北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)同步基礎(chǔ)練習(xí)冊(cè)

1、學(xué)霸數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)導(dǎo)學(xué)練重點(diǎn)突出，題型經(jīng)典學(xué)霸數(shù)學(xué)目錄第一章：三角形的證明第二章：不等式第三章：平移、旋轉(zhuǎn)第四章：因式分解第五章：分式及方程第六章：平行四邊形軸對(duì)稱（講義）?課前預(yù)習(xí)1 .剪紙藝術(shù)源遠(yuǎn)流長，是中華民族智慧的結(jié)晶，為我們的生活添加了別樣的色彩.請(qǐng)欣賞以下美麗 的剪紙圖片，你發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點(diǎn)？2 .做一做，想一想在紙上畫一條線段AB,并將線段對(duì)折，思考：（1）折痕兩邊的線段（填“相等”或“不相等”）；（2）折痕與線段AB（填“垂直”或“不垂直”）；（3）在折痕上任找一點(diǎn)P,并連接AP, BP,沿著折痕對(duì)折，可發(fā)現(xiàn) AP BP （填“>”，“<”或 “

2、=”）.3 .如圖，OP 平分/AOB, PMLOA 于點(diǎn) M, PNLOB 于點(diǎn) N,若 PM=4cm, WJ PN=cm.?知識(shí)點(diǎn)睛1 .如果把一個(gè)圖形沿一條直線折疊后能夠與另一個(gè)圖形完全重合，則稱這兩個(gè)圖形 ,這 條直線叫做.2 .如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做 , 這條直線叫做.3 .在軸對(duì)稱圖形或兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸 ,對(duì)應(yīng)線段 ,對(duì)應(yīng)角.4 .5 .?精講精練1 .如圖，在10X10勺正方形網(wǎng)格中作圖：作出 ABC關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形 AiBiCi.A+ + + + + + + + T卜峪弋+ + + H-十 4

3、>C/+ + T-+TB +b'1卜丁+*三十+4hl-|-|- + J- + J-|-J-l-!l= + -b + + + + =i=4-H-1L J_ _L _L JL J_L J_ J_J_I2 .作圖題：利用網(wǎng)格線，作出 ABC關(guān)于直線1的對(duì)稱圖形ABiCi.卜 + + |-=|- -+. -F T it 3 .下列四個(gè)圖案中，是軸對(duì)稱圖形的有（A. 1個(gè)B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)4 .如圖是用筆尖扎重疊的紙得到的成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，則AB的對(duì)應(yīng)線段是, EF的對(duì)應(yīng)線段是, / A的對(duì)應(yīng)角是.連接CE交1于點(diǎn)O,則±,且1A C |O E GNNBD ；

4、FH第4題圖第5題圖5 .如圖，裁剪師傅將一塊長方形布料 ABCD沿著AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處.若/ BAF=60°, WJ/AEF=.6 .如圖，先將正方形紙片ABCD對(duì)折，折痕為MN,再把點(diǎn)B折疊到折痕MN上，折痕為AE,點(diǎn)B 在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H,沿AH和DH剪下，這樣得到的 ADH中（）學(xué)霸數(shù)學(xué)A. AH DH ADC. AH AD DHB. AH DH ADD. AH DH AD7 .已知：如圖，在AABC中，/C=90°, AB的垂直平分線 DE交BC于點(diǎn)D,連接AD.若AC=4cm, BC=8 cm,則 ADC的周長為:8 .已知：如圖，在 ABC

5、中，DF, EG分別是AB, AC的垂直平分線，且 ADE的周長為32 cm, 貝U BC=.6. B9 .已知：如圖，點(diǎn)P關(guān)于OA, OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為 C, D,連接CD,交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N.若 PMN的周長為8,則CD的長為.10 .如圖，MD, ME分別為 ABC的邊AB, BC的垂直平分線，若 MA=3,求MC的長度.PALON于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 PA=3,則PQ的最11.如圖，OP平分/ MON, 小值是:第11題圖第12題圖12 .已知：如圖，在 RtzXABC 中，/ACB=90°, BD 是/ABC 的平分線，DE，AB 于 E,若 CD

6、=3 cm, AB=10 cm,則4 ABD的面積為.13 .已知：如圖，在 ABC 中，AD 是/ BAC 的平分線，AB=3 cm, AC=2 cm,則 Saabd: dacd=.C14 .已知：如圖，在四邊形ABCD中，Z B=BrC=90 DM平分 /ADC, AM 平分/DAB.求證：MB=MC.【參考答案】?課前預(yù)習(xí)1. 都是左右兩邊對(duì)稱的圖形。2. (1)相等；(2)垂直；(3)=3. 4?知識(shí)點(diǎn)睛1 .成軸對(duì)稱；對(duì)稱軸2 .軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱軸3 .垂直平分；相等；相等4 .線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等5 .角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等?精講精練1.

