《九章算術(shù)》與高考數(shù)學(xué)

1、ZHUAN TI SHI SI圉園田九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)若把 原本“比 算術(shù)"，此中翹楚是九章.這是對(duì)代表 東方數(shù)學(xué)最高成就的巨著九章算術(shù)的贊譽(yù).九章算術(shù) 是勤勞勇敢的中華民族的智慧結(jié)晶，是中華文化和中華文明 傳承的經(jīng)典之作，尊為古代數(shù)學(xué)群經(jīng)之首.九章算術(shù)所創(chuàng) 立的機(jī)械算法體系顯示出比歐幾里得幾何學(xué)更高的水準(zhǔn).并 將其擴(kuò)展到其他領(lǐng)域，其算法體系至今仍推動(dòng)著計(jì)算機(jī)的發(fā) 展與應(yīng)用.為更好的傳承這一舉世無(wú)雙的經(jīng)典之魁.宏揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化 和中華文明，近年來(lái)在全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題中，從九章算術(shù) 中選取與當(dāng)今高中數(shù)學(xué)教學(xué)相映的題材背景，經(jīng)命題專家精 細(xì)加工，再滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想

2、和方法.編制出精妙絕倫的當(dāng) 今數(shù)學(xué)高考試題.體現(xiàn)出九章算術(shù)與現(xiàn)代高考的優(yōu)美結(jié)合.體現(xiàn)了中華古代文明與現(xiàn)代文明的相映.（一 九章算術(shù)與高考真題案例展示案例展示1. （2015高考全國(guó)卷1,5分）九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問(wèn)：積及為）,米堆底部的弧長(zhǎng)米幾何？ ”其意思為： 在屋內(nèi)墻角處 堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多 少？ ”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)A. 14 斛B. 22 斛C. 36 斛D. 6

3、6 斛此題源于九章算術(shù)卷第五商功之 二五,將古代文化依垣”和現(xiàn)代教育元素 圓錐”結(jié)合，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó) 情操和認(rèn)識(shí)中華古典文化有著深刻的教育意義.2. (2015高考全國(guó)卷n, 5分)下邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的更相減損術(shù)執(zhí)行該 程序框圖，若輸入的a, b分別為14, 18,則輸出的a=()D. 14A. 0C. 4此題源于九章算術(shù)卷第一方田之 六:又有九H一分之四十九.問(wèn)約之得幾何？ ”可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之”，后人稱之為 更相減損木”，它是求最大公約數(shù) 的偉大創(chuàng)舉.3. （2015高考湖北卷）九章算術(shù) 中，

4、將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬， 將四個(gè)面都為直角三角形的四面體 稱之為鱉月需，如圖，在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱PD，底面ABCD,且 PD = CD,過(guò)棱 PC 的 中點(diǎn)E,作EF XPB交PB于點(diǎn)F ,連接DE , DF , BD, BE.（1）證明：PBL平面DEF.試判斷四面體 DBEF是否為鱉月需， 若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理 由.(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 DC3求BC的值.此題背景源于九章算術(shù)卷第五商功之一五.今有陽(yáng)馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問(wèn)積幾何；之一六今有鱉月需,下廣五尺，無(wú)袤；上袤四尺，無(wú)廣，高七

5、尺.問(wèn)積幾何.考 題將 陽(yáng)馬”，鱉月需”相結(jié)合，以選修21P109例4為源進(jìn)行有機(jī)整合.巧妙嫁接，精典設(shè)問(wèn)，和諧優(yōu)美的考題呼之即出.讓數(shù)學(xué)教育者與高考學(xué)子為之贊嘆!專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)九章算術(shù)商功：“斜解立方，得兩塹堵。'斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉膈。陽(yáng)馬居二, 鱉膈居一，不易之率也。合兩鱉膈三而一，驗(yàn)之 以蒸，其形露矣?！?劉徽注：“此術(shù)脯者，背節(jié)也，或曰半陽(yáng)馬，其 形有似鱉肘，故以名云。中破陽(yáng)馬，得兩鱉膈, 鱉膈之起數(shù)，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一即得?！睂ｎ}十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)陽(yáng)馬和鱉麝是我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體 的稱謂.取一長(zhǎng)方體，按下圖斜割一分為二，得 兩個(gè)一模一樣的三棱

