計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章第二章 回顧：回顧：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本數(shù)學(xué)工具的基本數(shù)學(xué)工具代數(shù)知識(shí)代數(shù)知識(shí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)主主要要內(nèi)內(nèi)容容概率論基礎(chǔ)概率論基礎(chǔ)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 求和運(yùn)算子（求和運(yùn)算子（Summation Operator）是用以表示多）是用以表示多個(gè)數(shù)求和運(yùn)算的一個(gè)縮略符號(hào)。個(gè)數(shù)求和運(yùn)算的一個(gè)縮略符號(hào)。 如果如果 表示表示n個(gè)數(shù)的一個(gè)序列，那么我個(gè)數(shù)的一個(gè)序列，那么我們就把這們就把這n個(gè)數(shù)的總和寫(xiě)為：個(gè)數(shù)的總和寫(xiě)為：第一節(jié)第一節(jié) 代數(shù)知識(shí)代數(shù)知識(shí)一、求和運(yùn)算子與描述統(tǒng)計(jì)量一、求和運(yùn)算子與描述統(tǒng)計(jì)量1 1、求和運(yùn)算子、求和運(yùn)算子n21ixi，： n21n1iixx

2、xx 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)性質(zhì)性質(zhì)SUM.1:對(duì)任意常數(shù)對(duì)任意常數(shù)c， 求和運(yùn)算子性質(zhì)求和運(yùn)算子性質(zhì)nc1inc性質(zhì)性質(zhì)SUM.2:對(duì)任意常數(shù)對(duì)任意常數(shù)c， niicx1niixc1性質(zhì)性質(zhì)SUM.3:若若 是是n個(gè)數(shù)對(duì)構(gòu)成的一個(gè)個(gè)數(shù)對(duì)構(gòu)成的一個(gè)集合，且集合，且a和和b是常數(shù)，則是常數(shù)，則 niyxii，：， 21niiibyax1niniiiybxa11計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)2 2、平均數(shù)、平均數(shù) 給定給定n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) ，我們把它們加起，我們把它們加起來(lái)再除以來(lái)再除以n，便算出它們的，便算出它們的平均數(shù)（平均數(shù)（average）或或均值均值：n21ixi，： niixnx11 當(dāng)這些當(dāng)這些 是某

3、特定變量（如受教育年數(shù)）的一個(gè)數(shù)據(jù)是某特定變量（如受教育年數(shù)）的一個(gè)數(shù)據(jù)樣本時(shí)，我們常稱(chēng)之為樣本時(shí)，我們常稱(chēng)之為樣本均值樣本均值，以強(qiáng)調(diào)它是從一個(gè)特，以強(qiáng)調(diào)它是從一個(gè)特定的數(shù)據(jù)集計(jì)算出來(lái)的。樣本均值是描述統(tǒng)計(jì)量定的數(shù)據(jù)集計(jì)算出來(lái)的。樣本均值是描述統(tǒng)計(jì)量（Descriptive Statistic）的一個(gè)例子；此時(shí)，這個(gè)統(tǒng)計(jì)量）的一個(gè)例子；此時(shí)，這個(gè)統(tǒng)計(jì)量描述了點(diǎn)集描述了點(diǎn)集 的集中趨勢(shì)。的集中趨勢(shì)。ixix計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)均值的性質(zhì)均值的性質(zhì) 假設(shè)我們?nèi)〖僭O(shè)我們?nèi)的每次觀測(cè)值并從中減去其均值：的每次觀測(cè)值并從中減去其均值： （這里（這里“d”表示對(duì)均值的離差）。那么，這表示對(duì)均值的離差）

4、。那么，這些離差之和必為零：些離差之和必為零：xxdiininiiixxd11niniixx11xnxnii10 xnxn計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)均值離差的重要性質(zhì)均值離差的重要性質(zhì)離差平方和等于離差平方和等于 的平方和減去的平方和減去 平方的平方的n倍倍: 請(qǐng)加以證明。請(qǐng)加以證明。另請(qǐng)證明：給定兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)集另請(qǐng)證明：給定兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)集 ixx 21221xnxxxniiniiniyxii，：， 21niiiiniiyxnyxyyxx11計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)集中趨勢(shì)的另一種表達(dá)：中位數(shù)集中趨勢(shì)的另一種表達(dá)：中位數(shù) 均值是我們所關(guān)注的集中趨勢(shì)指標(biāo)，但有時(shí)用均值是我們所關(guān)注的集中趨勢(shì)指標(biāo)，但有時(shí)

5、用中位中位數(shù)數(shù)（Median）或樣本中位數(shù)或樣本中位數(shù)表示中心值也有價(jià)值。表示中心值也有價(jià)值。 為了得到為了得到n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 的中位數(shù)，我們先的中位數(shù)，我們先把把 的值按從小到大的順序排列。然后，若的值按從小到大的順序排列。然后，若n是奇數(shù)，則是奇數(shù)，則樣本中位數(shù)就是按順序居中的那個(gè)數(shù)，例如，給定一組樣本中位數(shù)就是按順序居中的那個(gè)數(shù)，例如，給定一組數(shù)字?jǐn)?shù)字 ，中位數(shù)就是，中位數(shù)就是2。 一般說(shuō)來(lái)，中位數(shù)和均值相比，對(duì)數(shù)列中級(jí)（大或小）一般說(shuō)來(lái)，中位數(shù)和均值相比，對(duì)數(shù)列中級(jí)（大或小）值的變化沒(méi)那么敏感。值的變化沒(méi)那么敏感。 若若n是偶數(shù)，則居中數(shù)字便有兩個(gè)，此時(shí)定義中位數(shù)是偶數(shù)，則居中數(shù)字便有兩個(gè)