7、 略2. 略3. C4. GH; CD; /G; CE; l; OC; OE5. 750學(xué)霸數(shù)學(xué)7. 12cm8. 32cm9. 810. 311. 312. 15cm213. 3: 214. 證明略軸對(duì)稱(隨堂測(cè)試)1.如圖，在 ABC中，AB=AC, AB的垂直平分線 DE交AC于點(diǎn)E,若 ABC和 EBC的周長分別為60 cm和38 cm,則 ABC的腰長為 底邊長為:2.如圖，在4ABC中，AD是/ BAC的平分線，點(diǎn)E,F分別在AB,AC邊上，且/ DEA+/DFA=180°.求A 證：DE=DF.【思路分析】(1)讀題標(biāo)注:(2)梳理思路:FED從條件出發(fā)：看到角平分線考

8、慮角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等， 可作 2可得題目所求為DE=DF,證明 【過程書寫】證明：如圖，即可.過程規(guī)劃：1 .輔助線描述2 .為全等準(zhǔn)備三組條件3 .證明 94 .根據(jù)全等性質(zhì)得結(jié)論DE=DF【參考答案】1 . 22cm, 16cm2 .思路分析：DM，AB于點(diǎn) M, DNLAC于點(diǎn) N, DM=DN & DEM0 ADFN過程規(guī)劃：1 .輔助線描述2 .為全等準(zhǔn)備三組條件/ DME=Z DNF/ DEM=Z DFNDM=DN3 .證明 DEMA DFN4 .根據(jù)全等性質(zhì)得結(jié)論 DE=DF軸對(duì)稱（習(xí)題）?例題示范例1:已知：如圖，AE平分/ FAC EF±AF,

9、 EG±AC,垂足分別為點(diǎn)F,G, DE是BC的垂直平分線.求證：BF=CG.【思路分析】 讀題標(biāo)注： 從條件出發(fā)，看到角平分線考慮“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”±AF, EG±AC,可得 EF=EG,結(jié)合題目其他條件，EF“垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”,因此連接BE, CE （如圖所看到垂直平分線考慮示），得到BE=CE題目所求為BF=CG,證明 BE售 ACEGJgPW.【過程書寫】證明：如圖，連接BE,CE. AE平分/FAC EF±AF, EG±AC EF=EGv DE是BC的垂直平分線BE=CEv EF±

10、AF, EG± AC ./ BFE=/CGE=90°過程規(guī)劃：1 .輔助線描述2 .為全等準(zhǔn)備兩個(gè)條件 EF=EG BE=CE3,證明 RBE陣 RtA CEG4.根據(jù)全等性質(zhì)得結(jié)論BF=CG第4題圖6.在 RtABEF?口 RtACEGBE CE （已證）EF EG （已證） RtA BE售 RtACECG （HL.）. BF=CG （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）?鞏固練習(xí)1 .下列是軸對(duì)稱圖形的是（）®®©A.B.C.D.2 . 一個(gè)風(fēng)箏的設(shè)計(jì)圖如圖所示，其主體部分（四邊形ABCD關(guān)于線段BD所在的直線對(duì)稱，AC與BD相交于點(diǎn)O,且ABw AD,

11、則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A. zABgACBDAB. AABCAADCtC. AAOEACOBODD. AAODACODB3 .已知：如圖，在 RtAABC中，/ C=90°,點(diǎn)E在CC邊上，將 ABC沿BE折疊，點(diǎn)C恰好落在AB 邊上的點(diǎn)D處.若/ A=30°,則/ BED=:口第3題圖4 .已知：如圖，/ AOB=40°,若CD是OA的垂直平分線，則ZACB=:5 .如圖，在RtA ABC中，/C=90°. BD平分/ ABC 交AC于點(diǎn)D, DE垂直平分AB,垂足為點(diǎn)E.若DE+BD=3cm,則 AC=cm已知：如圖，在 ABC中，AB=AC, DE

12、垂直平分AB,交AC于點(diǎn)E,垂足為 點(diǎn) D.若 BE+CE=12, BC=8,則 ABC的周長為:學(xué)霸數(shù)學(xué)7 .作圖題：利用網(wǎng)格線，作出 ABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的圖形 AiBiCi.丁 + + + + + +_1_ F+'+-+-+-+-HH + + + + + + +_!_ 1 fl I I I 11 I I _x_ T+ + +_!_ r Li F卜卜卜卜卜L - -L + + +J-: S- 4+ -I+ + + +_1_ . + + + +_ + + +_!_ A，+ + +_1_ rLIFLTPLILILILDE8 .已知：如圖，P為/ABC內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)?AB, BC邊上各取

13、一點(diǎn) M, N, 使4PMN的周長最小.9 .已知：如圖，CD垂直平分線段AB, E是CD上一點(diǎn)，分別連接AC, BC, AE,BE.求證：/ CAE=Z CBE10 .已知：如圖，在4ABC中，/ABC的平分線與/ ACB的平分線相交于點(diǎn) O. OD ±AB, OE± AC,垂足分別為點(diǎn) D, E.求證：OD=OEAEB11 .已知：如圖，在銳角三角形 ABC中，AD, CE分別是BC, AB邊上的 高，垂足分別為點(diǎn) D, E, AD與CE相交于點(diǎn)O,連接OB, / OBC= /OBA 求證：OA=OC.學(xué)霸數(shù)學(xué)? 思考小結(jié)1 .軸對(duì)稱的思考層次： 全等變換：對(duì)應(yīng)邊?對(duì)應(yīng)