6、柱，稱為塹堵.a專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱 錐和三棱錐各一個(gè).以矩形為底，另有一棱與 底面垂直的四棱錐，稱為陽(yáng)馬.余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉塹堵*陽(yáng)馬毅專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)陽(yáng)馬和鱉疆成為2015年湖北高考的代名詞試題以九章算術(shù)中研究立體幾何 所用的兩個(gè)特殊錐體（陽(yáng)馬、鱉腌）為背景，可謂推陳出新，給考生留下深刻的印象，“陽(yáng)馬”和“鱉腌”這兩個(gè)數(shù)學(xué)名詞，迅速在網(wǎng)上傳播起來(lái), 成為熱門話題.專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)賴1M升至432人東方之救援現(xiàn)場(chǎng)舉行哀悼活動(dòng)早上作文寫“泉水V心情還不錯(cuò),下午傻了眼一高考數(shù)學(xué)出“警瞧”學(xué)霸噫難幾何題

7、，出現(xiàn)文言文,你知道“象就”是什幺嗎例1 （2011年理科卷第13題）九章算術(shù)“竹九節(jié)” 問(wèn)題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差 數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第 5節(jié)的容積為 升.專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)例2 （2012年理科卷第10題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開(kāi)立圓術(shù)”日:置積尺數(shù),以十六乘之，九而一,所得開(kāi)立方除之，即立圓徑，開(kāi)立IH術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積y，求其直徑d的一個(gè)近似公式d伊人們還用過(guò)一些類似的近似公式.根據(jù)ga14159判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是（）.Dd=懵J九章算術(shù)與現(xiàn)代高考典例展示高考數(shù)學(xué)試題由九章算術(shù)中，典型的數(shù)

8、學(xué)問(wèn)題結(jié)合現(xiàn)代 數(shù)學(xué)教育命制而成.然而九章算術(shù)中，精典的數(shù)學(xué)問(wèn)題 十分豐富，現(xiàn)以九章算術(shù)中部分精典的問(wèn)題與現(xiàn)代數(shù)學(xué) 相結(jié)合，編制如下幾道高考數(shù)學(xué)試題模型.專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)選擇型典例展示1.九章算術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，在其中有道竹九問(wèn)題”今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升.問(wèn) 中間二節(jié)欲均容各多少？ ”意思為：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容 量和為4升，上四節(jié)容量之和為 3升，且每一節(jié)容量變化均 勻（即每節(jié)容量成等差數(shù)列）.問(wèn)每節(jié)容量各為多少？在這個(gè)問(wèn) 題中，中間一節(jié)的容量為（C ）737A.2B.336710C.66D. 11解析設(shè)從最下節(jié)往上的容量構(gòu)成等差數(shù)列an,公差為d.a1a2

9、 a3 4f +=3ai 3d 4， + =14a +26d= 3則, - a + a + a + a9876解得a1 = 95, 66d= 一766工) = 67.故選C.6666中間為第五節(jié)，即a5=a1 + 4d= 95 + 4><(662.九章算術(shù)是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)經(jīng) 典.其中對(duì)勾股定理的論術(shù)比西方早一 千多年，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之， 深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)徑幾何？ ”其 意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸 去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長(zhǎng)1尺.問(wèn)這塊圓柱形木料 的直徑是多少？長(zhǎng)為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中， 截面圖

10、如圖所示（陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分）.已知弦AB=1尺，弓形高CD =1寸，估算該木材鑲嵌在墻 中的體積約為（D）（注：1 丈=10 尺=100 寸，兀 814, sin 22.5 心 務(wù)13A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸解析連接OA、OB, OD,設(shè)QD的半徑為R, 則(R1)2+52=R2, .R=13.AD 5sin/ aod =AO =13. ./AOD=22.5 ,即 /AOB = 45 . S弓形ACB= S扇形OACB SaOAB45 冗 X1321=3602x1°M2F.33 平方 ,該木材鑲嵌在墻中的體積為V = S弓形

