買 桌 子 的5數(shù) 量 是 椅 子 數(shù) 量 的 2， 求 該 校 本 次 購 買 桌 子 和 椅 子 共 有 哪 幾 種 方 案 ？ （ 3） 廠 家

23、為 了 搞 促 銷 活 動(dòng) ， 推 出 凡 一 次 性 購 買 桌 子 和 椅 子 的 數(shù) 量 共 28 張 以 上 （ 含28 張 ），可 享 受 八 折 優(yōu) 惠 ，請(qǐng) 問 該 校 在 滿 足（2）的條 件 下 ，最 多 能 購 買 多 少 張 桌子？多少張椅子？總費(fèi)用是多少元？14 有 一 個(gè) 兩 位 數(shù) ，個(gè) 位 上 的 數(shù) 字 與 十 位 上 的 數(shù) 字 之 和 為 6 ，把 個(gè) 位 上 的 數(shù) 字 與 十 位 上 的 數(shù) 字 調(diào) 換 位 置 后 ， 得 到 新 的 兩 位 數(shù) 比 原 數(shù) 大 18， 原 來 的 兩 位 數(shù) 是 平面直角坐標(biāo)系數(shù)形結(jié)合思想的平臺(tái)一、數(shù)形結(jié)合思想的意義數(shù)

24、 學(xué) 研 究 的 對(duì) 象 ，是 現(xiàn) 實(shí) 世 界 中 的 數(shù) 量 關(guān) 系（ 簡 稱“ 數(shù) ”） 和 空 間 形 式（ 簡 稱“ 形 ”），而“數(shù) ”和“ 形 ”是 相 互 聯(lián) 系 、相 互 滲 透 、相 互 轉(zhuǎn) 化 的 ，正 如 著 名數(shù) 學(xué) 家 華 羅 庚 所 說 ：“ 數(shù) 缺 形 時(shí) 少 直 觀 ，形 少 數(shù) 時(shí) 難 入 微 ，數(shù) 形 結(jié) 合 百 般 好 ，隔 離 分 家 萬 事 休 ?！睌?shù) 形 結(jié) 合 ，主 要 指 的 是 數(shù) 與 形 之 間 的 一 一 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 。數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 方 法 就 是 把 抽 象 嚴(yán) 謹(jǐn) 的 數(shù) 學(xué) 語 言 、數(shù) 量 關(guān) 系 與 直 觀 表 意

25、的 幾 何 圖 形 、位 置 關(guān) 系 結(jié) 合 起 來 ，通 過“ 以 形 助 數(shù) ”，給 抽 象 的 問 題 以 形 象 化 的 原 型 ，從 而 給 人 們 以 形 象 思 維 的 啟 示 ；反 過 來 ， “ 以 數(shù) 助 形 ”，則 對(duì) 直 觀 問 題 以 數(shù) 理 推 證 和 精 確 刻 劃 ， 從 而 起 到 把 握 數(shù) 學(xué) 本 質(zhì) 的 目 的 。從“ 以 數(shù) 助 形 ”的 角 度 來 看“ 數(shù) 形 結(jié) 合 ”思 想 主 要 有 以 下 兩 個(gè) 結(jié) 合 點(diǎn) ：（1 ）利 用 數(shù) 軸 、平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 把 幾 何 問 題 進(jìn) 行 代 數(shù) 化 ；（ 2） 利 用 面 積 、 距

26、離 、 角 度 等 幾 何 量 來 解 決 幾 何 問 題 ， 例 如 ： 利 用 勾 股 定 理 證 明直角、利用線段比例證明相似等。在 初 中 數(shù) 學(xué) 教 學(xué) 中 ，數(shù) 形 結(jié) 合 的 思 想 方 法 應(yīng) 用 廣 泛 ，常 見 的 有 判 斷 有 理 數(shù) 大 小 的 關(guān) 系 、代 數(shù) 式 變 換 、解 方 程 及 解 不 等 式 、列 方 程 解 應(yīng) 用 題 ，函 數(shù) 及 其 圖 像 、平 面 幾何問題、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)及簡單的三角函數(shù)等方面。二、有關(guān)論述 三、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1.平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 的 定 義 ； 2. 坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的定義；3、 各象限內(nèi)及坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征；4、