14、角: 對(duì)應(yīng)點(diǎn)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸 對(duì)稱軸上的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離:應(yīng)用：奶站問題等.如圖，在直線l上找一點(diǎn)P,使得在直線同側(cè)的點(diǎn) A, B到點(diǎn)P的距離之和AP+BP最小.BA.【參考答案】? 鞏固練習(xí)1. B2. B3. 60°4. 80°5. 36. 327. 作圖略8. 作點(diǎn)P關(guān)于BA的對(duì)稱點(diǎn)Oi,作點(diǎn)P關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)O2,連接OiO2,分別交BA, BC于點(diǎn)M , N, 此時(shí) PMN的周長最小.9. 證明略提示：利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，得出AC=BC, AE=BE再證明 4CA/ ACBE10. 證明略提示：過點(diǎn)。作OF, BC于點(diǎn)F,

15、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得結(jié)論11. 證明略提示：利用角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，得出OD=OE,再證明 COEAAOE? 思考小結(jié)1 .相等、相等垂直平分；相等作點(diǎn)A關(guān)于街道的對(duì)稱點(diǎn)A1,連接A1B交街道于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為滿足條件的點(diǎn)等腰三角形（講義）?知識(shí)點(diǎn)睛1. 的三角形叫做等腰三角形.2 .等腰三角形是圖形.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“:),它們所在的直線都是等腰三角形的 .3 . 等腰三角形的兩個(gè)底角,簡稱如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也 ,簡稱:4 .三邊都 的三角形是等邊三角形.等邊三角形三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都是

16、 .5 . “三線合一”模塊書寫：已知：如圖，在 ABC中，AB=AC, AD平分/ BAC且交BC于點(diǎn)D.求證：BD=CD.?精講精練1 .在下面的等腰三角形中，/ A是頂角，請(qǐng)分別將它們底角的度數(shù)標(biāo)注在相應(yīng)的圖上.2 .如圖，在4ACD 中，AD=BD=BC,若/C=25°, WJ/ADB=.3 .如圖，在 ABC 中，AB=AC, BD 平分/ ABC, BD=BE, ZA=10O°, WJ/DEC=.4 .如圖，在等腰三角形 ABC中，AB=AC, D為邊BC上一點(diǎn)，CD=AC, AD=BD,貝叱 BAC=.5 .如圖，在 ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)

17、E在AC上, AD=AE,若/ BAD=50°,貝叱 CDE=.B DC6 .如圖，在 ABC中，已知AB=AC, ADLBC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE /AB 交 AC 于點(diǎn) E.求證：AE=ED.A學(xué)霸數(shù)學(xué)7 .已知：如圖，在4ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在4ABC外，CDXAD1.于點(diǎn) D, CD -BC ,求證：/ ACD=/B.28 .已知：如圖， ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，DFLAC于F,延 長DF至I E,使EF=DF,連接AE.求/ E的度數(shù).9 .若等腰三角形的周長為13cm,其中一邊長為3 cm,則該等腰三角形的底邊長為 10 .若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40&#

18、176;,則此等腰三角形的頂角為 :11 .若等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為40。，則此等腰三角形的頂角為12 .已知：如圖，線段AB的端點(diǎn)A在直線l上（AB與l不垂直），請(qǐng)?jiān)谥本€l上另找一點(diǎn)C,使4ABC 是等腰三角形.這樣的點(diǎn)能找?guī)讉€(gè)？請(qǐng)你找出所有符合條件的點(diǎn).13 .已知：如圖，線段AB的端點(diǎn)A在直線l上，AB與l的夾角為60°,請(qǐng)?jiān)谥本€l上另找一點(diǎn)C,使 ABC是等腰三角形.這樣的點(diǎn)能找?guī)讉€(gè)？請(qǐng)你找出所有符合條件的點(diǎn).【參考答案】?課前預(yù)習(xí)1. (1)二;(2) ±(3)=2. 18 或 21?知識(shí)點(diǎn)睛1 .有兩邊相等2 .軸對(duì)稱；三線合一；對(duì)稱

19、軸3 .相等；等邊對(duì)等角； 相等；等角對(duì)等邊4 .相等；60°5 .證明：如圖，. AB=AC; AD 平分 / BAC.D為BC的中點(diǎn)(等腰三角形三線合一)BD=CD?精講精練1. 60° 60° 45° 45° 36° 36°2. 8003. 100°4. 108°5. 256. 證明略提示：根據(jù)等腰三角形三線合一可得/ BAD=ZCAD,再由平行可以得到/ CAD=Z BAD=/ ADE,從 而 AE=DE7. 證明略提示：過點(diǎn)A作AE± BC于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形三線合一可得 BE=CD

20、,再證 AB® zACD即可.8. /E=60°提示：連接AD,利用垂直平分線定理得 AD=AE,從而/ E=/ADE9. 3cm10. 40°或 100°11. 50°或 130°12. 這樣的點(diǎn)能找4個(gè)；作圖略13. 這樣的點(diǎn)能找2個(gè)；作圖略等腰三角形(隨堂測(cè)試)1.如圖，在 ABC中，D為AC邊點(diǎn)，且 AD=BD=BC.若/A=40°, WJ/DBC=DCAB2 .已知等腰三角形的周長為28 cm,其中一邊長為10 cm,則該等腰三角形的底邊長為.3 .已知：如圖，在 ABC中，E為BC邊上一點(diǎn)，連接AE, D為AE的