6、，此時(shí)定義中位數(shù)的方法就不是唯一的。通常把中位數(shù)定義為兩個(gè)居中數(shù)的方法就不是唯一的。通常把中位數(shù)定義為兩個(gè)居中數(shù)字的均值（仍指從小到大排序的數(shù)列）。字的均值（仍指從小到大排序的數(shù)列）。nxxx， 21ix1810210284，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)二、線性函數(shù)的性質(zhì)二、線性函數(shù)的性質(zhì) 如果兩個(gè)變量如果兩個(gè)變量x和和y的關(guān)系是：的關(guān)系是：xy10我們便說(shuō)我們便說(shuō)y是是x的的線性函數(shù)（線性函數(shù)（Linear Function）：而：而 和和 是描述這一關(guān)系的兩個(gè)參數(shù)，是描述這一關(guān)系的兩個(gè)參數(shù)， 為截距為截距（Intercept），）， 為斜率（為斜率（Slope）。）。0101 一個(gè)線性函數(shù)的定義特

7、征在于，一個(gè)線性函數(shù)的定義特征在于，y的改變量總是的改變量總是x的改變量的的改變量的 倍：倍： 其中，其中， 表示表示“改變量改變量”。換句話(huà)說(shuō)，。換句話(huà)說(shuō)，x對(duì)對(duì)y的邊的邊際效應(yīng)（際效應(yīng)（Marginal Effect）是一個(gè)等于）是一個(gè)等于 的常數(shù)。的常數(shù)。xy111計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)例例2.1.1 2.1.1 線性住房支出函數(shù)線性住房支出函數(shù) 假定每月住房支出和每月收入的關(guān)系式是假定每月住房支出和每月收入的關(guān)系式是Housing=164+0.27income 那么，每增加那么，每增加1元收入，就有元收入，就有0.27元用于住房支出，元用于住房支出，如果家庭收入增加如果家庭收入增加200

8、元，那么住房支出就增加元，那么住房支出就增加0.27200=54元。元。 機(jī)械解釋上述方程，即時(shí)一個(gè)沒(méi)有收入的家庭也有機(jī)械解釋上述方程，即時(shí)一個(gè)沒(méi)有收入的家庭也有164元的住房支出，這當(dāng)然是不真實(shí)的。對(duì)低收入水平家元的住房支出，這當(dāng)然是不真實(shí)的。對(duì)低收入水平家庭，這個(gè)線性函數(shù)不能很好的描述庭，這個(gè)線性函數(shù)不能很好的描述housing和和income之間之間的關(guān)系，這就是為什么我們最終還得用其他函數(shù)形式來(lái)的關(guān)系，這就是為什么我們最終還得用其他函數(shù)形式來(lái)描述這種關(guān)系。描述這種關(guān)系。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)27. 0sinincomeghou圖圖2.1.1 Housing=164+0.27income

9、的圖形的圖形例例2.1.1 2.1.1 線性住房支出函數(shù)線性住房支出函數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)例例2.1.1 2.1.1 線性住房支出函數(shù)線性住房支出函數(shù) 在上述方程中，把收入用于住房的邊際消費(fèi)傾向在上述方程中，把收入用于住房的邊際消費(fèi)傾向（MPC）是）是0.27。它不同于平均消費(fèi)傾向（。它不同于平均消費(fèi)傾向（APC）：）： APC并非常數(shù)，它總比并非常數(shù)，它總比MPC大，但隨著收入的增加大，但隨著收入的增加越來(lái)越接近越來(lái)越接近MPC。270164.incomeincomegsinhou計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)線性函數(shù)的性質(zhì)線性函數(shù)的性質(zhì)多于兩個(gè)變量的線性函數(shù)：多于兩個(gè)變量的線性函數(shù)： 假定假定y與

10、兩個(gè)變量與兩個(gè)變量 和和 有一般形式的關(guān)系：有一般形式的關(guān)系： 由于這個(gè)函數(shù)的圖形是由于這個(gè)函數(shù)的圖形是三維的，所以相當(dāng)難以想象，三維的，所以相當(dāng)難以想象，不過(guò)不過(guò) 仍然是截距（即仍然是截距（即 =0和和 =0時(shí)時(shí)y的取值），且的取值），且 和和 都是特定斜率的度量。由方程（都是特定斜率的度量。由方程（A.12）可知，給定）可知，給定 和和 的改變量，的改變量，y的改變量是的改變量是 若若 不改變，即不改變，即 ，則有，則有 因此因此 是關(guān)系式在是關(guān)系式在 坐標(biāo)上的斜率：坐標(biāo)上的斜率：1x2x22110 xxy01x2x121x2x2211xxy2x02x0211xxy，11x0211xxy，

11、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 因?yàn)樗攘苛吮３忠驗(yàn)樗攘苛吮３?固定時(shí)，固定時(shí)，y如何隨如何隨 而變，所而變，所以常把以常把 叫做叫做 對(duì)對(duì)y的的偏效應(yīng)（偏效應(yīng)（Partial Effect）。由于偏。由于偏效應(yīng)涉及保持其他因素不變，所以它與效應(yīng)涉及保持其他因素不變，所以它與其他條件不變其他條件不變（Ceteris Paribus）的概念有密切聯(lián)系，參數(shù)的概念有密切聯(lián)系，參數(shù) 可作類(lèi)似可作類(lèi)似解釋?zhuān)杭慈艚忉專(zhuān)杭慈?，則，則 因此，因此， 是是 對(duì)對(duì)y的偏效應(yīng)。的偏效應(yīng)。線性函數(shù)的性質(zhì)線性函數(shù)的性質(zhì)2x1x1x1201x22xy22x計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 假定大學(xué)生每月對(duì)假定大學(xué)生每月對(duì)CD的需求量與的

12、需求量與CD的價(jià)格和每個(gè)月的價(jià)格和每個(gè)月的零花錢(qián)有如下關(guān)系：的零花錢(qián)有如下關(guān)系： 式中，式中，price為每張碟的價(jià)格，為每張碟的價(jià)格，income以元計(jì)算。需以元計(jì)算。需求曲線表示在保持收入（和其他因素）不變的情況下，求曲線表示在保持收入（和其他因素）不變的情況下，quantity和和price的關(guān)系。的關(guān)系。例例2.1.2 2.1.2 對(duì)對(duì)CDCD的需求的需求income.price.quantity03089120計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)89.pricequantity圖圖2.1.2 quantity=120-9.8price+0.03income 在在income固定為固定為900元時(shí)元時(shí)

