上海市長(zhǎng)寧區(qū)2019屆九年級(jí)上學(xué)期期末(一模)數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2019年上海市長(zhǎng)寧區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷、選擇題（本大題共 6題，每題4分，滿分24分）【每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，在答題紙相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上用2B鉛筆正確填涂】1.拋物線y=2 （x+2） 2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（A . (2, - 3)B. (-2, - 3)C. ( 2, 3)D. (2, 3)2.如圖，點(diǎn)D、E分別在 ABC的邊AB、AC上，下列條件中能夠判定 DE/ BC的是（）A瑞崎B "BD ACC.BD CEABAED.AEAC3.在 RtA ABC 中,/ C= 90 ,如果 cosB=-, BC= a,那么AC的長(zhǎng)是（A. 2班aB. 3ac. VTc4.A.I; l=2|

2、 -|B.E是與三方向相同的單位向量C.D.5.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo)是（3, 2）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3, - 4）.如1 I FC，、，I亍馬那么下列說(shuō)法正確的是（果以點(diǎn)。為圓心，r為半徑的圓O與直線AB相交，且點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)在圓 。內(nèi)，另一點(diǎn)在圓O外，那么r的值可以取（B. 4C. 3D. 26.在4ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（2A.如果/ BAC=90° , AB =BD?BC,那么 AD ± BCB.如果 ADXBC, AD2=BD?CD,那么/ BAC=90°C.如果 ADXBC, AB2=BD?BC,那

3、么/ BAC=90°D.如果/ BAC=90。，AD2=BD?CD,那么 AD ± BC二、填空題(本大題共 12題，每題4分，？t分48分)【在答題紙相應(yīng)題號(hào)后的空格內(nèi)直接填寫(xiě)答案】第11題圖BACDEF7 .若線段a、b、c、d滿足'=工=鼻，則土的值等于 b d 5 b+d 8 .如果拋物線y= (3-m) x2-3有最高點(diǎn)，那么 m的取值范圍是 .9 .如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于1:4,那么它們的面積的比等于 .10 .邊長(zhǎng)為6的正六邊形的邊心距為 .11 .如圖，已知 AD/BE/CF,若 AB = 3, AC =7, EF = 6,則 DE 的長(zhǎng)為

4、.a /dF/ C12 .已知點(diǎn) P在線段 AB上，滿足 AP: BP=BP: AB,若BP = 2,則AB的長(zhǎng)為.13 .若點(diǎn) A ( - 1, 7)、B (5, 7)、C ( - 2, - 3)、D (k, - 3)在同一條拋物線上，則 k 的值 等于.14 .如圖，在一條東西方向筆直的沿湖道路l上有A、B兩個(gè)游船碼頭，觀光島嶼 C在碼頭A的北偏東60。方向、在碼頭 B的北偏西45。方向，AC = 4千米.那么碼頭 A、B之間的距離等于 千米.(結(jié)果保留根號(hào))北15 .在矩形 ABCD中，AB=2, AD = 4,若圓A的半徑長(zhǎng)為5,圓C的半徑長(zhǎng)為 R,且圓A與圓C 內(nèi)切，則R的值等于.1

5、6 .如圖，在等腰 ABC中，AB = AC, AD、BE分別是邊 BC、AC上的中線，AD與BE交于點(diǎn)F, 若BE=6, FD=3,則 ABC的面積等于 .17 .已知點(diǎn)P在ABC內(nèi)，連接PA、PB、PC,在 PAB、4PBC和PAC中，如果存在一個(gè)三角形與 ABC相似，那么就稱點(diǎn) P為乙ABC的自相似點(diǎn).如圖，在 RtAABC中，/ ACB=90。，AC=12, BC=5,如果點(diǎn)P為RtAABC的自相似點(diǎn)，那么/ ACP的余切值等于 18 .如圖，點(diǎn)P在平行四邊形 ABCD的邊BC上，將 ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B恰好落在邊 ADA的垂直平分線上，如果 AB=5, AD=8, tanB=3

