2020年高考數(shù)學理平面向量母題

1、專題06平面向量6 ,貝 1 cos(a, a b)=【母題原題1】【2020年高考全國出卷，理數(shù)】已知向量a,b滿足|a| 5,|b| 6,a bA.3135B.193517C.35D.1935"Ta Jra出 算D 計Jr aa,a值 的的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出251936故選：D.【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算,同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及向量模的計算，考查計算能力，屬于中等題【母題原題 2】【2019年高考全國出卷理數(shù)】已知a, b為單位向量，且a b=0,若c 2a J5b ,貝U cos(a ,c)23因為 c 2a ,5b, a b 0,所以

2、a c 2a2 5a b 2，|c |2 4|a |2 45a b 5|b|2 9,所以 |c| 3,a c222所以cos(a,cTT-|-.故答案為：一.''a|c|1333【名師點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角.滲透了數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng).使用轉化思 想得出答案.【母題原題3】【2018年高考全國出卷理數(shù)】已知向量a= 1,2 , b= 2, 2 , c= 1,入.若c/ 2a + b，則11由題可得2ab 4,2 , c/ 2a+b , c= 1,入，42 0,即 一，故答案為：一.122【名師點睛】本題主要考查向量的坐標運算，以及兩向量共線的坐標關系，

3、屬于基礎題.解題時，由兩向量共線的坐標關系計算即可.【命題意圖】主要考查考生的直觀想象能力、數(shù)學運算能力和方程思想、數(shù)形結合思想的運用.【命題規(guī)律】在高考中的命題重點有平面向量的線性運算、共線向量定理、平面向量基本定理及向量的坐標運算，主要以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，難度不大.【答題模板】1 .向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標.2 .解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程（組）來進行求解.3 .兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：（1）若 a =（X1, y1），b =（X2, y2）,則 a/b

4、的充要條件是 xy2 x2y1 = 0；（2）若a / b （aw。，則b=入應視題目條件靈活選擇.【知識總結】1 .向量的有關概念向量的定義及表示：既有大小又有方向的量叫作向量.以 A為起點、B為終點的向量記作 aB ,也可用黑體的單個小寫字母 a, b, c,來表示向量.向量的長度（模）：向量AB的大小即向量 AB的長度（模），記為|ABI.11）向量不同于數(shù)量，向量不僅有大小，而且還有方向.（2）任意向量a的模都是非負實數(shù)，即|a| >0（3）向量不能比較大小，但 |a|是實數(shù)（正數(shù)或 0）,所以向量的?？梢员容^大小.2 .幾種特殊向量特殊向量定義備注零向量長度為0的向量零向量記作

5、0,其方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量a單位向重記作 a0, a0=.|a|方向相同或相反的非零向量(也平行向量叫共線向量)相等向量長度相等且方向相同的向量長度相等且方向相反的兩個向相反向量量說明：(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個實數(shù),0與任意向量共線相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量.若a, b為相反向量，則 a= 6.0是一個向量，且|0|=0；(2)單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同；(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫作共線向量;a . a(4)與向重 a平仃的單位向重有兩個，即向重 一和一一.|a|a|3 .平面向量運算

6、的坐標表示運算坐標表示和(差) 已知 a= (xi, yi) , b=(X2, y2),貝U a + b=(X1+X2, yi+y2), a-b= (xi 贄，yi 42)數(shù)乘 已知a= (xi, yi),則？a=(入i,入y),其中人是實數(shù).任一向量已知 A(xi,yi), b (x2,y2),則AB=(x2)i,y2y).的坐標說明：(i)相等的向量坐標相同；(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的端點無關，只與其相對位置有關.4 .平面向量共線的坐標表示(i)如果 a= (xi, yi) , b=(X2,y),則 a/b 的充要條件為 xiy2%2yi=0.(2) A(Xi, yi) ,