27、一三（二四）象限角平分線上的坐標(biāo)特點(diǎn)；5、 與坐標(biāo)軸平行的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征；6、 一維、二維坐標(biāo)；7、 點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離之間的關(guān)系，8、 坐標(biāo)平面內(nèi)線段長度與線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)之間的 關(guān) 系 ；9、 面積割補(bǔ)法；10、 絕對(duì)值的性質(zhì)；11、 圖形面積公式；12、 平移的性質(zhì)；四、基本思想方法1、 思想：數(shù)形結(jié)合思想、分類 討 論 思 想 、 方 程 思 想 、 算 術(shù) 法 。2、 方法：畫示意圖、平移。五、典型例題例1 、兩 只 小蟲 A、 B 躺在 數(shù) 軸 上 睡 大 覺 ，已 知 它 們 之 間 的 距 離 為 10 個(gè)單 位長度 ，其中 小 蟲 A躺 在 數(shù) +4 對(duì)應(yīng) 的

28、點(diǎn) 上 ， 小 蟲 B 所 在 的 位 置 絕 對(duì) 值 大 于 6，則 小蟲B所在的位置表示的數(shù)是。例 2 、 如 圖 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， A（2 ， 3） ， B（ 5， 3） ， C（ 2,5 ） 是 三 角 形 的 個(gè) 頂 點(diǎn) ， 求 BC 的 長 。例 3：小 明 每 天 早 上 要 在7： 50 之 前 趕 到 距 家 1000 米 的 學(xué) 校 上 學(xué) 。小 明 以 80 米/分 的 速 度 出 發(fā) ， 5分 后 ， 小 明 的 爸 爸 發(fā) 現(xiàn) 他 忘 了 帶 語 文 書 。 于 是 ， 爸 爸 立 即 以180 米 / 分 的 速 度 去 追 小 明 ， 并 且

29、 在 途 中 追 他 。1） 爸 爸 追 上 小 明 用 了 多 長 時(shí) 間 ？2） 追 上 小 明 時(shí) ， 距 離 學(xué) 校 還 有 多 遠(yuǎn) ？列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)是如何根據(jù)題意尋找等量關(guān)系列出方程，教學(xué)時(shí)要 突 破 這 一 難 點(diǎn) ，往 往 就 要 根 據(jù) 題 意 畫 出 相 應(yīng) 的 示 意 圖 這 里 隱 含 著 數(shù) 形 結(jié) 合 的 思 想 方 法 ，不 論 是 行 程 問 題 、追 擊 問 題 ，還 是 工 程 問 題 、濃 度 問 題 等 ，只 有 依 據(jù) 題 意 畫 出 相 應(yīng) 的 示 意 圖 ，才 能 幫 助 初 一 學(xué) 生 迅 速 找 出 等 量 關(guān) 系 列 出 方 程 ，從 而

30、 突 破 難點(diǎn)。1500 米處向東直行，已知甲、40 分鐘后兩人再次距十字路口例 4：有一十字路口，甲從路口出發(fā)向南直行，乙從路口以西乙同時(shí)出發(fā)，10 分鐘后兩人第一次距十字路口的距離相等，距離相等，求甲、乙兩人的速度。（注：數(shù)形結(jié)合）六、典型題目（精選自菁優(yōu)網(wǎng)七下期末考試題）1 如 圖 ， 數(shù) 軸 上A，B 兩 點(diǎn) 表 示 的 數(shù) 分 別 是 1 和 ， 點(diǎn) A 關(guān) 于 點(diǎn) B 的 對(duì) 稱 點(diǎn) 是點(diǎn)C， 則 點(diǎn) C 所 表 示 的 數(shù) 是 在 x 軸 上 ， 到 原 點(diǎn) 距 離 為 的 坐 標(biāo)2 .（1）請(qǐng)?jiān)?下面的網(wǎng)格中建立平 面 直 角坐標(biāo)系， 使 得A， B 兩點(diǎn)的坐 標(biāo)分 別 為 （