13、的圖形的圖形例例2.1.2 2.1.2 對(duì)對(duì)CDCD的需求的需求計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 圖圖2.1.2 描繪了在收入水平為描繪了在收入水平為900元時(shí)的二維圖形。需求元時(shí)的二維圖形。需求曲線的斜率曲線的斜率-9.8是價(jià)格對(duì)數(shù)量的偏效應(yīng)：保持收入固定不變，是價(jià)格對(duì)數(shù)量的偏效應(yīng)：保持收入固定不變，如果如果CD碟的價(jià)格增加碟的價(jià)格增加1元，那么需求量就下跌元，那么需求量就下跌9.8。（我們把。（我們把CD碟只能離散購(gòu)買(mǎi)的事實(shí)抽象化。）收入增加只是使需求碟只能離散購(gòu)買(mǎi)的事實(shí)抽象化。）收入增加只是使需求曲線向上移動(dòng)（改變了截距），但斜率仍然不變。曲線向上移動(dòng)（改變了截距），但斜率仍然不變。例例2.1.2

14、2.1.2 對(duì)對(duì)CDCD的需求的需求計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)線性函數(shù)的基本性質(zhì)：線性函數(shù)的基本性質(zhì)： 不管不管x的初始值是什么，的初始值是什么，x每變化一個(gè)單位都導(dǎo)致每變化一個(gè)單位都導(dǎo)致y同樣同樣的變化。的變化。x對(duì)對(duì)y的邊際效應(yīng)是常數(shù)，這對(duì)許多經(jīng)濟(jì)關(guān)系來(lái)說(shuō)多的邊際效應(yīng)是常數(shù)，這對(duì)許多經(jīng)濟(jì)關(guān)系來(lái)說(shuō)多少有點(diǎn)不真實(shí)。例如，邊際報(bào)酬遞減這個(gè)重要的經(jīng)濟(jì)概念就少有點(diǎn)不真實(shí)。例如，邊際報(bào)酬遞減這個(gè)重要的經(jīng)濟(jì)概念就不符合線性關(guān)系。不符合線性關(guān)系。 為了建立各種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的模型，我們需要研究一些為了建立各種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的模型，我們需要研究一些非線非線性函數(shù)（性函數(shù)（nonlinear function）。）。 非線性函

15、數(shù)的特點(diǎn)是，非線性函數(shù)的特點(diǎn)是，給定給定x的變化，的變化，y的變化依賴(lài)于的變化依賴(lài)于x的初始值。的初始值。三、若干特殊函數(shù)及其性質(zhì)三、若干特殊函數(shù)及其性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)1. 1.二次函數(shù)二次函數(shù) 刻畫(huà)報(bào)酬遞減規(guī)律的一個(gè)簡(jiǎn)單方法，就是在線性關(guān)系刻畫(huà)報(bào)酬遞減規(guī)律的一個(gè)簡(jiǎn)單方法，就是在線性關(guān)系中添加一個(gè)二次項(xiàng)。中添加一個(gè)二次項(xiàng)。 考慮方程式考慮方程式 式中，式中， ， 和和 為參數(shù)。當(dāng)為參數(shù)。當(dāng) 時(shí)，時(shí)，y和和x之間的關(guān)之間的關(guān)系呈拋物線狀，并且可以證明，函數(shù)的最大值出現(xiàn)在系呈拋物線狀，并且可以證明，函數(shù)的最大值出現(xiàn)在2210 xxy01202212x計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)1. 1.二次函數(shù)二次

16、函數(shù) 例如，若例如，若y=6+8x-2x2。（從而。（從而 =8且且 =-2），則），則y的最大值出現(xiàn)在的最大值出現(xiàn)在x*=8/4=2處，并且這個(gè)最大值是處，并且這個(gè)最大值是6+82-2（2）2=14。12圖圖2.1.3 y=6+8x-2x2 的圖形的圖形計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 對(duì)方程式對(duì)方程式 意味著意味著x對(duì)對(duì)y的的邊際效應(yīng)遞減（邊際效應(yīng)遞減（diminishing marginal effect），），這從圖中清晰可見(jiàn)，應(yīng)用微積分知識(shí)，這從圖中清晰可見(jiàn)，應(yīng)用微積分知識(shí)，也可以通過(guò)求這個(gè)二次函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)得出。也可以通過(guò)求這個(gè)二次函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)得出。 斜率斜率=方程右端是此二次函數(shù)對(duì)方程右端

17、是此二次函數(shù)對(duì)x的的導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)數(shù)（derivative）。 同樣，同樣， 則意味著則意味著x對(duì)對(duì)y的的邊際效應(yīng)遞增邊際效應(yīng)遞增（increasing marginal effect），二次函數(shù)的圖形就呈），二次函數(shù)的圖形就呈U行，行，函數(shù)的最小值出現(xiàn)在點(diǎn)函數(shù)的最小值出現(xiàn)在點(diǎn) 處。處。1. 1.二次函數(shù)二次函數(shù)2210 xxy02xxy21202212x計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 在計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中起著最重要作用的非線性函數(shù)是在計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中起著最重要作用的非線性函數(shù)是自自然對(duì)數(shù)（然對(duì)數(shù)（nature logarithm），），或簡(jiǎn)稱(chēng)為或簡(jiǎn)稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù)（對(duì)數(shù)函數(shù)（log function），），記為記為還