6、,那么BP的長(zhǎng)為.三、解答題（本大題共 7題，？t分78分）【將下列各題的解答過(guò)程，做在答題紙的相應(yīng)位置上】19 . （10 分）計(jì)算：Vscot2 60 +864/一送行20 . （ 10分）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E, AC / BD ,點(diǎn)F在DB的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié) BC,若BC平 分/ ABF, AE = 2, BE=3.（1）求BD的長(zhǎng)；（2）設(shè)靛=；,箴=總 用含;、1的式子表示BC.3一 一、,_，_ ,_ _ _321 . (10分)如圖，AB是圓。的一條弦，點(diǎn) O在線段 AC上，AC = AB, OC = 3, sinA = -.5求：(1)圓O的半徑長(zhǎng)；(2) BC的長(zhǎng).22

7、. (10分)如圖，小明站在江邊某瞭望臺(tái)DE的頂端D處，測(cè)得江面上的漁船 A的俯角為40° .若瞭望臺(tái)DE垂直于江面，它的高度為3米，CE=2米，CE平行于江面 AB,迎水坡BC的坡度i=1: 0.75,坡長(zhǎng) BC=10 米.(參考數(shù)據(jù)：sin40 ° =0.64, cos40° =0.77, tan40° =0.84, cot40° =1.19)(1)求瞭望臺(tái)DE的頂端D到江面AB的距離；(2)求漁船A到迎水坡BC的底端B的距離.(結(jié)果保留一位小數(shù))A B23 . (12分)如圖，點(diǎn) D、E分別在 ABC的邊AC、AB上，延長(zhǎng) DE、CB交于

8、點(diǎn)F,且AE?AB = AD?AC.(1)求證：/ FEB = / C;AB FD(2)連接 AF,若總=黑，求證：EF?AB = AC?FB.24 . (12分)如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。、點(diǎn)B (1, 3),又與x軸正半軸相交于點(diǎn)A, / BAO=45。，點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作PM / OB,與拋物線交于點(diǎn) M,且點(diǎn)M在第一象限內(nèi).(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)若/ BMP = /AOB,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)過(guò)點(diǎn)M作MC，x軸，分別交直線 AB、x軸于點(diǎn)N、C,若 ANC的面積等于 PMN的面積的2倍，求1些的值.x325 - (14分)已知銳角/ “如的余弦值為

9、甘點(diǎn)C在射線BN上,BC = 25,點(diǎn)A在/”歡的內(nèi)部,且/ BAC = 90° , / BCA=Z MBN .過(guò)點(diǎn)A的直線DE分別交射線 BM、射線BN于點(diǎn)D、E.點(diǎn)F在線段BE上(點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合)，且/ EAF = Z MBN.(1)如圖1,當(dāng)AFXBN時(shí)，求EF的長(zhǎng);(2)如圖DF ,當(dāng) ADF與 ACE相似時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出(3)聯(lián)結(jié)BD的長(zhǎng).C爸用圖DE C 圖二2,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，設(shè)BF = x, BD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫(xiě)出函數(shù)定義域;2019年上海市長(zhǎng)寧區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析、選擇題（本大題共 6題，每題4分，滿分24分）【每小題只有一個(gè)正

10、確選項(xiàng)，在答題紙相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上用2B鉛筆正確填涂】1 .拋物線y=2 （x+2）2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（A. (2, 3)B. ( 2, 3)C. (- 2, 3)D. (2, 3)h,【分析】利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是：y=a （x-h） 2+k（aw0,且a, h, k是常數(shù)），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（k）進(jìn)行解答.【解答】解：= y=2 （x+2） 2-3，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2, -3）故選：B.【點(diǎn)評(píng)】 本題主要是對(duì)拋物線中頂點(diǎn)式的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)的考查.2 .如圖，點(diǎn)D、E分別在 ABC的邊AB、AC上，下列條件中能夠判定 DE/BC的是（）bTBD ACc BD CEC AB-AE【分析】如果一

11、條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.根據(jù)平行線分線段成比例定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【解答】 解：A.由迪=典，不能得到DE/BC,故本選項(xiàng)不合題意;AB BC,AD AE 人一一人B.由而=配，不能得到 DE/BC,故本選項(xiàng)不合題意;,BDC由瓦,不能得到DE / BC,故本選項(xiàng)不合題意;,AD AB ,一 D由近=正能得到DE"BC，故本選項(xiàng)符合題意;故選：D.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.3 .在 RtABC 中，/