11、ACBX100書33立方寸.選 D.3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：1 1 11第一步：構(gòu)造數(shù)列1, 2，3，4，n.第二步：將數(shù)列的各項(xiàng)乘以n,得數(shù)列（記為）a1，a2, a3,an.則 a1a2+ a2a3+,+ an-1an 等于(C )A. n2B. (n-1)2C n(n 1)D n(n+1)解析aia2+a2a3+ , +an-iann n -n 1 n= n2+ ,+11 22 3(n-1) n11111= n 1 2+2-3-+ , +- n 1 nn1=n2n=n(n 1).選 C.專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)(4)九章算術(shù)商功章

12、有題：一柱形谷倉(cāng)，高I文3尺與寸，容納米2000斛"丈3),則圓柱底圓周長(zhǎng)約=10尺，1尺=10寸，斛為容積單位，1斛L62立方尺，n為(A) 1丈3尺<B) 5丈4尺(C)9丈2尺(D) 48丈6尺專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)古代數(shù)學(xué)典籍九章算術(shù)尸短不足”中有一道兩雙穿墻問(wèn)今有垣厚十尺.兩鼠時(shí)穿初丁/* 入a,s.h7日各一尺,大鼠日自倍.小鼠H自半,問(wèn)幾何口相逢廠現(xiàn)用程序框圖描述,如圖所示,則出結(jié)果兒 4B, 5a 2D. 3著等比數(shù)列1。.1的各項(xiàng)均為正數(shù),*2a,-3.3二0,打=1 C結(jié)柬Daj =4%<>廠則叫二專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)在我國(guó)古代著名的數(shù)

13、學(xué)專著九章算術(shù)里有一段敘述:今有良馬與鴛馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去 長(zhǎng)安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里;駕馬初日行九十七里，日減半里;良馬先至齊，復(fù)還迎鴛馬，二馬相逢.問(wèn):幾日相逢?A. 12 BC.8日D.9日專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)九章算術(shù)逐我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如卜問(wèn)題今有五人分五錢，令上二人所得與下 三人等問(wèn)各得幾何?”其意思為已知甲.乙,丙,丁戊五人分5懾，甲、乙兩人所得之和與 丙,丁,戊三人所用之和相同，且甲乙，丙、丁，戊所得依次成等差數(shù)列.向五人各得多少錢?妙 （“錢R是古代的一種重量單位）.這個(gè)同鹿中，甲所得為專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)8.九章算術(shù)中，將底面是

14、直角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，己知某“塹堵”的三視如圖所示,俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為.B. 4+2正惻視圖（第8題圖C. 4 + 472D. 6 + 42專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)6中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記投了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)幾器一鞅綱方升，其三視圖如圖所示（單位中）.若x取3,其體積為12.6（立方寸）.則圖中的X為（C * 1,8D. 2.4A. L2正視側(cè)視圖俯視圖專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)4.九章算術(shù)卷5商功記載一個(gè)問(wèn)題“今有圓堡巡， 周四正八尺，高一丈一尺.問(wèn)積幾何？答曰：二千一百H 二，巳術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .這里所說(shuō)

15、 的圓堡璇就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之， 十二而二;.”就是說(shuō)：圓堡璇（圓柱體）的體積為：V=±X（底 面的圓周長(zhǎng)的平方X高）,則由此可推得圓周率加的取值為（） A.3B314C32D312r專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)填空型典例展示4.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前 344年商 鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器 商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單 位：寸）5.4卜 3 h：|1 11正視圖側(cè)視圖俯視圖兀1.6若取3,其體積為12.6（立方寸），則圖中的x為解析由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長(zhǎng)方體組合而 成.由題意得:(5.4x)*M+兀(12)2x=12.6,解得x= 1.