21、 中點(diǎn)，連接 BD, /BAD=/EAC+/C.求證：ADXBD.【參考答案】1. 20 °2. 10cm 或 8cm3. 證明略提示：利用外角可以得到/ AEB=/BAD,根據(jù)等角對(duì)等邊，得BA=BE,因?yàn)镈是AE的中點(diǎn)，利 用等腰三角形三線合一，可以得到 ADXBD等腰三角形（習(xí)題）? 例題示范例1:如圖，在4ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在 ABC外，CDLAD于點(diǎn)D, CD1BC .求證：/ACD= 2/ B.【思路分析】由條件CD可嘗試取BC的中點(diǎn)E,此時(shí)結(jié)合等腰構(gòu)造三線合一的線 AE,如圖所示.讀題標(biāo)注:過程規(guī)劃：1 .輔助線描述2 .說明三線合一3,證明 AB電 ACD4

22、.根據(jù)全等性質(zhì)得結(jié)論/ ACD=ZB要證/ACD=/ B,可以證明 AB® AACD【過程書寫】 證明：如圖，取 .E是BC的中點(diǎn)1八 BE -BC21CD - BC2BE=CDv AB=AC, E是BC的中點(diǎn) AE± BC丁. / AEB=90°v CD± AD . / D=90° ./AEB=/D=90°在 RtA ABE和 RtAACD中AB AC（已知）BE CD（已證） RtAAB® RtAACD （HD ./ACD=/B例2:等腰三角形的周長為12cm,其中一邊長為5cm,則該等腰三角形的底邊長為 cm.【思路分

23、析】 等腰三角形一邊長為5cm,這一邊可能是底，也可能是腰，故需分類討論： 如果5cm為底，則根據(jù)周長為12cm,可知腰長為3.5cm.此時(shí)兩邊之和大于第三邊，這個(gè)三角形存在.如果5cm為腰，則根據(jù)周長為12cm,可知底邊長為2cm.此時(shí)兩 邊之和大于第三邊，這個(gè)三角形存在.綜上，該等腰三角形的底邊長為 5cm或2cm.?鞏固練習(xí)1 .已知：如圖，在 ABC中，AB=AC, /A=80°,求/ C的度數(shù).2.3.4.5.如圖，在 ABC 中，AB=AC, BE/AC, /BDE=100°, /BAD=70°,則/E=.DC已知：如圖，在 ABC中，AB=AC, D

24、為AB邊上一點(diǎn)，若 CD=AD=BC, 貝 U / A=.如圖，在 ABC中，/ ABC的平分線和/ ACB的平分線相交于點(diǎn)E,過點(diǎn) E作MN / BC,交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N.若BM+CN=9,則線段 MN 的長為（）A. 6B. 7C. 8D. 9已知：如圖，在4ABC中，AB=AC, AD是BC邊上的中線，點(diǎn)P在AD上.求 證：PB=PC.6 .已知：如圖，B, D, E, C在同一直線上，AB=AC, AD=AE.求證：BD=CE.7 .已知等腰三角形的兩邊長分別為 4和8,則該等腰三角形的周長為8 .若等腰三角形的一個(gè)角比另一個(gè)角大 30°,則該等腰三角形的頂角的度數(shù)為

25、 :9 .已知：如圖，線段AB的端點(diǎn)A在直線l上，AB與l的夾角是30°,請(qǐng)?jiān)谥本€l上另找一點(diǎn)C,使 ABC是等腰三角形.這樣的點(diǎn)能找?guī)讉€(gè)？請(qǐng)找出所有符合條件的點(diǎn).? 思考小結(jié)1 .要證明邊相等或角相等，可以考慮兩種思路： 如果邊或者角在兩個(gè)三角形里面，則證明兩個(gè)三角形 ; 如果邊或角在一個(gè)三角形里面，證明三角形是 三角形.2 .將兩個(gè)含30°角的三角板如圖放置，則4ABD是 三角形（“等腰”或“等邊”）、故ABBD、BC=BD,所以BC=AB,從而得到對(duì)于含有30°角的直角三角形，30°角所對(duì)的直角邊是斜 邊的.BC【參考答案】? 鞏固練習(xí)1. 50&

26、#176;2. 5003. 36°4. D5. 證明略提示：利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得 AD垂直平分BC,從而得到PB=PC6. 證明略提示：根據(jù)等邊對(duì)等角可得/ B=/C, /ADE=/ AED,進(jìn)而可得/ BAD=/CAE從而證明 ABgACE根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，可得 BD=CE7. 208. 80°或 40°9. 這樣的點(diǎn)能找4個(gè)，作圖略? 思考小結(jié)1 .全等等腰1. 直角三角形兩銳角,且任一直角邊長小于直角三角形性質(zhì)應(yīng)用（講義）一、知識(shí)點(diǎn)睛2 .勾股定理：直角三角形兩直角邊的 等于斜邊的 勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足, 那么