12、C= 90° ,如果 cosB = , BC= a,那么 AC 的長(zhǎng)是（ U1B. 3aC.屈aAC的長(zhǎng).【分析】 依據(jù)cosB =工，BC=a,即可得到AB = 3a,再根據(jù)勾股定理，即可得到 3【解答】 解：= cosB=工，BC=a, 3AB=3a, . / C=90。，RJABC 中，AC= JabJbc'，（3產(chǎn)-整=2第，故選：A.B【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理.在直角三角形中，銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做/ A的余弦，記作cosA.4.如果。|=2, h= 多,那么下列說(shuō)法正確的是（）A.畝=2，B. k是與三方向相同的單位向量c. 2七

13、一三=cD. t 111【分析】根據(jù)平面向量的模和向量平行的定義解答.【解答】解：A、由工=得到市=奈|=1,故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.Hi1 *4B、由h= 丁已得到b是與它的方向相反，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.c、由h= 丁/得到2k + z= C,故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤. 乙T 1 T a II TD、由b= F定得到k4乙故本選項(xiàng)說(shuō)法正確.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定義，向量的方向與大小以及向量平行的定義等知識(shí)點(diǎn)，難度不大.5.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,2）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3,- 4）.如果以點(diǎn)。為圓心，r為半徑的圓O與直線AB相交，且點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)

14、在圓 。內(nèi)，另一點(diǎn)在圓O外，那么r的值可以?。ǎ〢 . 5B. 4C. 3D. 2【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別計(jì)算出OA、OB的長(zhǎng)，再由點(diǎn) A、B中有一點(diǎn)在圓 。內(nèi)，另一點(diǎn)在圓O外求出r的范圍，進(jìn)而求解即可.【解答】解：二點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3, 2）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3, -4）,0A =0B=«32+q，=5，以點(diǎn)。為圓心，r為半徑的圓 0與直線AB相交，且點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)在圓。內(nèi)，另一點(diǎn)在圓 0 外， VHr<5，. . r = 4符合要求.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷.關(guān)鍵要記住若半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為 d,則有：當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)

15、d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)dvr時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).也考查了坐標(biāo)與圖形 性質(zhì).6.在4ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD ,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A .如果/ BAC=90 ° , AB2=BD?BC,那么 AD ± BCB.如果 ADXBC, AD2=BD?CD,那么/ BAC=90°C.如果 ADXBC, AB2=BD?BC,那么/ BAC=90°D.如果/ BAC=90° , AD2=BD?CD,那么 AD ± BC【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理證明相應(yīng)的三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判斷即可.【解答】解：A、AB2=BD?BC,又/

16、B=/BBADA BCA, ，/BDA = / BAC=90° ,即ADXBC,故A選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意;2B、. AD =BD?CD,迪=辿，又/ ADC = / BDA=90。,BD ADADCA BDA, ./ BAD = Z C, . / DAC + /C=90° , ./ DAC + Z BAD = 90° , ./BAC = 90。，故B選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意;C、AB2=BD?BC,ABBD,又/ B=Z BABBADc/dA BCA, ，/BAC = / BDA=90° ,即ADXBC,故C選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；D、如果/ BA

17、C=90° , AD2=BD?CD,那么AD與BC不一定垂直，故 D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的 關(guān)鍵.、填空題(本大題共 12題，每題4分，？t分48分)【在答題紙相應(yīng)題號(hào)后的空格內(nèi)直接填寫(xiě)答案】第11題圖BACDEF7 .若線段a、b、c、d滿足於=5= 則坐的值等于 ：. b d 5 b+d5【分析】根據(jù)等比的性質(zhì)即可求出典工的值.b+d【解答】 解：二線段a、b、c、d滿足b d 5,a+c 4.=b+d 5一“4故答案為：葺.5【點(diǎn)評(píng)】考查了比例線段，關(guān)鍵是熟練掌握等比的性質(zhì).8 .如