18、有幾種不同符號(hào)可以表示自然對(duì)數(shù)，最常用的是還有幾種不同符號(hào)可以表示自然對(duì)數(shù)，最常用的是 或或 。當(dāng)對(duì)數(shù)使用幾個(gè)不同的底數(shù)時(shí)，這些不同的。當(dāng)對(duì)數(shù)使用幾個(gè)不同的底數(shù)時(shí)，這些不同的符號(hào)是有作用的。目前，只有自然對(duì)數(shù)最重要，因此我符號(hào)是有作用的。目前，只有自然對(duì)數(shù)最重要，因此我們都用們都用 表示自然對(duì)數(shù)。表示自然對(duì)數(shù)。2.2.自然對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù) xlogy xln xloge xlog計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)2.2.自然對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù) xlogy 圖圖2.1.4 y=log（x） 的圖形的圖形計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)2.2.自然對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù) 從圖能看出如下性質(zhì)：從圖能看出如下性質(zhì)： 1.當(dāng)當(dāng)y=log（x）時(shí)，時(shí)

19、，y和和x的關(guān)系表現(xiàn)出邊際報(bào)酬遞減。的關(guān)系表現(xiàn)出邊際報(bào)酬遞減。 2. 當(dāng)當(dāng)y=log（x）時(shí)，時(shí)，x對(duì)對(duì)y永遠(yuǎn)沒(méi)有負(fù)效應(yīng)：函數(shù)的斜永遠(yuǎn)沒(méi)有負(fù)效應(yīng)：函數(shù)的斜率隨著率隨著x的增大越來(lái)越接近零，然而這個(gè)斜率永遠(yuǎn)到不了的增大越來(lái)越接近零，然而這個(gè)斜率永遠(yuǎn)到不了零，所以更不會(huì)是負(fù)的。零，所以更不會(huì)是負(fù)的。 3. log（x）可正可負(fù)：可正可負(fù)：log（x）0，0 x0，x1 4.一些有用的性質(zhì)（牢記）：一些有用的性質(zhì)（牢記）： log（x1x2）=log（x1）+log（x2），），x1，x20 log（x1/x2）=log（x1）-log（x2），），x1，x20 log（xc）=clog（x），），

20、x0，c為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)2.2.自然對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù) 對(duì)數(shù)可用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用中的各種近似計(jì)算。對(duì)數(shù)可用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用中的各種近似計(jì)算。 1.對(duì)于對(duì)于x0，有有l(wèi)og（1+x）x。這個(gè)近似計(jì)算隨著。這個(gè)近似計(jì)算隨著x變變大而越來(lái)越不精確。大而越來(lái)越不精確。 2.兩對(duì)數(shù)之差可用作比例變化的近似值。令兩對(duì)數(shù)之差可用作比例變化的近似值。令x0和和x1為兩為兩個(gè)正數(shù)，可以證明（利用微積分），對(duì)個(gè)正數(shù)，可以證明（利用微積分），對(duì)x的微小變化，有的微小變化，有如果我們用如果我們用100乘以上述方程，并記乘以上述方程，并記那么，對(duì)那么，對(duì)x的的微小微小變化，便有變化，便有“微小微小”的

21、含義取決于具體情況。的含義取決于具體情況。 000101xxxxxxlogxlog 01xlogxlogxlog x%xlog100計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)2.2.自然對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù)近似計(jì)算的作用：近似計(jì)算的作用： 定義定義y對(duì)對(duì)x的的彈性（彈性（elasticity）為為換言之，換言之，y對(duì)對(duì)x的彈性就是當(dāng)?shù)膹椥跃褪钱?dāng)x增加增加1%時(shí)時(shí)y的百分?jǐn)?shù)變化。的百分?jǐn)?shù)變化。 若若y是是x的線性函數(shù)：的線性函數(shù)： ，則這個(gè)彈性是，則這個(gè)彈性是它明顯取決于它明顯取決于x的取值（的取值（彈性并非沿著需求曲線保持不變彈性并非沿著需求曲線保持不變）。）。x%y%yxxyxy10 xxyxyxxy1011計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)

22、量經(jīng)濟(jì)學(xué)2.2.自然對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù) 不僅在需求理論中，在許多應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，彈性都不僅在需求理論中，在許多應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，彈性都是非常重要的。在許多情況下，使用一個(gè)常彈性模型都很是非常重要的。在許多情況下，使用一個(gè)常彈性模型都很方便，而對(duì)數(shù)函數(shù)能幫助我們?cè)O(shè)定這樣的模型。如果我們方便，而對(duì)數(shù)函數(shù)能幫助我們?cè)O(shè)定這樣的模型。如果我們對(duì)對(duì)x和和y都使用對(duì)數(shù)近似計(jì)算，彈性就近似等于都使用對(duì)數(shù)近似計(jì)算，彈性就近似等于因此，一個(gè)因此，一個(gè)常彈性模型（常彈性模型（constant elasticity model）可近似可近似描述為方程描述為方程式中，式中， 為為y對(duì)對(duì)x的彈性（假定的彈性（假定x，y0）。）。

23、 這類(lèi)模型在經(jīng)驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)中扮演著重要角色。目前，式這類(lèi)模型在經(jīng)驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)中扮演著重要角色。目前，式中的中的 只是接近于彈性這一事實(shí)并不重要，可以忽略。只是接近于彈性這一事實(shí)并不重要，可以忽略。 xlogylog xlogylog1011計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)例例2.1.3 2.1.3 常彈性需求函數(shù)常彈性需求函數(shù) 若若q代表需求量而代表需求量而p代表價(jià)格，并且二者關(guān)系為代表價(jià)格，并且二者關(guān)系為則需求的價(jià)格彈性是則需求的價(jià)格彈性是-1.25.初略地說(shuō)，價(jià)格每增加初略地說(shuō)，價(jià)格每增加1%，將，將導(dǎo)致需求量下降導(dǎo)致需求量下降1.25%。 plog.qlog25174計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)2.2.自然對(duì)數(shù)自然