16、6.專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 引葭赴岸”是一 道名題，其內(nèi)容為：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與齊.問(wèn)水深葭長(zhǎng)各幾何 ”意為：今有邊 長(zhǎng)為1丈的正方形水池的中央生長(zhǎng)著蘆葦，長(zhǎng)出水面的部 分為1尺，將蘆葦牽引向池岸，恰巧與水岸齊接，問(wèn)水深蘆葦 的長(zhǎng)度各是多少？將該問(wèn)題拓展如圖，記正方形水池的剖面 圖為ABCD,蘆葦根部O為AB的中點(diǎn)，頂端為P（注蘆葦與 水面垂直）.在牽引頂端P向水岸邊中點(diǎn)D的過(guò)程中，當(dāng)蘆葦 36餐過(guò)DF的中點(diǎn)E時(shí),蘆彳的頂端離水面的距離約為一9尺.（注：1 丈=10 尺，）601 中4.5）專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)解析設(shè)水深

17、為x,則 x2+52=(x+ 1)2, 解得：x=12.水深12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺, 以AB所在的直線為x軸， 蘆葦所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系, 在牽引過(guò)程中，P的軌跡是以。為圓心，半徑為13的圓, 其方程為x2+y2=169, ( 5口逐，12勺W3),5E點(diǎn)的坐標(biāo)為（一2 ,12）, 24OE所在的直線方程為y= 5 x,169義576 13X 24 624 由聯(lián)解得y=601 弋 24.5 = 49.則此時(shí)蘆葦?shù)捻敹说剿娴木嚯x為 624364912 = 49.專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)解答型典例展示6.九章算術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它 在幾何學(xué)中的研究比西方早1千多年.例如塹堵指底面

18、為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，陽(yáng)馬指底面為矩形,側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉月需指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖，在塹堵 ABC-A1B1c1中，ACXBC.(1)求證：四棱錐B-AiACCi為陽(yáng)馬，并判斷四面體 AiCBCi是否為鱉月需，若是寫出各個(gè)面的直角(只寫出結(jié)論)；(2)若AlA = AB=2,當(dāng)陽(yáng)馬B-AiACCi體積最大時(shí)；求塹堵ABC-AiBiCi的體積；求C到平面AiBCi的距離； 求二面角C-AiB- 5的余弦值.解(1)證明:由塹堵ABC-A1B1cl的性質(zhì)知:四邊形A1ACC1為矩形.A1A，底面 ABC, BC?平面 ABC,BCXA1A,又 BC 1AC

19、, A1AAAC = A.A1A, AC?平面 A1ACC1.BC，平面 A1ACC1,，四棱錐B-A1ACC1為陽(yáng)馬，且四面體A1CBC1為鱉月需，四個(gè)面的直角分別是 /A1CB, /A1clC, ZBCC1, /A1clB.(2). A1A = AB=2.由(1)知陽(yáng)馬B-A1ACC1的體積1V = 3 s 矩形 A1ACC113 M1AXACXBC3AC XBC? 3(AC2+ BC2)=3XAB2= 3.當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=12時(shí),4V -max=3)此時(shí)塹堵ABC-A1B1c1的體積V =A12 1 G2d 2.由題意與題圖知，V 三棱錐B-A1AC = V 三棱錐B-A1C1C12

20、=2V 陽(yáng)馬 B-A1ACC1 = 3.又 A1c1=2, BC1 = BBC2+ C1C2= 6)6,設(shè)C到平面A1BC1的距離為d.12貝3SAA1BC1 d= 3.專題十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)即3 22xd= 3 , 42d= 2x 6 = 3 3.法一： 設(shè)C在平面A1BC1上的射影為D（事實(shí)上DWBC1）.在A1B 上的射影為E.連接DE,易知A1B1ED.Z CED即為二面角C-A1B- C1的平面角.由知CD = d=3 %.由直角三角形A1BC得CE = AiCBC A1Ba/a1A +AC BC=22AiA +ab62 6二萬(wàn)，2 26 44 3.DE = 4cE2-CD2專題

21、十四九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)DE cosZ CED = ce =661g= 363.2即二面角C-AiB-Ci的余弦值為3.法二：以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz則 Al(0, 42, 2), B也，0, 0), Ci(0, 0, 2).二 ° LCAi =(0, 2, 2), CB = ( 2, 0, 0),CCiB由,0, -2),CiAi = (0, V2, 0),設(shè)平面CA1B的法向量為n1 = (x1, y1, z1).平面C1A1B的 法向量為 n2=(x2, y2, z2), 一 二 n 一. 一 ni CAin2 CiAi = 0貝N.ni CB=0,1n2 CiB=0V2y1 + 2z1