18、果拋物線y= (3-m) x2-3有最高點(diǎn)，那么 m的取值范圍是 m>3【分析】由于拋物線y= (3-m) x2-3有最高點(diǎn)，這要求拋物線必須開(kāi)口向下，由此可以確定的范圍.【解答】 解：二.拋物線y= (3-m) x2- 3有最高點(diǎn)，3- m< 0,即 m> 3.故答案為m>3.【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查二次函數(shù)的最值的知識(shí)點(diǎn)，解答此題要掌握二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)，本題比較 基礎(chǔ).9 .如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于1: 4,那么它們的面積的比等于1: 16 .【分析】由兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于1: 4,即可求得它們的相似比，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求

19、得它們的面積的比.【解答】 解：二.兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于1: 4,，它們的相似比為1:4,，它們的面積的比等于 1： 16.故答案為：1： 16.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的性質(zhì).注意相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形 的對(duì)應(yīng)高線、角平分線、中線的比等于相似比.10 .邊長(zhǎng)為6的正六邊形的邊心距為3%行.【分析】已知正六邊形的邊長(zhǎng)為6,欲求邊心距，可通過(guò)邊心距、邊長(zhǎng)的一半和內(nèi)接圓半徑構(gòu)造直角三角形，通過(guò)解直角三角形求解即可.【解答】 解：如圖所示，此正六邊形中 AB=6,則/AOB = 60° ; .OA = OB, .OAB是等邊三角形， .OGXAB, ./

20、AOG=30° , .OG=OA?cos30° =6x§ = 3£,故答案為3正.A G B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓的計(jì)算問(wèn)題，屬于常規(guī)題.11 .如圖，已知 AD/BE/CF,若 AB = 3, AC =7, EF = 6,則 DE 的長(zhǎng)為 最L-r【分析】根據(jù)AB=3, AC=7,可得BC=4,再根據(jù)AD / BE / CF ,即可得出坐=坐，即坐=與,EF BC 64進(jìn)而彳#到DE的長(zhǎng).【解答】解：.AB=3, AC=7,BC = 4,. AD / BE / CF,.DE_ AB ,EF BC0n DE 3即丁二解得de = ,9故答案為：下

21、.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.12 .已知點(diǎn)P在線段AB上，滿足AP： BP=BP： AB,若BP = 2,則AB的長(zhǎng)為 標(biāo)+1 .【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知 AP是較長(zhǎng)線段，得出 BP = q±AB,代入數(shù)據(jù)即可得出 AB的長(zhǎng).【解答】 解：二.點(diǎn)P在線段AB上，滿足AP： BP=BP： AB,. P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且 BP是較長(zhǎng)線段,BP =VS-1AB,. 市T ab=2,2解得AB=加+1 .故答案為：奉+1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段、黃金分割的概念：如果一個(gè)

22、點(diǎn)把一條線段分成兩條線段，并且較長(zhǎng) 線段是較短線段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，那么就說(shuō)這個(gè)點(diǎn)把這條線段黃金分割，這個(gè)點(diǎn)叫這條線 段的黃金分割點(diǎn)；較長(zhǎng)線段是整個(gè)線段的返二倍.213 .若點(diǎn) A ( - 1, 7)、B (5, 7)、C ( - 2, - 3)、D (k, - 3)在同一條拋物線上，則 k 的值 等于 6 .【分析】利用拋物線的對(duì)稱性得到 A和B點(diǎn)，C點(diǎn)和D點(diǎn)為拋物線上的兩組對(duì)稱點(diǎn)，由點(diǎn) A、B的 坐標(biāo)得到拋物線的對(duì)稱軸，然后利用對(duì)稱軸求出k的值.【解答】解：二拋物線經(jīng)過(guò) A ( - 1, 7)、B (5, 7),點(diǎn)A、B為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，拋物線解析式為直線 x= 2,. C (- 2

23、, - 3)、D (k, - 3)為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，即C ( - 2, - 3)與D (k, - 3)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，k - 2 = 2 - (- 2),k= 6.故答案為6.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式.也考 查了二次函數(shù)的性質(zhì).14 .如圖，在一條東西方向筆直的沿湖道路l上有A、B兩個(gè)游船碼頭，觀光島嶼 C在碼頭A的北偏東60。方向、在碼頭 B的北偏西45。方向，AC = 4千米.那么碼頭 A、B之間的距離等于(2正+2)千米.(結(jié)果保留根號(hào))北【分析】 作CDLAB于點(diǎn)D,在RtAACD中利用三角函數(shù)求得 CD、AD的長(zhǎng)，然后在