31、4，1 ） ， （ 1 ， -2 ） ；（2） 在（ 1 ）的條件下，過點(diǎn)B 作x 軸的垂線， 垂 足為 點(diǎn)M，在BM的延 長 線上截 取 MC=BM 寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)； 平移線段 AB 使 點(diǎn)A移 動(dòng) 到 點(diǎn) C，畫 出平移后的 線 段CD，并寫出 點(diǎn)D 的 坐 標(biāo)（注：本題訓(xùn)練坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度的關(guān)系，請(qǐng)嘗試總結(jié)出公式）3 已知直角坐 標(biāo)平面內(nèi)兩 點(diǎn)A（-2 ， -3 ） 、B（3，-3 ） ， 將 點(diǎn) B 向 上 平 移 5 個(gè)單 位 到 達(dá) 點(diǎn) C， 求 ：（1 ）A、B 兩點(diǎn) 間的距離；（ 2） 寫出點(diǎn)C 的坐標(biāo)；（ 3） 四 邊 形 OABC的 面 積 4在 平 面 直 角

32、 坐 標(biāo) 系 中 ，四 邊 形 ABCD的 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 分 別 為 A（ 1， 0），B（ 5， 0），C（ 3， 3） ， D（ 2， 4） ， 求 四 邊 形 ABCD的 面 積5 計(jì) 算 圖 中 四 邊 形 ABOD的 面 積 6 已知 點(diǎn)A（-4， -1） ，B（2，-1 ）（1 ）在 y 軸 上 找 一 點(diǎn)C，使之 滿 足S ABC =12 求 點(diǎn) C 的 坐 標(biāo)（ 寫 必 要 的 步 驟 ）；（ 2）在 直角 坐標(biāo)系 中找 一點(diǎn)C，能 滿 足 SAB C=12 的 點(diǎn) C有 多 少 個(gè) ？ 這 些 點(diǎn) 有 什么特征？7 如圖，每個(gè)小正方形的邊長為 單 位長 度1（1 ）寫出多邊

33、形ABCDEF各個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D、E、 F 的 坐 標(biāo) ， 說 出 各 點(diǎn) 到 兩 坐標(biāo)軸的距離；并總結(jié)坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)軸距離公式。（2） 點(diǎn)C 與E的坐標(biāo)什么關(guān)系？（3） 直線CE 與 兩坐標(biāo)軸有怎樣的位 置關(guān)系 ？4） 你 能 求 出 圖 中 哪 些 線 段 的 長 度 ？ （ 總 結(jié) 公 式 ） 哪 些 圖 形 的 面 積 ？（8） 圖，在ABC中，已知點(diǎn)A（0，3），B（-2 ，-3 ） ，C（3， -5 ）（1 ）在給出的平 面直角坐標(biāo) 系 中 畫 出ABC；（9） 將ABC向 左平移4個(gè)單位 ，作出 平移后 的 A BC ；（10） 點(diǎn)B到x、y 軸 的距 離 分 別 是

34、多少？9如，在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， O 為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ，已 知 點(diǎn) A（ 0， a），B（ b， b），C（c，a），其 中a，b滿足關(guān)系式|a-4|+（b-2）2=0，c=a+b （1 ）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并在坐標(biāo)系中描 出各點(diǎn)；（2） 在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使COQ得面積與ABC 的 面 積 相 等 ？ 若 存在 ，求 出 點(diǎn) Q的 坐 標(biāo) ； 若 不 存 在 ， 請(qǐng) 說 明 理 由 ；（3） 如果在第四象限內(nèi)有一點(diǎn)P（2，m），請(qǐng)用含m的 代數(shù) 式 表 示 四 邊 形BCPO面積10 如圖所示，長方形ABCD 在坐標(biāo)平面內(nèi) ， 點(diǎn) A的坐標(biāo)是A（ ， 1 ）