27、這個(gè)三角形是 三角形.3 .直角三角形斜邊上的中線等于 ;如果一個(gè)三角形,那么這個(gè)三4 .30°角所對(duì)的直角邊是;CBCm在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么 這條直角邊所對(duì)的銳角等于 .5.常用直角三角形的三邊關(guān)系216.等面積法c ab=ch1.、精講精練下圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1大正方形面積為49,小正方形面積為個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知4,若用x, y表示直角三角形的兩直角邊（x>y）,下列四個(gè)說法： x2+y2=49,x-y=2,2xy+4=49,x+y=9.其中說法正確的是（）A.B.C.D.2.如圖，在正方形 ABCD中，E是DC的中

28、點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的一點(diǎn)且BC=4CF, 說明AAEF是直角三角形.3.如圖， ACB和4ECD都是等腰直角三角形，/ ACB二 /ECD=90°, D 為 AB 邊上一點(diǎn)，求證：AD2+DB2=DE2.4.在 ABC 中，AB=15, AC=13,高 AD=12,則 ABC 的周長是5.在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點(diǎn)， 分別沿斜邊中點(diǎn)與這兩點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形,剩下的部分是如圖所示的直角梯形，其中三邊長分別為2、4、3,則原直角三角形紙片的斜邊長是（）A. 10C 10或4而B. 4拆D. 10或2萬76 .直角三角形斜邊上的中線長是 6.5, 一條直角邊長是5 角邊長等于

29、（）A. 13 B. 12 C. 10 D. 57 .如圖，在 ABC 中，/ACB=90°, /ABC=60°, BD 斗 /ABC, P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若 AD=6,則CP的長為A. 3B. 3.5C. 4D. 4.58 . AABC周長是 24, M 是 AB的中點(diǎn)，MC=MA=5, 是.9 .如圖， ABC和ADCE都是邊長為4的等邊三角形， 一條直線上，連接BD,則BD的長為（）A. 33B. 26C. 36D. 4相10 .如圖，四邊形 ABCD 中，/ DAB=/DCB=90°,點(diǎn) M、 中點(diǎn).MN、AC的位置關(guān)系如何？證明你的猜想.,則另一直BA則

30、AABC的面積AD點(diǎn) B、C、E 在同BCEDN分別是BD、AC的11.如圖，在 RtAABC 中，AC*B,±AB,垂足分別為E、F、則圖匚AAAD是斜邊BC上的高，DEXAC, DF/中與/ C （除/ C外）相等的角的個(gè)數(shù)/".是（）A. 2B. 3C. 4D. 512 .如圖，已知 DE=m, BC=n, / EB 化13 .在AABC 中，/C=90° , AB=6, 可能是（）A. 3.5B. 4.2C. 5.814 .如圖，在 RtABC 中，/A=30°,個(gè)、/BC與/DCB互余，求BD2+CE2的 BC力占一 AK/B=30 ，點(diǎn)P是B

31、C邊上的動(dòng)點(diǎn)，則 AP長不E；、干DKDE垂直平分斜邊AC,父AB于D, E是垂足，口CB連接CD,若BD=1,則AC的長是（A. 2石B. 2C. 4"D. 415.某市在舊城改造中,計(jì)劃在一塊如圖所示的 ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知/ A=150°,這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購買這種草皮至少需要A. 300a 元C. 450a 元B. 150a元D. 225a元16.D放風(fēng)箏是大家喜愛的一種運(yùn)動(dòng).星期天的上午小明在綠城廣場(chǎng)上放風(fēng)箏， 如圖他在A處時(shí)不小心讓風(fēng)箏掛在了一棵樹的樹梢上，風(fēng)箏固定在了 D處, 此時(shí)風(fēng)箏線AD與水平線的夾角為30°.為了便于觀

32、察，小明迅速向前邊 移動(dòng)邊收線到達(dá)了離A處6米的B處，此時(shí)風(fēng)箏線BD與水平線的夾角為 45°.已知點(diǎn)A、B、C在同一條直線上，/ ACD=90°.求DC的長度.17.已知，在4ABC 中，/A=45° , AC=V2 , AB=V3+1,則邊 BC 的長18.在 RtzXABC 中，/C=90°,AC=9,BC=12,則點(diǎn) C 到 AB 的距離是（a. 36 5C. 94B.任25D還419.如圖所示，等邊 ABC內(nèi)一點(diǎn)P到三邊距離分別為h1,h2,h3,且h+h2+h3=3,其中PD=h1,PE=h2, PF=h3,則 ABC 的面積 Smbc=（A.