7、 B (x2,y2), C (x3, y3)三點共線的充要條件為( x2力i)(y3y)- (x3i)(y2y)=0 ,或(X2i)( y3 y2)=(X3>2)( y2yi),或(X3 i)(y3/2)=(X32)(y34i).5 .向量的數(shù)量積(i)平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為 0,則數(shù)量|a|b|cos。叫作a與b的數(shù)量積，記作 a b,即a b=|a|b|cose.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零.(2)向量數(shù)量積的性質(zhì)設a, b為非零向量，它們的夾角為8,則設e是單位向量，且 e與a的夾角為 0,則e a=a e=|a|cos 8；a, b? a

8、b=0 ；當a與b同向時，a b=|a|b|；當a, b反向時，ab=-|a|b|.特別地，a a=a2-=|a|2 或 |a|= Ja a ;|ab|的|b|,當且僅當a與b共線，即a/b時等號成立；cos.a b .|a|b|(3)向量數(shù)量積的運算律交換律：ab=ba；數(shù)乘結合律：(：a) b= X (a b) =a ( 2)；分配律：(a+b) c=a c+b c.(4)平面向量數(shù)量積的幾何意義一個向量在另一個向量方向上的投影設。是a, b的夾角，則|b|cos。叫作向量 b在向量a的方向上的投影，|a|cos。叫作向量 a在向量b的方向上的投影.a b的幾何意義數(shù)量積a b等于a的長度

9、|a|與b在a的方向上的投影|b|cos。的乘積.注意：投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量，不是向量.設兩個非零向量 a與b的夾角為8,則0為銳角？ a b>0且向量a, b不共線；0為鈍角？ a b<0且向量a, b不共線；當a b>0時，cos 0>0,則。是銳角或 (=0° (此時cos 6=1)；當a b<0時，cos 0<0,則。是鈍角或 (=180° (此時 cos 6= 1).【方法總結】1 .只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(1)基底ei, e2必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，零向量不

10、能作為基底；(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一；11,(3)如果對于一組基底 e1，e2,有a= Re+淪e2= ue1+修2,則可以得到2 .平面向量的線性運算的求解策略:(1)進行向量運算時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對 應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解.3 .向量的線性運算(1)向量的線性運算集中體現(xiàn)在三角形中，可構造三角形，利用向量加減法的三角形法則表示相關

11、的向量, 利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，得出含相關向量的關系式.(2)向量線性運算的常用結論:在 ABC中，若D是BC的中點，則)O為AABC的重心的充要條件是2四邊形ABCD中，若E為AD的中點,F為BC的中點，則4 .利用共線向量定理解題的策略(1) all b? a=2b (bR)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.即A,B,C三點共線？(3)若a與b不共線且 2a=或，則N心=0 .4 4) OA=OB+a

12、OC (%心為實數(shù))，若 A, B, C三點共線，則 H1.5 .利用平面向量基本定理解題的策略(1)先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算.(2)在基底未給出的情況下， 合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達式.注意：(1)若a, b為非零向量，且 all b,則a, b的夾角為0?；?80。，求解時容易忽視其中一種情形而導 致出錯.(2)零向量和共線向量不能作基底，基底通常選取確定整個幾何圖形的從同一結點出發(fā)的兩邊所對應的向量.6 .向量坐標運算問題的一般思路(1)向量問題坐標化：向量的坐標運算，使得向量的線性

13、運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結合起來，通過建立平面直角坐標系，使幾何問題轉化為數(shù)量運算.(2)巧借方程思想求坐標：向量的坐標運算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，求解過程中要注意方程思想的運用.(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)：利用坐標運算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐標，再用待定系數(shù)法求出系數(shù).7 .求向量模長利用數(shù)量積求模是數(shù)量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法：(1) a2=a a=|a|2或|a|= Ja a ;(2)|a 治|=而b)2 = J022a?bb2 ；(3)若 a= (