35、 ， 且邊AB、CD 與x軸 平 行，邊AD，BC與y 軸平行 ， AB=4，AD=2（ 1 ）求B、C、D 三點(diǎn)的坐 標(biāo)；（ 2）怎 樣 平移 ， 才能使A 點(diǎn)與原點(diǎn)重合？11 在平 面 直角 坐 標(biāo) 系 中，若 點(diǎn) M（1 ， 3）與點(diǎn)N（ x， 3）之 間的 距 離 是 5，則 x的值是11 如 圖 ， OAB的 頂 點(diǎn)B 的 坐 標(biāo) 為（4，0），把 OAB沿x 軸向 右 平 移 得到 CDE 如 果 CB=1， 那 么 OE的 長 為 12 . 如圖 ， A、 B 兩 點(diǎn) 同 時(shí) 從 原 點(diǎn) O出 發(fā) ，點(diǎn) A以 每 秒 x個(gè) 單 位 長 度 沿 x 軸 的 負(fù) 方向 運(yùn)動(dòng) ， 點(diǎn)

36、B以每 秒 y個(gè) 單 位 長 度沿 y軸 的 正 方 向 運(yùn) 動(dòng) 1 ) 若 |x+2y-5|+|2x-y|=0試 分 別 求 出 1 秒 鐘 后A、 B 兩 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) ；設(shè) BAO的 鄰 補(bǔ) 角 和 ABO的 鄰 補(bǔ) 角 的 平 分 線 相 交 于 點(diǎn) P，： 點(diǎn)A、 B 在 運(yùn) 動(dòng) 的 過 程 中 ，P的 大 小 是 否 會(huì) 發(fā) 生 變 化 ？ 若 不 發(fā) 生 變 化 ， 請(qǐng) 求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；3) 如 圖 ， 延 長 BA 至 E， 在 ABO 的 內(nèi) 部 作 射 線 BF 交 x 軸 于 點(diǎn) C， 若 EAC、FCA、ABC的平 分 線 相 交 于 點(diǎn) G，過 點(diǎn)

37、 G作 BE 的 垂 線 ，垂 足 為 H，試問 AGH和 BGC的大 小關(guān) 系 如 何 ？ 請(qǐng) 寫 出 你的 結(jié) 論 并說 明理 由 13 如圖 ，是 用 四 張 相 同 的 長 方 形 紙 片 拼 成 的 圖 形 ，請(qǐng) 利 用 圖 中 空 白 部 分 的 面 積的 不 同 表 示 方 法 ， 寫 出 一 個(gè) 關(guān) 于 a、 b的 恒 等 式 3 x+ m < 014 已 知 關(guān) 于 x的 不 等 式 組x> - 5所 有 整 數(shù) 解 的 和 為 -9 ， 求 m的 取 值 范 圍 D15 小 明 和 小 斌 到 郊 外 旅 游 ，小 明 騎 自 行 車 ，小 斌 騎 電 動(dòng) 車

38、，同 時(shí) 出 發(fā) 沿 相 同 路線 前 往如 圖 ， l 1 ， l 2 分 別 表 示 小 明 和 小 斌 前 往目 的 地 所 走 的 路 程 S與 所 用 的 時(shí) 間 t的 關(guān) 系 1)他們中誰先到目的地？早到多少時(shí) 間 ？2)小明和小斌的速度分別是多少？3)當(dāng) 他 們 中 第 一 人 到 達(dá) 目 的 地 時(shí) ， 另 一 人 還 差 幾 千 米 到 達(dá) 目 的 地 ？16 “ 龜 兔 賽 跑 ”：龜 跑 得 慢 ，但 堅(jiān) 持 不 懈 ；而 兔 跑 得 快 ，看 不 起 龜 ，中 途 睡 覺 ，醒 來 龜 已 到 終 點(diǎn) 下 列 哪 個(gè) 圖 象 能 大 致 表 示“ 龜 兔 賽 跑 ”中