33、 2芯B, 373C. 103D. 1273P,20.如圖， ABC中，/C=90°,兩直角邊AC=8, BC=6,在三角形內(nèi)有一點(diǎn) 它到各邊的距離相等，則這個(gè)距離是（）A. 1B. 2C. 3D.無法確定21.在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是 Si、S2、及、S4,則Sl+S2+S3+S4=.l22.如圖， ABC中，/ ACB=90°,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC上，且AD=BD, AD、CE相交于點(diǎn)F,若/ B=20° ,則/ DFE等于（A. 70°B. 60

34、C. 50°D. 4023.在銳角4ABC中，/BAC=60°, BN、CM為高，P為BC的中點(diǎn)，連 接 MN、MP、NP,貝U結(jié)論：NP=MP;當(dāng)/ ABC=60°時(shí)，MN / BC; BN=2AN; AN : AB= AM : AC , 一定正確的有（）A. 1個(gè)B, 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)三、回顧與思考【參考答案】一、 知識(shí)點(diǎn)睛1.互余，斜邊長2.平方和，平方，a 2+b2=c2,直角3 .斜邊的一半，一邊上的中線等于這邊的一半4 .斜邊的一半，300二、精講精練1. B 2.（略）3.（略）4.42 或 325.C6.B7. A8.24±AC,

35、證明（略）11. B12. m2+n 證明（略）13. D14. A16. 8m,求解（略）17. 218. A 19. B 20. B9.D10. MN15. B21. 422. B23. CAEPBFC CDA. 6B. 6 3 C. 8D. 4 3B直角三角形性質(zhì)應(yīng)用（隨堂測(cè)試）1 .如圖，將一個(gè)有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為 3cm的紙帶邊 沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一 邊所在的直線成300角，求三角板的最大邊的長是多少.2 .如圖，已知P是邊長為2的等邊三角形ABC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果PE，AB于E, PF1BC于 F, PD，AC

36、T D,求 PD+PE+P的化3.如圖是一副三角板拼成的四邊形 ABCD E為斜邊BD的中點(diǎn)，求/ACE 的度數(shù).【參考答案】1. 6 2cm 2.33. 15直角三角形性質(zhì)應(yīng)用（作業(yè)）1 .如圖，在RtAABC中，/ACB=90°, AB的垂直平分線DE交BC的延長線 于 F,若 / F=30°, DE=1, WJ EF的長是（）A. 3B. 2C. .3 D. 12 .如圖，在 ABC中，CF±AB于 F, BE!AC于 E, M 為 BC的中點(diǎn)，EF=7,BC=10,則4£5乂的周長是（）A. 17B. 21C. 24D. 273 .如圖， ABC

37、為等邊三角形，D為BC邊上一點(diǎn)，DEL AB于點(diǎn)E, DF± AC 于點(diǎn)F, DE+DF=3,則 ABC的周長為（）4 .如圖所示，在 RtAABC中，/C= 90°, / A= 30°, BD是 /ABC的平分線，CD= 5cm,則 AB=:5 .將一副三角尺如圖所示疊放在一起， 若AB=14cm,則陰影部分的面 積是 cnf.6 .如圖，在矩形 ABCD中，AB> AD, AB=4, AN 平分/ DAB, DM LAN, 垂足為M, CNJ±AN,垂足為N,則DM+CN=.第5題圖第6題圖7 .如圖，AB=AC, DEL AB 于 E, DF

38、± AC 于 F, 7BAC=120°, BC=6cm, 貝U DE+DF=.8 .如圖所示， ABC中，CE平分/ ACB交AB于E,過E作 EF/ BC交/ACD的平分線于 F, EF交AC于M,若CM=5,則 CS+Cf2=:BC D9 .如圖，在四邊形 ABCD中,AB=8, BC=1, / DAB=30°, /ABC=60°,四邊形ABCD的面積為5奔，求AD的長.10 .已知等邊 ABC和點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P到4ABC三邊AB、AC、BC的距離分別是hi、h2、h3, 4ABC的高 為h,若點(diǎn)P在邊BC上（圖1）,此時(shí)h3=0,可得結(jié)論hi+h2+h

39、3=h,請(qǐng)你探索以下問題：F當(dāng)點(diǎn)P在4ABC內(nèi)（圖2）和點(diǎn)P在4ABC外（圖3）這兩種情況時(shí)，hi、h2、h3與h之間有怎樣 的關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并簡要說明理由.圖1圖2圖35.4296. 2.2【參考答案】 1. B 2. A 3. B 4. 10,3 cm7. 38. 1009. 2 310.（圖 2） h1+h2+h3=h ,（圖 3） h1+h2 h3=h與直角有關(guān)的折疊、旋轉(zhuǎn)（講義）一、知識(shí)點(diǎn)睛1 .將直角三角形的性質(zhì)有序地梳理打包，就明確了直角特征常見的思考角度.與直角有關(guān)的折疊、 旋轉(zhuǎn)問題，往往需要借助折疊、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移條件，然后圍繞直角特征的使用去組合、搭配.2 .折疊與旋轉(zhuǎn)都

40、是,變換前后: 都相等，從而實(shí)現(xiàn)條件的轉(zhuǎn)移.旋轉(zhuǎn)過程中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)出現(xiàn) ;同樣的, 如果基本圖形能夠提供 （如等邊三角形、等腰直角三角形等），可以考慮利用旋轉(zhuǎn) 思想解決問題.二、精講精練1.把一張矩形紙片ABCD按如圖所示方式折疊，使頂點(diǎn) B和頂點(diǎn)D重合，折痕是EF.若BF=4, CF=2, WJ/DEF=.第1題圖2.3.4.CG如圖，已知在矩形 ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，BE=2CE,將矩 形沿著過點(diǎn)E的直線翻折后，點(diǎn)C, D分別落在邊BC下方的點(diǎn) C', D處，且點(diǎn)C', D', B在同一條直線上，折痕與邊 AD交于 點(diǎn)F, DF與BE交于