24、對(duì)數(shù) 在經(jīng)驗(yàn)研究工作中還經(jīng)常出現(xiàn)使用對(duì)數(shù)函數(shù)的其他可在經(jīng)驗(yàn)研究工作中還經(jīng)常出現(xiàn)使用對(duì)數(shù)函數(shù)的其他可能性。假定能性。假定y0，且，且則則 ，從而，從而 。 由此可知，當(dāng)由此可知，當(dāng)y和和x有上述方程所示關(guān)系時(shí)，有上述方程所示關(guān)系時(shí)， xylog10 xylog1 xylog1100100 xy%1100計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)例例2.1.4 2.1.4 對(duì)數(shù)工資方程對(duì)數(shù)工資方程 假設(shè)小時(shí)工資與受教育年數(shù)有如下關(guān)系：假設(shè)小時(shí)工資與受教育年數(shù)有如下關(guān)系：根據(jù)前面所述方程，有根據(jù)前面所述方程，有由此可知，多受一年教育將使小時(shí)工資增加約由此可知，多受一年教育將使小時(shí)工資增加約9.4%。 通常把通常把%y/x

25、稱(chēng)為稱(chēng)為y對(duì)對(duì)x的的半彈性（半彈性（semi-elasticity），），半彈性表示當(dāng)半彈性表示當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)增加一個(gè)單位時(shí)y的百分?jǐn)?shù)變化。在上述模型的百分?jǐn)?shù)變化。在上述模型中，半彈性是個(gè)常數(shù)并且等于中，半彈性是個(gè)常數(shù)并且等于 ，在上述例子中，我，在上述例子中，我們可以方便的把工資和教育的關(guān)系概括為：多受一年教育們可以方便的把工資和教育的關(guān)系概括為：多受一年教育無(wú)論所受教育的起點(diǎn)如何無(wú)論所受教育的起點(diǎn)如何都將使工資提高約都將使工資提高約9.4%。這說(shuō)明了這類(lèi)模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要作用。這說(shuō)明了這類(lèi)模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要作用。.wage%4909

26、401001100計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)2.2.自然對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù) 另一種關(guān)系式在應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)中也是有意義的：另一種關(guān)系式在應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)中也是有意義的：其中，其中，x0。若取。若取y的變化，則有的變化，則有 ，這又可以，這又可以寫(xiě)為寫(xiě)為 。 利用近似計(jì)算，可得利用近似計(jì)算，可得當(dāng)當(dāng)x增加增加1%時(shí)，時(shí)，y變化變化 個(gè)單位。個(gè)單位。 xlogy10 xlogy1 xlogy1001001x%y10011001計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)例例2.1.5 2.1.5 勞動(dòng)供給函數(shù)勞動(dòng)供給函數(shù) 假定一個(gè)工人的勞動(dòng)供給可描述為假定一個(gè)工人的勞動(dòng)供給可描述為式中，式中，wage為小時(shí)工資而為小時(shí)工資而hours為每周工作

27、小時(shí)數(shù)，于是，為每周工作小時(shí)數(shù)，于是，由方程可得：由方程可得： 換言之，工資每增加換言之，工資每增加1%，將使每周工作小時(shí)增加約，將使每周工作小時(shí)增加約0.45或或略小于半個(gè)小時(shí)。若工資增加略小于半個(gè)小時(shí)。若工資增加10%，則，則 或約四個(gè)半小時(shí)?；蚣s四個(gè)半小時(shí)。注意：注意：不宜對(duì)更大的工資百分?jǐn)?shù)變化應(yīng)用這個(gè)近似計(jì)算。不宜對(duì)更大的工資百分?jǐn)?shù)變化應(yīng)用這個(gè)近似計(jì)算。wagelog.hours14533wage%.wage%.wagelog.hours4510100145145514104510.hours計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 考慮方程考慮方程 此處此處log（y）是是x的線性函數(shù)，但是怎樣寫(xiě)出的線

28、性函數(shù)，但是怎樣寫(xiě)出y本身作為本身作為x的一個(gè)函數(shù)呢？的一個(gè)函數(shù)呢？指數(shù)函數(shù)（指數(shù)函數(shù)（exponential function）給出了給出了答案。答案。 我們把指數(shù)函數(shù)寫(xiě)為我們把指數(shù)函數(shù)寫(xiě)為y=exp（x），），有時(shí)也寫(xiě)為有時(shí)也寫(xiě)為 ，但在我們課程中這個(gè)符號(hào)不常用。但在我們課程中這個(gè)符號(hào)不常用。 指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)重要的數(shù)值是指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)重要的數(shù)值是exp（0）=1和和exp（1）=2.7183（?。ㄈ?位小數(shù)）。位小數(shù)）。 3.3.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) xylog10 xey 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)3.3.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) xexpy 圖圖2.1.4 y=exp（x） 的圖形的圖形計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)

29、濟(jì)學(xué) 從上圖可以看出，從上圖可以看出，exp（x）對(duì)任何對(duì)任何x值都有定義，而且值都有定義，而且總大于零?？偞笥诹恪?指數(shù)函數(shù)在如下意義上是對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)：對(duì)所有指數(shù)函數(shù)在如下意義上是對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)：對(duì)所有x，都有都有l(wèi)ogexp（x）=x，而對(duì)，而對(duì)x0，有，有explog（x）=x。換言之，對(duì)數(shù)換言之，對(duì)數(shù)“解除了解除了”指數(shù)，反之亦然。對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)指數(shù)，反之亦然。對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。函數(shù)互為反函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)有用性質(zhì)是指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)有用性質(zhì)是 exp（x1+x2）=exp（x1）exp（x2） 和和 expclog（x）=xc3.3.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)