14、x, y),則 |a|=Jy2 .8 .求向量模的最值(范圍)的方法(1)代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結合動點表示的圖形求解；(3)利用絕對值三角不等式|a|b| a如| Q|+|b|求模的取值范圍.9 .求向量夾角問題的方法(1)定義法：當a, b是非坐標形式，求 a與b的夾角。時，需求出a b及|a|, |b|或得出它們之間的關系，由a bcos =求得；|a|b|(2)坐標法：若已知 a= (xi, yi)與 b=(X2, y2),貝U cos<a, b>=- g yiy2, <a

15、, b>60,一2222Xi yi :, X2 y210 .用向量法解決平面(解析)幾何問題的兩種方法：(i)幾何法：選取適當?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算；(2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉化為代數(shù)運算.一般地，存在坐標系或易建坐標系的題目適合用坐標法.11 .平面向量常與幾何問題、三角函數(shù)、解三角形等問題綜合起來考查，解題關鍵是把向量關系轉化為向量的有關運算，進一步轉化為實數(shù)運算，進而利用相關知識求解.1 . ( 2020四川省閶中中學高三二模(理)已知向

16、量B. -6C. 6由已知向量的坐標求出b的坐標，再由向量垂直的坐標運算得答案. a (1,m),b (3, 2),(4,m 2),又(.3必+ (2) X (m2) = 0,解得 m = 8.故選D.7. （ 2020四川省高三三模（文）如圖，在ABC 中,D是邊2 一BC延長線上一點，BC 一8口，則（）3A.C.3AB 1ACAd1 4 AB21AB33品24-利用平面向量的三角形加法和減法法則即得解由題得 aD aC cD Ac Bc* Ac 2故選B8. （ 2020四川省綿陽南山中學高三一模（理）如圖,O是直角八ADC的外接圓，過點 C作圓O的切線,)A 24B. 6百C 39D

17、18交AD的延長線于點B, M為線段BC上的動點，連接 am交CD于N, BC 6,AD : DB 1: 3,則AC AM Ab aN先求出BD 3J3, AD J3, AC 2J3,再利用向量的加法和數(shù)量積運算求解即可由題得/ ACB / ADC90：,由射影定理得BC2 62BD ABBD - BD, BD 3. 3, AD 、3, 3由射影定理得cd2 ADBD ,33 -. 3, CD 3, AC , .32 322,3-所以 aC aM aB aN Ac (aC cM) aB (aD "N)aC2 aC Cm aB aD aB dN(2<3)2 4,3.3 cos0：

18、24-故選A.11. （ 2020眉山市東坡區(qū)永壽高級中學高一期中）已知點1,1 ,B 1,2 ,C2, 1 ,D3,4，則向量A方向上的投影為（B 3 15B2D.3/152點(2,1), cD（5,5）,向量部在方向上的投影為C2 5 15523.22-，故選A .12. （2020眉山市東坡區(qū)永壽高級中學高一期中）若平面向量哂吊的夾角為 60° , |?> = 4, (?+ 2?) ?(?- 3的=-72 ,則向量M勺模為（A. 2 B . 4 C.6 D, 12.(?+ 2的 (?- 3?=13. （2020四川省石室中學高三一模（文）在平面直角坐標系中,O為坐標原點，

19、已知兩點 A cos ,sinB cos 一 ,sin3.則oAA. 1B. .3C. 2D,與有關根據(jù)題意，求出向量的坐標,進而可得OA的坐標，由向量模的公式以及和角公式計算可.I?2 - ?獴 6|?2 = -72，又 :？? ?=圖-|?cos60 |?2 - 2|? - 24 = 0,則圖=6,故選?解：根據(jù)題意,A cos,sin,sin,sincos一 ,sin 3coscos一 ,sin 3sincoscossinsin2 2cos cos2sin3sin2 2cos33,則故選B.15. （2020四川省越西中學高一月考）若四邊形ABCD是邊長為2的菱形,BAD 60，E,F