41、點(diǎn) G.設(shè)AB=t,那么 EFG的周長為 （用含t的代數(shù)式表示）.如圖，CD是RtAABC斜邊AB上的高，將 BCD沿CD折疊, B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則/A=.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，將 ADE沿AE折疊后得到 AFE,且點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部.將AF延長交邊BC于點(diǎn)G .若CG 1 ,則幽（用含k的代數(shù)式表GB k AB 示）.5 .動(dòng)手操作：在矩形紙片 ABCD中，AB=3, AD=5.如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn) A落在BC邊上的 A處，折痕為PQ,當(dāng)點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P, Q也隨之移動(dòng).若限定點(diǎn)P, Q分 別在AB, AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A在BC邊上

42、可移動(dòng)的最大距離為 .6 .如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm,底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜， 此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為cm （玻璃杯厚度忽略不計(jì)）螞蟻AC蜂蜜7 .如圖，把RtABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°,得到RtzXAB'C；點(diǎn)C恰好落在邊AB上，連接BB； 則 / BBC=.8 .把一副三角板如圖 1 放置，其中/ ACB=/DEC=90°, /A=45°, /D=30°,斜邊 AB=6, DC=7, 把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到

43、DiCEi （如圖2）,此時(shí)AB與CDi交于點(diǎn)O,與DiEi交于點(diǎn)F,連接ADi,則線段ADi的長為（圖29 .如圖，在 RtABC 中，/C=90°, /B=50°,點(diǎn) D 在邊 BC 上，BD=2CD.把 ABC 繞著點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m （0<m<180）度后，如果點(diǎn)B恰好落在初始RtAABC的邊上，那么m=10.探究：如圖 1,在四邊形 ABCD 中，/ BAD=/BCD=90°, AB=AD, AELCD 于點(diǎn) E.若 AE=10,則四邊形ABCD的面積為.應(yīng)用：如圖 2,在四邊形 ABCD 中，/ABC+/ADC=180°, AB

44、=AD, AELBC 于點(diǎn) E.若 AE=19,BC=10, CD=6,則四邊形ABCD的面積為:學(xué)霸數(shù)學(xué)11 .如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，AP=3, BP=4, CP=5,求/APB的度數(shù).12 .如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PA=1, PB=2,PC=3.求/APB的度數(shù).【參考答案】一、知識(shí)點(diǎn)睛2,全等變換，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，等腰三角形；等線段共點(diǎn).二、精講精練1. 60°2. 2石t3. 30025. 26. 157. 200學(xué)霸數(shù)學(xué)8. B9. 80或 12010. 100; 15211. 150°12. 135°與直角有關(guān)的折疊、旋轉(zhuǎn)（隨堂

45、測(cè)試）1 .如圖，將矩形紙片ABCD對(duì)折，得折痕MN,展開后再沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在MN上, 得折痕AE.若AB 事,則折痕AE的長為.第1題圖第2題圖2 .如圖，兩塊相同的三角板完全重合在一起，/ A=30°, AC=10,把上面一塊繞直角頂點(diǎn) B逆時(shí)針 旋轉(zhuǎn)到BC勺位置，若點(diǎn)C'在AC上，A Cf AB相交于點(diǎn)D,則C'廬:【參考答案】2.與直角有關(guān)的折疊、旋轉(zhuǎn)（作業(yè)）例 1:如圖，在 RtzXABC 中，/ACB=90°, / ABC=30°, AC=1，將 ABC 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 ABC, 使得點(diǎn)A恰好落在AB上，連接BB

46、；則BB'的長為.例2:將矩形紙片ABCD按如圖所示方式折疊,AE, EF 為折痕，/ BAE=30° , AB=V3 ,折疊后，點(diǎn)C落在AD邊上的C1處，并且點(diǎn)B落在EC1邊上的B1處，則BC的長為（A. 3B. 2C. 3D. 2 3例 1:如圖，在 RtzXABC 中，/ACB=90°, / ABC=30°, AC=1，將 ABC 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 ABC, 使得點(diǎn)A'恰好落在AB上，連接BB',則BB'的長為.【思路分析】1 .在 RtzXABC 中，由/ABC=30°, AC=1 得，BC=V3 , /A=

47、60°2 .由旋轉(zhuǎn)可得，/ ACA' ABCB, AC=AC, BC=BC;3 .由A'C=AC, /A=60°可得， AC A'是等邊三角形，故 /BCB=/ACA' =60°4 .由/BCB=60°, BC=BC可得， BCB是等邊三角形，故 BB' =C=而.例2:將矩形紙片ABCD按如圖所示方式折疊，AE, EF為折痕，/ BAE=30° , AB=V3 ,折疊后，點(diǎn)C落在AD邊上的Ci處，并且點(diǎn)B落在ECi邊上的Bi處，則BC的長為（）A. 、3B. 2C. 3 D. 2 .3ACi D【思路分