30、濟(jì)學(xué)記憶：記憶：經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的一些函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)有經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的一些函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)有 4.4.微分學(xué)微分學(xué)xdxdy;xxy2122102 2110 xdxdy;xy211102xdxdy;xy xdxdy;xlogy110 xexpdxdy;xexpy10110計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 當(dāng)當(dāng)y是多元函數(shù)時(shí)，是多元函數(shù)時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)（partial derivative）的概念的概念便很重要。假定便很重要。假定y=f（x1，x2），），此時(shí)便有兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，一個(gè)此時(shí)便有兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，一個(gè)關(guān)于關(guān)于x1，另一個(gè)關(guān)于，另一個(gè)關(guān)于x2。y對(duì)對(duì)x1的偏導(dǎo)數(shù)記為的偏導(dǎo)數(shù)記為 ，就是把，就是把x2看做常數(shù)時(shí)方程對(duì)看

31、做常數(shù)時(shí)方程對(duì)x1的普通導(dǎo)數(shù)。類(lèi)似的，的普通導(dǎo)數(shù)。類(lèi)似的， 就是固定就是固定x1時(shí)方程對(duì)時(shí)方程對(duì)x2的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 若若則則這些偏導(dǎo)數(shù)可被視為經(jīng)濟(jì)學(xué)所定義的偏效應(yīng)。這些偏導(dǎo)數(shù)可被視為經(jīng)濟(jì)學(xué)所定義的偏效應(yīng)。 4.4.微分學(xué)微分學(xué)1xy2xy22110 xxy221xyxy1，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 把工資與受教育年數(shù)和工作經(jīng)驗(yàn)（以年計(jì)）相聯(lián)系的一把工資與受教育年數(shù)和工作經(jīng)驗(yàn)（以年計(jì)）相聯(lián)系的一個(gè)函數(shù)是個(gè)函數(shù)是exper對(duì)對(duì)wage的偏效應(yīng)就是上式對(duì)的偏效應(yīng)就是上式對(duì)exper的偏導(dǎo)數(shù)：的偏導(dǎo)數(shù)：這是增加一年工作經(jīng)驗(yàn)所導(dǎo)致工資的近似變化。注意這個(gè)偏這是增加一年工作經(jīng)驗(yàn)所導(dǎo)致工資的近似變化。注意這個(gè)

32、偏效應(yīng)與效應(yīng)與exper和和educ的初始水平都有關(guān)系。例如，一個(gè)從的初始水平都有關(guān)系。例如，一個(gè)從educ=12和和exper=5開(kāi)始的工人，再增加一年工作經(jīng)驗(yàn)，將使開(kāi)始的工人，再增加一年工作經(jīng)驗(yàn)，將使工資增加約工資增加約0.19-0.085+0.00712=0.234元。準(zhǔn)確的變化通元。準(zhǔn)確的變化通過(guò)計(jì)算，結(jié)果是過(guò)計(jì)算，結(jié)果是0.23，和近似計(jì)算結(jié)果非常接近。，和近似計(jì)算結(jié)果非常接近。 例例2.1.6 2.1.6 含交互項(xiàng)的工資方程含交互項(xiàng)的工資方程c.agew007000401904101032educ.erexp.erexpagew00

33、700080190計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 在最小化或最大化單或多變量函數(shù)時(shí)，微分計(jì)算起著重在最小化或最大化單或多變量函數(shù)時(shí)，微分計(jì)算起著重要作用。如果要作用。如果 是一個(gè)是一個(gè)k元可微函數(shù)，則元可微函數(shù)，則 在所有可能的在所有可能的xj值中最小化或最大化值中最小化或最大化f的必要的必要條件是條件是換言之，換言之，f的所有偏導(dǎo)數(shù)在的所有偏導(dǎo)數(shù)在 處都必須取值為零。這些條件被處都必須取值為零。這些條件被稱(chēng)為函數(shù)最小化或最大化的稱(chēng)為函數(shù)最小化或最大化的一階條件（一階條件（first order condition）。）。4.4.微分學(xué)微分學(xué)*kxkxxxf， 21*k*xxx， 21kjxxxxy*k

34、*j， 21021計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)一、隨機(jī)變量及其概率分布一、隨機(jī)變量及其概率分布 假設(shè)我們擲一枚錢(qián)幣假設(shè)我們擲一枚錢(qián)幣10次，并計(jì)算出現(xiàn)正面的次數(shù)，次，并計(jì)算出現(xiàn)正面的次數(shù)，這就是一個(gè)這就是一個(gè)實(shí)驗(yàn)（實(shí)驗(yàn)（experiment）的例子。一般地說(shuō)，的例子。一般地說(shuō)，一個(gè)一個(gè)實(shí)驗(yàn)是指至少在理論上能夠無(wú)限重復(fù)下去的任何一種程序，實(shí)驗(yàn)是指至少在理論上能夠無(wú)限重復(fù)下去的任何一種程序，并且它有一個(gè)定義完好的結(jié)果集。并且它有一個(gè)定義完好的結(jié)果集。 一個(gè)一個(gè)隨機(jī)變量（隨機(jī)變量（random variable）是指一個(gè)具有數(shù)是指一個(gè)具有數(shù)值特征并由一個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)決定其結(jié)果的變量。值特征并由一個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)決定其結(jié)果

35、的變量。 第二節(jié)第二節(jié) 概率論基礎(chǔ)概率論基礎(chǔ) 按照概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)的慣例，我們一律用大寫(xiě)字母如常按照概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)的慣例，我們一律用大寫(xiě)字母如常見(jiàn)的見(jiàn)的W，X，Y和和Z表示表示隨機(jī)變量隨機(jī)變量，而用相應(yīng)的小寫(xiě)字母，而用相應(yīng)的小寫(xiě)字母w，x，y和和z表示表示隨機(jī)變量的特定結(jié)果隨機(jī)變量的特定結(jié)果。 例如，在擲幣實(shí)驗(yàn)中，令例如，在擲幣實(shí)驗(yàn)中，令X為一枚錢(qián)幣投擲為一枚錢(qián)幣投擲10次出現(xiàn)正次出現(xiàn)正面的次數(shù)。所以面的次數(shù)。所以X并不是任何具體數(shù)值，但我們知道并不是任何具體數(shù)值，但我們知道X將在將在集合集合 中取一個(gè)值。比方說(shuō)，一個(gè)特殊的結(jié)果中取一個(gè)值。比方說(shuō)，一個(gè)特殊的結(jié)果是是x=6。 我們用下標(biāo)表示一系列隨機(jī)