39、路 程 s 與 時(shí) 間 t 的 關(guān)17 如 圖 ， 是 一 輛 汽 車 的 速 度 隨 時(shí) 間 變 化 的 圖 象 ， 請(qǐng) 你 根 據(jù) 圖 象 提 供 的 信 息 填 空 ：1) 汽 車 在 整 個(gè) 行 駛 過 程 中 ， 最 高 速 度 是 千 米 /時(shí) ；2) 汽 車 第 二 次 減 速 行 駛 的 “ 時(shí) 間 段 ” 是 ；ABC3） 汽 車 出 發(fā) 后 ， 8分 鐘 到 10分 鐘 之 間 的 運(yùn) 動(dòng) 情 況 如 何 ？18 某 人 騎 自 行 車 沿 直 線 旅 行 ，先 前 進(jìn) 了 akm，休息 了 一 段 時(shí) 間 后 又 按 原 路 返 回bkm（ b< a） ， 再 前

40、進(jìn) ckm， 則 此 人 離 出 發(fā) 點(diǎn) 的 距 離 s 與 時(shí) 間 t 的 關(guān) 系 示 意 圖 是19 如圖 1 ， 在 平 面直角 坐標(biāo) 系中 ，四 邊 形OBCD各個(gè)頂點(diǎn)的 坐標(biāo) 分 別 是O（0，0），B（ 2，6） ， C（ 8，9） ，D（10，0） ；（1 ）三角形BCD 的面積=（2） 將點(diǎn)C 平 移，平移后 的 坐 標(biāo)為 C （ 2，8+m）； 若SBDC =32 ，求m 的值 ； 當(dāng)C在第四 象限時(shí)，作 COD 的平 分 線OM，OM交 于 C C 于 M，作 C CD的 平 分線 CN， CN 交OD于 N，OM與CN 相交于 點(diǎn)P（如圖2）， 求P OC C+ ODC值

41、(3)汽車出發(fā)后，8分鐘到10分鐘之間的運(yùn)動(dòng)情況如何？18 .某人騎自行車沿直線旅行，先前進(jìn)了 akm,休息了一段時(shí)間后又按原路返回 bkm ( b< a),再前進(jìn)ckm,則此人離出發(fā)點(diǎn)的距離s與時(shí)間t的關(guān)系示意圖是()A.B.C,D.19 .如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是0(0, 0), B (2, 6) , C ( 8, 9) , D ( 10, 0);(1)三角形BCD的面積二(2)將點(diǎn)C平移，平移后的坐標(biāo)為C' (2, 8+m);若Sa bdc =32 ,求m的值；當(dāng)C'在第四象限時(shí)，作/ C' OD的平分線OM OM交于C

42、' C于M,作/ C' CD 的 平分線ON, CN交OD于N, OM與CN相交于點(diǎn)P (如圖2),求 Z PZ OC 'C+/ ODC(3)汽車出發(fā)后，8分鐘到10分鐘之間的運(yùn)動(dòng)情況如何？18 .某人騎自行車沿直線旅行，先前進(jìn)了 akm,休息了一段時(shí)間后又按原路返回 bkm ( b< a),再前進(jìn)ckm,則此人離出發(fā)點(diǎn)的距離s與時(shí)間t的關(guān)系示意圖是()A.B.C,D.19 .如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是0(0, 0), B (2, 6) , C ( 8, 9) , D ( 10, 0);(1)三角形BCD的面積二(2)將點(diǎn)C平移

43、，平移后的坐標(biāo)為C' (2, 8+m);若Sa bdc =32 ,求m的值；當(dāng)C'在第四象限時(shí)，作/ C' OD的平分線OM OM交于C' C于M,作/ C' CD 的 平分線ON, CN交OD于N, OM與CN相交于點(diǎn)P (如圖2),求 Z PZ OC 'C+/ ODC8 如 圖 所 示 ， 甲 、 乙 是 兩 張 畫 有 圖 形 的 透 明 膠 片 ， 把 其 中 一 張 向 右 平 移 到 另張上，形成的圖形是（ ）9 如 圖 是 一 張 長 方 形 紙 片 ABCD，小明 想 通 過 折 疊 這 個(gè) 長 方 形 紙 片 使 頂 點(diǎn) C 落