24、 RtABCD中求得BD的長(zhǎng)，即可得到碼頭 A、B之間的距離.【解答】 解：如圖，作 CDXAB于點(diǎn)D.在 RtAACD 中，/ CAD = 90° 60° =30° , .CD=AC?sin/CAD = 4xL=2 (km) , AD = AC?cos30° =4X近=2/ (km),22 RtABCD 中，/ CDB=90° , / CBD = 45° ,BD = CD = 2 (km), . AB = AD+BD = 2五+2 (km), 故答案是：(2正+2).北【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，作出輔助線，轉(zhuǎn)化為直角三角

25、形的計(jì)算，求得CD的長(zhǎng)是關(guān)鍵.15.在矩形 ABCD中，AB=2, AD = 4,若圓A的半徑長(zhǎng)為5,圓C的半徑長(zhǎng)為 R,且圓A與圓C 內(nèi)切，則R的值等于 5-2行或5+2F .【分析】 先利用勾股定理計(jì)算出 AC=2在，討論：當(dāng)點(diǎn)C在。A內(nèi)時(shí)，5-R=2近；當(dāng)點(diǎn)A在。C 內(nèi)時(shí)，R-5 = 2在,然后分別解關(guān)于 R的方程即可.【解答】 解：二.在矩形 ABCD中，AB=2, AD=4,AC= J2?+ £= 2&,當(dāng)點(diǎn)C在。A內(nèi)時(shí)，圓A與圓C內(nèi)切，.5-R=2，,即 R= 5-2;當(dāng)點(diǎn)A在。C內(nèi)時(shí)，圓A與圓C內(nèi)切，.R- 5=2,即 R=5+2立；綜上所述，R的值為5 - 2

26、/或5+2在.故答案為5-2泥或5+2班.B【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了圓與圓的位置關(guān)系：兩圓的圓心距為d、兩圓的半徑分別為r、R：兩圓外離? d>R +r；兩圓外切？ d=R+r；兩圓相交？ R-rvdvR + r (R> r);兩圓內(nèi)切？ d=R-r (R>r);兩圓內(nèi)含？ dvRr (R> r).16.如圖，在等腰 ABC中，AB = AC, AD、BE分別是邊 BC、AC上的中線,AD與BE交于點(diǎn)F ,若BE=6, FD=3,則 ABC的面積等于90D【分析】過(guò)E作EG，BC于G,根據(jù)已知條件得到點(diǎn)F是 ABC的重心，求得AD = 3DF = 9,根據(jù)-19EG = A

27、D=, 22'等腰三角形的性質(zhì)得到 ADXBC, BD = CD,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到CG=CD,根據(jù)勾股定理得到 bgZbeAg',根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.【解答】 解：過(guò)E作EGLBC于G, AD、BE分別是邊BC、AC上的中線, .點(diǎn)F是4ABC的重心,AD = 3DF = 9, AB = AC, AD是邊BC上的中線,ADXBC, BD=CD, BE是邊AC上的中線,AE = CE, ADXBC, EGXBC,EG / AD,八 19 .EG = WaD = E cg = =cd,222 BE =6,BG =ikaBC=*1bG = 26，.ABC

28、的面積=當(dāng)X9X2/J=95, 故答案為：9.7y.B D G C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，平行線分線段成比例定理， 正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.17.已知點(diǎn) P在4ABC內(nèi)，連接 PA、PB、PC,在 PAB、4PBC和APAC中，如果存在一個(gè)三角 形與 ABC相似，那么就稱點(diǎn) P為乙ABC的自相似點(diǎn).如圖，在 RtAABC中，/ ACB=90° ,AC=12, BC=5,如果點(diǎn)P為RtAABC的自相似點(diǎn)，那么/ ACP的余切值等于 .【分析】 先找到RtAABC的內(nèi)相似點(diǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算/ACP的余切即可.【解答】解：.AC=12