36、變量。例如，我們記錄隨我們用下標(biāo)表示一系列隨機(jī)變量。例如，我們記錄隨機(jī)選擇的機(jī)選擇的20個(gè)家庭去年的收入?？梢杂脗€(gè)家庭去年的收入?？梢杂肵1，X2，X20表表示這些隨機(jī)變量，并用示這些隨機(jī)變量，并用x1，x2，x20表示其特殊結(jié)果。表示其特殊結(jié)果。10210， 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)一、隨機(jī)變量及其概率分布一、隨機(jī)變量及其概率分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 如定義所言，即使隨機(jī)變量描述的是一些定性事件，如定義所言，即使隨機(jī)變量描述的是一些定性事件，我們也總定義它的結(jié)果是數(shù)值。例如，考慮只擲一枚錢(qián)幣，我們也總定義它的結(jié)果是數(shù)值。例如，考慮只擲一枚錢(qián)幣，其兩個(gè)結(jié)果是正面和反面。我們可以定義一個(gè)隨機(jī)變量如其

37、兩個(gè)結(jié)果是正面和反面。我們可以定義一個(gè)隨機(jī)變量如下：如果出現(xiàn)正面則下：如果出現(xiàn)正面則X=1；如果出現(xiàn)反面則；如果出現(xiàn)反面則X=0。 一個(gè)只能取一個(gè)只能取0和和1兩個(gè)值的隨機(jī)變量叫做兩個(gè)值的隨機(jī)變量叫做貝努利（貝努利（或或二二值）隨機(jī)變量值）隨機(jī)變量Bernoulli （or binary）random variable 。 XBernoulli（ ）（讀作（讀作“X服從一個(gè)成功概率為服從一個(gè)成功概率為 的貝努利分布）的貝努利分布）：P（X=1）=，P（X=0）=1-一、隨機(jī)變量及其概率分布一、隨機(jī)變量及其概率分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)1. 1.離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量 離散隨機(jī)變量（離散隨機(jī)變量

38、（discrete random variable）是指一是指一個(gè)只取有限個(gè)或可數(shù)的無(wú)限個(gè)數(shù)值的隨機(jī)變量。個(gè)只取有限個(gè)或可數(shù)的無(wú)限個(gè)數(shù)值的隨機(jī)變量。 “可數(shù)的無(wú)限個(gè)可數(shù)的無(wú)限個(gè)”：雖然隨機(jī)變量可取無(wú)限個(gè)值，：雖然隨機(jī)變量可取無(wú)限個(gè)值，但這些值可以和正整數(shù)一一對(duì)應(yīng)。但這些值可以和正整數(shù)一一對(duì)應(yīng)。 貝努力隨機(jī)變量是離散隨機(jī)變量的最簡(jiǎn)單的例子。貝努力隨機(jī)變量是離散隨機(jī)變量的最簡(jiǎn)單的例子。 一、隨機(jī)變量及其概率分布一、隨機(jī)變量及其概率分布 一個(gè)離散隨機(jī)變量要由它的全部可能值和取每個(gè)值一個(gè)離散隨機(jī)變量要由它的全部可能值和取每個(gè)值的相應(yīng)概率來(lái)完整描述。如果的相應(yīng)概率來(lái)完整描述。如果X取取k個(gè)可能值個(gè)可能值

39、 其概率其概率p1，p2，pk被定義為被定義為 pj=P（X=xj），j=1，2， ，k （讀作：（讀作：“X取值取值xj的概率等于的概率等于pj”。）。）其中，每個(gè)其中，每個(gè)pj都在都在0-1之間，并且之間，并且 p1+p2+ +pk=1kxxx， 21計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)1. 1.離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) X的的概率密度函數(shù)（概率密度函數(shù)（probability density function，pdf）概括了概括了X的可能結(jié)果及其相應(yīng)概率的信息：的可能結(jié)果及其相應(yīng)概率的信息： 而且對(duì)某個(gè)而且對(duì)某個(gè)j，凡是不等于，凡是不等于xj的的x都有都有f（x）=0。換言之，對(duì)任。

40、換言之，對(duì)任何實(shí)數(shù)何實(shí)數(shù)x，f（x）都是隨機(jī)變量）都是隨機(jī)變量X取該特定值取該特定值x的概率。當(dāng)我們的概率。當(dāng)我們?cè)O(shè)計(jì)多于一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，有時(shí)需要給所考慮的設(shè)計(jì)多于一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，有時(shí)需要給所考慮的pdf加一個(gè)下加一個(gè)下標(biāo)：例如標(biāo)：例如fx是是X的的pdf，fY是是Y的的pdf等等。等等。1. 1.離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量 kjpxfjj， 21計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 給定任一離散隨機(jī)變量的給定任一離散隨機(jī)變量的pdf，就不難計(jì)算關(guān)于該隨機(jī)變，就不難計(jì)算關(guān)于該隨機(jī)變量的任何事件的概率。例如，設(shè)量的任何事件的概率。例如，設(shè)X為一名籃球運(yùn)動(dòng)員在兩次罰為一名籃球運(yùn)動(dòng)員在兩次罰球中的命中次數(shù)。因此球中的

41、命中次數(shù)。因此X的三個(gè)可能值是的三個(gè)可能值是0，1，2。假定。假定X的的pdf是是 f（0）=0.20，f（1）=0.44和和f（2）=0.36這三個(gè)概率之和必然為這三個(gè)概率之和必然為1.利用這個(gè)利用這個(gè)pdf，我們能算出該運(yùn)動(dòng)員，我們能算出該運(yùn)動(dòng)員至少投中一球的概率：至少投中一球的概率： P（X1）=P（X=1）+P（X=2）=0.44+0.36=0.80。X的的pdf如下圖示：如下圖示：1. 1.離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)012xf（x）1. 1.離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量圖圖2.2.1 兩次罰球命中次數(shù)兩次罰球命中次數(shù)的的pdf計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)2.2.連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)