48、析】1 .在 RtABE中，由/ BAE=30°, AB=73得，BE=1, AE=2;2 .由矩形折疊得， AEC是等腰三角形；3 .由/EAC=60彳馬，4EAC是等邊三角形，EC= AE=2;4 .由折疊得，EC=EG=2,所以 BC=BE+EC=3.1 .如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將 ABE沿BE折疊后得到 GBE,延長BG交CD于點(diǎn)F.若CF=1, FD=2,則BC的長為(A. 3應(yīng)B. 246C. 245D. 243第1題圖第2題圖2 .如圖，將矩形ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)無縫隙無重疊的四邊形 EFGH .若AB=6cm, / EFH=30&#

49、176;, WJ邊 AD 的長是.3 .如圖，在正方形紙片ABCD中，E, F分別是AD, BC的中點(diǎn)，沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落在EF上，落點(diǎn)為N,折痕交CD邊于點(diǎn)M,BM與EF交于點(diǎn)P,再展開.有下列結(jié)論：CM=DM ; / ABN=30° AB2A. 1個(gè) B. 2個(gè)3CM2;4PMN是等邊三角形.其中正確的有(C. 3個(gè) D. 4個(gè)角邊的中點(diǎn)A=30°,BD: DC=2:B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)段BO以點(diǎn)B第3題圖第4題圖4 .如圖，兩塊完全一樣的含30°角的三角板重疊在一起，若繞長直 M轉(zhuǎn)動(dòng)，使上面一塊的斜邊剛好過下面一塊的直角頂點(diǎn)，/ AC=10,則此時(shí) CC =

50、.5 .如圖，在 RtAABC 中，/ C=90°, / B=70°,點(diǎn) D 在邊 BC 上, 展.將線段DB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m (0<m<180)度后，若點(diǎn) 恰好落在 ABC的邊上，則 m=:6 .如圖，O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3, OB=4, OC=5,將線為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至IJ線段BO,連接AO.有下列結(jié)論：BO A可以由ABOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60彳馬到；點(diǎn)。與點(diǎn)。'的距離為4;/AOB=150°S四邊形aobo=6 3/3；&aoc+Saob=6 V3 ,其中正確結(jié)論的序號(hào)是 47 .如圖，有一

51、個(gè)長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長 AD=80cm,高AB=60cm,水深為AE=40cm,在水面上緊貼內(nèi)壁 G處有一魚餌，G在水面線EF上，且EG=60cm； 一小蟲想從魚缸外的A點(diǎn)沿壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)G處吃魚餌.（1）小蟲應(yīng)該怎樣走才能使爬行的路線最短呢？請(qǐng)你畫出它爬行的最短路線示意圖.（2）求小蟲爬行的最短路線長.8 .如圖，在四邊形 ABCD 中，/ BAD=/BCD=90°, AB=AD.若 邊形ABCD的面積為24,求AC的長.【參考答案】1. B2. 4 6 cm3. C4. 55. 40 或 1506. 7. (1)略；(2) 100 cm8. 40一元一次不等式（組）基礎(chǔ)（講

52、義）一、知識(shí)點(diǎn)睛1.連接的式子叫做不等式.一叫3.,也叫；y叫一也叫.不等式三個(gè)基本性質(zhì)：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè),不等號(hào)的方向不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè),不等號(hào)的方向不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè),不等號(hào)的方向2.不等式的解與不等式的解集.理解不等式的概念：用符號(hào) 叫做不等式的解;組成這個(gè)不等式的解集叫做解不等式.不等式的解集可以在數(shù)軸學(xué)霸數(shù)學(xué)上表示，需注意的區(qū)別.4. 一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是 ,只含有一個(gè),并且未知數(shù)的最高次 數(shù)是1,像這樣的不等式，叫做一元一次不等式.5. 一元一次不等式組及其解法.一般地，就組成了一個(gè)一元一次不等式組.2 叫做這個(gè)不等

53、式組的解 集.,叫做解不等式組.二、精講精練1 . a的5倍與3的差不小于10,用不等式表示為 :2 .籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場(chǎng)得2分，負(fù)1場(chǎng)得1分.某隊(duì)預(yù)計(jì)在20122013 賽季全部32場(chǎng)比賽中至少得到48分，才有希望進(jìn)入季后賽.假設(shè)這個(gè)隊(duì)在將要舉行的比賽中勝 x場(chǎng)，x應(yīng)滿足的關(guān)系式是.3 .判斷正誤.1) 2<3；()2)由 2x> 6,得 x< 3;()3) 由 ac>bc,且 cwQ 得a>b;()4)如果 a<b<0,則 a<1 .()b4 .已知a>b, cwQ則下列關(guān)系一定成立的是()a bA. ac>bcB. > 一c cC. c a>c bD. c a>c b5 . x 2不等式x 3>4的解(填“是”或“不是”).6 .關(guān)于x的不等式x a<0的解集如圖所示，則a .JI I , IJ5432 10 1 234 57 .若關(guān)于x的不等式3m 2x<5的解集是x>2,則m=.8 .不等式x & 1的非負(fù)整數(shù)解是 ;不等式x > 1的最小整數(shù)解是 .9 .解下列不等式，并把它們的解集分別表示在數(shù)軸上