29、, BC = 5, ./ CAB v/ CBA,故可在/ CAB內(nèi)作/ CBP=Z CAB,又.點(diǎn)P為4ABC的自相似點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)C作CPXPB,并延長(zhǎng) CP交AB于點(diǎn)D,則ABPCs ACB, 點(diǎn)P為4ABC的自相似點(diǎn)， ./ BCP = Z CBA,ACP = / BAC,acp的余切=££=BC5故答案為：一P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，利用條件先確定出18.如圖，點(diǎn)P在平行四邊形 ABCD的邊BC上，將 ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B恰好落在邊 AD 的垂直平分線上，如果 AB=5, AD=8, tanB=2,那么BP的長(zhǎng)為 絲或7

30、.3-r【分析】 如圖1,過(guò)A作AHXBC于H,連接DB',設(shè)AH = 4x, BH = 3x,根據(jù)勾股定理得到AbZaM+B/： 5x=5,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 AB' =AB=5, AM=DM=AD = 4，/ AMN =ZHNM = 90° ,根據(jù)勾股定理得到 MB'=寸. "+AM=3,求得 HN=MN = 4,根據(jù)相似三 角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；如圖2,由知，MN=4, MB' = 3, BN=7,求得NB=NB',推出點(diǎn)P與N重合，得到 BP =BN=7.【解答】 解：如圖1 ,過(guò)A作AH，BC于H ,連接DB ',

31、設(shè)BB'與AP交于E,AD的垂直平分線交 AD于M , BC于N ,.設(shè) AH = 4x, BH = 3x,-ab=7ah2+bh£=5x=5. AH=4, BH=3, 將4ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B恰好落在邊AD的垂直平分線 MN ±, . ABZ = AB=5, AM = DM =JlAD = 4, Z AMN = Z HNM =90° ,2 1'四邊形AHNM是正方形，MB = .($田,，2 + 工=3,.-.HN = MN=4, BN = 7, B' N= 1 ,-BB，= 7bn2+b7 nz=5Vs，BE = BBZ =三坐2

32、2 '. /BEP = / BNB' = 90 , /PBE = /B' BN,A BPEA BB' N,.PB BEbT"一麗PB平七-p25BP = ;7如圖 2,由知，MN = 4, MB' = 3, BN= 7,NB = NB，,:點(diǎn)N在BB '的垂直平分線上， ,將AABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B恰好落在邊AD的垂直平分線上， 點(diǎn)P也在BB'的垂直平分線上， 點(diǎn)P與N重合，BP = BN = 7,綜上所述，BP的長(zhǎng)為寺或7.25故答案為：發(fā)或7.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，正確

33、的作出圖形 是解題的關(guān)鍵.三、解答題（本大題共 7題，？t分78分）【將下列各題的解答過(guò)程，做在答題紙的相應(yīng)位置上】19. (10 分)計(jì)算：V3cct2 60sin30+-7：, . A .cos45 -cosSO【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值把相關(guān)數(shù)據(jù)代入進(jìn)而得出答案.【解答】解：原式=內(nèi):+(M+y) 3=-行孥.V 3【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.20. （ 10分）如圖，AB與CD相交于點(diǎn) E, AC / BD ,點(diǎn)F在DB的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié) BC,若BC平分/ ABF, AE = 2, BE=3.（1）求BD的長(zhǎng)；（2）設(shè)E£=

34、e, E1=七，用含/、七的式子表示 五.DB【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AB =AC=5,然后結(jié)合平行線截線段成比例求得BD的長(zhǎng)度.（2）由平行線截線段成比例和平面向量的三角形法則解答.【解答】 解：（1） BC平分/ ABF, ./ ABC = / CBF. AC / BD, ./ CBF =Z ACB. ./ ABC = / ACB.AC = AB.AE=2, BE = 3,AB = AC = 5. AC II BD,BD ,5BE,AC AEBD 3BD =竽;(2) . AC / BD,EC AE 2.=一.ED EB 3:正=總EC=-克.1 BC= BE+

35、EC= _ g - -rt【點(diǎn)評(píng)】考查了平行線的性質(zhì)和平面向量，需要掌握平行線截線段成比例和平面向量的三角形法則,難度不大.(10分)如圖，AB是圓O的一條弦，點(diǎn) O在線段 AC上，AC = AB, OC = 3, sinA = -.5(1)圓O的半徑長(zhǎng);求:【分析】(1)過(guò)點(diǎn)O作OHLAB,垂足為點(diǎn)H,設(shè)OH = 3k, AO=5k,AB = 2AH = 8k,求得AC = AB=8k,列方程即可得到結(jié)論;(2)過(guò)點(diǎn)C作CGLAB,垂足為點(diǎn) G,在 RtAACG 中，/ AGC=90°,解直角三角形即可得到結(jié)論.【解答】解:(1)過(guò)點(diǎn) O 作 OHLAB,在 RtAOAH中中，/