44、 在邊AD 上 ，他 想 通過 探 究 的 方 法 找 到折痕BF，再 通 過 實(shí) 踐操 作 沿 探 究 得到 的 BF折疊 ， 看頂 點(diǎn) C 是 否 能 落 在 AD 上 ？他手邊 的工 具 有 圓 規(guī)， 刻 度 尺 和 量角 器 你能替他設(shè)計(jì)一種方案嗎？寫出你的設(shè)計(jì)方案歸納與猜想一、題型1、 規(guī)律探索題2、 新定義題3、 程序設(shè)計(jì)題4、 閱讀理解型 試 題5、 操作性試題二、典型試題1 一 個(gè) 自 然 數(shù) 的 立 方 ， 可 以 分 裂 成 若 干個(gè)連 續(xù) 奇 數(shù)的和例如：23，33和 43分別可 以 按 如 圖 所 示 的 方 式 “分 裂 ” 成 2個(gè)、3個(gè) 和 4個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和， 即

45、23=3+5；33=7+9+11 ； 4 3 =13+15+17+19 ； , ； 若 63也 按 照 此 規(guī) 律 來 進(jìn) 行 “ 分 裂 ” ，則63“ 分 裂 ” 出 的 奇 數(shù) 中 ， 最 大 的 奇 數(shù) 是 2 如 圖 ，到A1 （ 0 ，運(yùn)動(dòng) 到A4標(biāo)是個(gè) 動(dòng) 點(diǎn) A 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 中 作 折 線 運(yùn) 動(dòng) ， 第 一 次 從 點(diǎn) （ -1 ， -1 ）次 運(yùn) 動(dòng) 到A3（8， 1 ），第 四 次1 ），第 二 次 運(yùn) 動(dòng) 到A2（3， -1 ），第15， -1 ） , ， 按 這 樣 的 運(yùn) 動(dòng) 規(guī) 律 ， 經(jīng) 過 第 13次 運(yùn) 動(dòng) 后 ， 動(dòng) 點(diǎn)A13的 坐3

46、圖中 是 一 幅“ 蘋 果 圖 ”，第 一 行 有 1 個(gè) 蘋 果 ，第 二 行 有 2個(gè) ，第 三 行 有 4個(gè) ，第四行 有 8個(gè)，,， 你是 否 發(fā)現(xiàn) 蘋果的排 列 規(guī)律 ？ 猜猜 看， 第 六 行 有 個(gè)蘋果、第 十行有個(gè)（可用乘方形式表示）4 定 義 運(yùn)算：a*b， 當(dāng) a> b 時(shí)，有 a*b=a， 當(dāng) a< b 時(shí)， 有 a*b=b ，如果（x+3 ）*2x=x+3 ， 那 么 x 的 取 值 范 圍 是 （）Ax<3Bx> 3Cx< 1D1<x< 35 觀 察 下 列 有 規(guī) 律 的 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) ：A1（1 ， 1 ）；A2（2，

47、-4 ）；A3（3， 4）；A4（4，-2 ）；A5（5，7）；A6（6， -）；A7（7， 10）；A8（8，-1）,，依此規(guī)律 ，A11的坐標(biāo)為，A12的坐 標(biāo)為6 007 ?無 錫）圖 1是 由若干個(gè)小圓圈堆成 的一個(gè)形如正三角 形的 圖案，最 上 面-層 有 一 個(gè) 圓 圈 ，以 下 各 層 均 比 上 - 層 多 一 個(gè) 圓 圈 ，一 共 堆 了 n 層 將 圖 1 倒 置 后 與 原 圖1 拼 成 圖2的 形狀，這樣我們可以 算 出圖1中所有圓圈 的個(gè) 數(shù)為1+2+3+,如果 圖 1中的圓圈共有12層，（1 ） 我 們自上往下，在 每個(gè)圓 圈 中 都 按 圖 3的 方 式 填 上 一 串 連 續(xù) 的 正 整 數(shù) 1 ， 2，3， 4， ,， 則 最底層最左邊這個(gè)圓圈中的數(shù)是；（ 2） 我 們自 上