20、分別為 BC,CD的中點，則 aE eF （）1 A.21B.一2C.D.運用向量的加減運算和平面數(shù)量積公式以及運算，主要是向量的平方即為模的平方，結合菱形的性質(zhì)，化簡 即可得到所求值四邊形ABCD是邊長為2的菱形，BAD 60：,可彳aB aD 22 cos60 2，則 AE EF-Ad 1 bd1AB 那 AD AB1 一，一，故選A.218.（ 2020四川省閶中中學高一月考）已知向量(6,k), a b,則kD. 12A. -12B. -6C. 6DI由向量垂直可得 a b2( 6)k0,解出k值即可.向量 a (2,i), b(6,k),ab,. a b 2 ( 6) k 0,k 1

21、2,故選D.2,19. （ 2020四川省宜賓市第四中學校高三二模（理）已知向量則 a 2b（）A. 2芯B. 3C. V21a4a算 計242b4a 由 AJr a2,Jr a-r aJraJlaLacos 0 ,2訴2 4 22 21,b 2故選C.22.（2020遵義市南白中學高三其他（理）在ABC 中,bD如，則A.B.C.D.10先根據(jù)aPBD* DC*, aP' 2pD,得到P為 ABC的重心，從而AP1 aB 1 aC ,利用 bP aP aB 可彳b bP 33因為所以bD dC,AP 2pD,所以P為ABC的重心,aD iaB iaC, 3aP iW=t1的值.所以2

22、. 2aP 1AB 1AC,所以所以bP aP aB - aB3bPaB23,13,27. （2020貴州省貴陽一中高三月考（文）平面向量A. 2B. 4C. 8D. 16B的值，計算出利用平面向量數(shù)量積的運算求得24 ,可得a 5422b4bJraa耳22b 的值，進而可求得a 2b的值.16,因此,故選B.a 2b4.28. （ 2020貴州省高三其他（文）若向量,由此求得求得依題意兩式相加得所以ABA.1,1B,0,6TBCl T2AB所以0,3C.2,2D, 0,311故選D29. （2020貴州省高三一模（理）已知向量（k,3）,且a與b的夾角為135，則k （）A.9B. 1C.D

23、.由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義和公式，求k的值.解：由題意可得 cos1352k12Y |a| |b| ,4 16 . k故選C.33. （ 2020尋甸回族彝族自治縣民族中學高二月考（文）已知向量則實數(shù)a的值為（）B. 2 或 1C.2或D.根據(jù)題意，由向量平行的坐標表示公式可得2,解可得a的值，即可得答案.根據(jù)題意，向量1,1若解可得a 2或1；故選C.通過向量的運算，將問題轉化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問題的一般方法；（3）向量的兩個作用:載體作用：關鍵是利用向量的意義、作用脫去向量外衣”，轉化為我們熟悉的數(shù)學問題；工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題36.

24、 （2020西藏自治區(qū)拉薩那曲第二高級中學高三月考（理）若非零向量Jf a（）A. 1B.1C.D.Jra2 ,日 32*2b）,可得 a 2a0 ,從而得出12故選a37.（2020西藏自治區(qū)拉薩那曲第二高級中學高三月考（理）已知向量la(2,8) 1 ( 4,2),且C 工*b),2那么向量A. ( 1,5) B, ( 2,10)C. ( 6, 6)D, ( 3, 3)A由題意結合平面向量線性運算的坐標表示即可得解1-2 4,8 22故選A.3,4，則a在b方向上的投影38. （ 2020廣西壯族自治區(qū)南寧三中高三月考（文）已知向量11設a與b的夾角為，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得在b方向上的投影為cos得解.設a與b的夾角為在b方向上的投影為a cos1 2 _3_432 421139. （2020廣西壯族自治區(qū)高三其他(文)已知向量m2,0 ，則在n方向上的投影為根據(jù)向量夾角的坐標表示，得到cos,再由投影的