36、OHA = 90° ,-SinA=S35'設(shè) OH=3k, AO=5k, OHXAB,AB =2AH = 8k, .-.AC = AB = 8k, .-.8k=5k+3,AO = 5,即。O的半徑長(zhǎng)為5；(2)過(guò)點(diǎn)C作CGAB,垂足為點(diǎn)G,在 RtAACG 中，/ AGC=90°AC=8,CG = -, AG=，公弋Ga=工，BG =;在 RtACGB 中，/ CGB=90° ,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.22. （10分）如圖，小明站在江邊某瞭望臺(tái)DE的頂端D處，測(cè)得江面上的漁船 A的俯角為40°

37、.若瞭望臺(tái)DE垂直于江面，它的高度為3米，CE=2米，CE平行于江面 AB,迎水坡BC的坡度i=1: 0.75,坡長(zhǎng) BC=10 米.（參考數(shù)據(jù)：sin40 ° =0.64, cos40° =0.77, tan40° =0.84, cot40° =1.19）（1）求瞭望臺(tái)DE的頂端D到江面AB的距離;（2）求漁船A到迎水坡BC的底端B的距離.（結(jié)果保留一位小數(shù)）CG, BG【分析】（1）延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CGXAB,垂足為點(diǎn)G,利用坡度表示出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案;_ , AF (2)在RtAADF中，利用cotA=常，得出AF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案

38、.【解答】 解：（1）延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CGLAB,垂足為點(diǎn)G, 由題意可知 CE = GF=2, CG = EF在 RtA BCG 中，/ BGC=90° ,. i=CG=lBG 0.753'設(shè) CG=4k, BG = 3k,則 BC= VcG+BG = 5k= 10,k=2,. BG = 6,CG= EF = 8,. DE = 3, . DF = DE+EF=3+8=11 (米), 答：瞭望臺(tái)DE的頂端D到江面AB的距離為11米;(2)由題意得/ A = 40。，在 RtAADF 中，/ DFA = 90° ,cotA= JiL DF.期1.1911

39、.AF=11X 1.19=13.09 (m), . AB = AF - BG-GF = 5.09 5.1 (米)，答：漁船A到迎水坡BC的底端B的距離為5.1米.A B GF【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.23. (12分)如圖，點(diǎn) D、E分別在 ABC的邊AC、AB上，延長(zhǎng) DE、CB交于點(diǎn)F,且AE?AB = AD?AC.(1)求證：/ FEB = / C;KR CD(2)連接 AF,若轉(zhuǎn)=咨，求證：EF?AB = AC?FB.【分析】(1)證明 AEDs ACB即可解決問(wèn)題；RR RR(2)證明 EFBsFAB,可得7r = 言，由AF=AC

40、,可得結(jié)論; Ar Ad【解答】 證明：(1) AE?AB=AD?AC.AE AD = AC 肥又/ A=Z A,AEDA ACB, ./AED = / C, 又. / AED = Z FEB, ./ FEB = Z C.(2)/ FEB = / C, / EFB = / CFD , .EFBACFD, ./ FBE = Z FDC,D D B D CFAF - - B B B D FA1F CFBAc/dA CDF , ./ FEB = Z CAF=AC, . / FEB = Z C, ./ FEB = Z AFB,又. / FBE = Z ABF,EFBc/dA fab,EF FB而一而，

41、 AF=AC, . EF?AB = AC?FB.【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所 學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.24. (12分)如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O、點(diǎn)B (1, 3),又與x軸正半軸相交于點(diǎn)A, / BAO=45。，點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作PM / OB,與拋物線交于點(diǎn) M,且 點(diǎn)M在第一象限內(nèi).(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若/ BMP = /AOB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)過(guò)點(diǎn)M作MCx軸，分別交直線 AB、x軸于點(diǎn)N、C,若 ANC的面積等于 PMN的面積的A (4, 0),【分析】(1)過(guò)點(diǎn)B作BH

42、，x軸，垂足為點(diǎn)H,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)用待定系數(shù)法可求拋物線的表達(dá)式;BO,直線AB,直(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得BM / OA,可求點(diǎn)M坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求直線線PM的解析式，即可求點(diǎn) P坐標(biāo)；(3)延長(zhǎng)MP交x軸于點(diǎn)D,作PGXMN于點(diǎn)G,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=CN, PG= NG,根據(jù)銳角三角函數(shù)可得 tan/BOA=3=tan/MPG =G,可得 MG = 3PG = 3NG,根據(jù)面PG積關(guān)系可求罌的值.NC【解答】 解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BHx軸，垂足為點(diǎn) H,點(diǎn) B (1, 3)BH = 3, OH= 1, . / BAO = 45° , /

43、BHA = 90°AH = BH = 3,OA = 4，點(diǎn) A (4, 0)拋物線過(guò)原點(diǎn) 。、點(diǎn)A、B,二設(shè)拋物線的表達(dá)式為 y= ax2+bx (awO)f0=16a+4ba+b=3解得：a= - 1, b = 4拋物的線表達(dá)式為：y= - x2+4x(2)如圖，PM / OBPMB + ZOBM = 180 ,且/ BMP = Z AOB,AOB + ZOBM = 180BM / OA,設(shè)點(diǎn)M (m, 3),且點(diǎn)M在拋物線y=- x2+4x±,23= - m +4m,m= 1 (舍去)， m= 3，點(diǎn) M (3, 3),點(diǎn) O (0, 0),點(diǎn) A (4, 0),點(diǎn) B

44、 (1, 3)直線OB解析式為y=3x,直線AB解析式為y=- x+4,PM II OB,.設(shè)PM解析式為y=3x+n,且過(guò)點(diǎn)M (3, 3)3= 3 x 3+n,n= - 6二. PM解析式為y = 3x - 6,y=3x-6, <y-x+4解得：x=苴，y=W22 點(diǎn) p（與,2 2G,(3)如圖，延長(zhǎng) MP交x軸于點(diǎn)D,作PG，MN于點(diǎn) PG1MN , MCI AD PG / ADZ MPG = Z MDC , Z GPN = Z BAO = 45又. / PGC = 90 , Z ACG = 90° ,AC = CN, PG= NG, PM / OB, ./ BOA =

45、 Z MDC ,Z MPG = Z BOA點(diǎn)B坐標(biāo)（1, 3）.-.tanZBOA=3 = tanZ MPG = PGMG = 3PG= 3NG,MN = 4PG, ANC的面積等于 PMN的面積的2倍,ACx NC=2x -x MNx PG,bi）2112 NC“= 2X MN X 一MN = MN2,42'MN r【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法可求函數(shù)解析式，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.25. (14分)已知銳角/ MBN的余弦值為 上，點(diǎn)C在射線BN上，BC=25,點(diǎn)A在/ MBN的內(nèi)部，5且/ BAC = 90° ,

46、/ BCA=/ MBN.過(guò)點(diǎn)A的直線DE分別交射線 BM、射線BN于點(diǎn)D、E.點(diǎn)F在線段BE上(點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合)，且/ EAF = Z MBN.(1)如圖1,當(dāng)AF±BN時(shí)，求EF的長(zhǎng)；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，設(shè)BF = x, BD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫(xiě)出函數(shù)定 義域；(3)聯(lián)結(jié)DF,當(dāng) ADF與 ACE相似時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出 BD的長(zhǎng).MA/M圖1圖2備用圖【分析】(1)由銳角三角函數(shù)可求 AC =15,根據(jù)勾股定理和三角形面積公式可求AB, AF的長(zhǎng),即可求EF的長(zhǎng)；(2)通過(guò)證 FAEsFCA和 BDEsCFA,可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)分ADFsCEA, ADFCAE兩種情況討論，通過(guò)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形性質(zhì) 可求BD的長(zhǎng).【解答】 解：(1)二.在 RtABC 中，/ BAC=90° ,.cos/BCA=cos/ MBN = -9-=tL=,BC 5南而AC= 15ABy -Ac=20 S；A ABC= 7J-X ABXAC = J-XBCX