42、隨機(jī)變量 連續(xù)隨機(jī)變量（連續(xù)隨機(jī)變量（continuous random variable）是指是指一個(gè)取任何實(shí)數(shù)的概率都為零的變量。一個(gè)取任何實(shí)數(shù)的概率都為零的變量。 這個(gè)定義有點(diǎn)違背直覺(jué)，因?yàn)樵谌魏螒?yīng)用中，我們這個(gè)定義有點(diǎn)違背直覺(jué)，因?yàn)樵谌魏螒?yīng)用中，我們最終都會(huì)觀測(cè)到一個(gè)隨機(jī)變量取得的某種結(jié)果。這里的最終都會(huì)觀測(cè)到一個(gè)隨機(jī)變量取得的某種結(jié)果。這里的思想是，一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量思想是，一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量X的可能取值如此之多，以的可能取值如此之多，以致我們無(wú)法用正整數(shù)去計(jì)算，因而，邏輯上的一致性就致我們無(wú)法用正整數(shù)去計(jì)算，因而，邏輯上的一致性就要求要求X必須以零概率取每一個(gè)值。必須以零概率取每一個(gè)值

43、。 一、隨機(jī)變量及其概率分布一、隨機(jī)變量及其概率分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 在計(jì)算連續(xù)隨機(jī)變量的概率時(shí)，討論一個(gè)連續(xù)隨機(jī)在計(jì)算連續(xù)隨機(jī)變量的概率時(shí)，討論一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量取某特定值的概率是沒(méi)有意義的，最方便的是使用變量取某特定值的概率是沒(méi)有意義的，最方便的是使用累積分布函數(shù)（累積分布函數(shù)（cumulative distribution function，cdf）。）。設(shè)設(shè)X為任意隨機(jī)變量，它對(duì)任何實(shí)數(shù)為任意隨機(jī)變量，它對(duì)任何實(shí)數(shù)x的的cdf被定義為被定義為 F（x）P（Xx） 對(duì)于一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，對(duì)于一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，F(xiàn)（x）就是概率密度函數(shù)）就是概率密度函數(shù)f之下、點(diǎn)之下、點(diǎn)x以左的面積。因?yàn)?/p>

44、以左的面積。因?yàn)镕（x）就是一個(gè)概率，所）就是一個(gè)概率，所以它總是介于以它總是介于0-1之間。此外，若之間。此外，若x1c）=1-F（c） 2.對(duì)任何兩個(gè)數(shù)對(duì)任何兩個(gè)數(shù)ab，P（ac）和）和 P（aXb）=P（aXb）=P（aXb） =P （a0）也是隨機(jī)變量。）也是隨機(jī)變量。 g（ X ） 的期望值仍然的期望值仍然是一個(gè)加權(quán)平均：是一個(gè)加權(quán)平均： 或者，對(duì)一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，或者，對(duì)一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，1. 1.集中趨勢(shì)的一種度量：期望值集中趨勢(shì)的一種度量：期望值 kjjXjxfxgxgE1 dxxfxgXgEX計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 例例2.2.3：假定：假定X分別以概率分別以概率1/8

45、、1/2和和3/8取值取值-1、0和和2，則：，則： E（X）=（-1）1/8 +0（1/2）+2（3/8）=5/8 對(duì)于例對(duì)于例2.2.3中的隨機(jī)變量，令中的隨機(jī)變量，令g（X）=X2，便有，便有E（ X2 ）= （-1）21/8 +（0）2（1/2）+（2）2（3/8）=13/8例例2.2.4 X2.2.4 X2 2期望值期望值計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)性質(zhì)性質(zhì)1.對(duì)任意常數(shù)對(duì)任意常數(shù)c，E（ c ）= c。性質(zhì)性質(zhì)2.對(duì)任意常數(shù)對(duì)任意常數(shù)a和和b，E（aX+b）=aE（X）+b。性質(zhì)性質(zhì)3.如果如果 是常數(shù)而是常數(shù)而 是隨機(jī)變是隨機(jī)變量，則量，則或者，利用求和符號(hào)，或者，利用求和符號(hào)，作為一個(gè)

46、特例，取每個(gè)作為一個(gè)特例，取每個(gè)aj=1，我們有，我們有因此，因此，和的期望值就是期望值之和和的期望值就是期望值之和。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的推導(dǎo)中。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的推導(dǎo)中常常用到這個(gè)性質(zhì)。常常用到這個(gè)性質(zhì)。2.2. 期望值的性質(zhì)期望值的性質(zhì)n,a,a,a21nXXX， 21nnnnXEaXEaXEaXaXaXaE 22112211kjjjkjjjXEaXaE11kjjkjjXEXE11計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 令令X1，X2和和X3分別為比薩店在某日出售的小、中、大分別為比薩店在某日出售的小、中、大比薩個(gè)數(shù)。這些隨機(jī)變量的期望值是比薩個(gè)數(shù)。這些隨機(jī)變量的期望值是E（X1）=25， E（X2）=57和和E（X3）

47、=40。小、中、大比薩的價(jià)格分別。小、中、大比薩的價(jià)格分別是是5.50、7.60和和9.15美元。因此，該日出售比薩的期望收美元。因此，該日出售比薩的期望收入是入是E（5.5 X1 +7.60 X2 +9.15 X3 ）= 5.50 E（X1）+7.60 E（X2）+9.15 E（X3） =5.525+7.6057+9.1540=936.70即即936.70美元。這不過(guò)是期望收入，具體某一天的實(shí)際收美元。這不過(guò)是期望收入，具體某一天的實(shí)際收入一般都會(huì)有所差異。入一般都會(huì)有所差異。例例2.2.5 2.2.5 求期望收入求期望收入計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 度量集中趨勢(shì)的另一種方法是用度量集中趨勢(shì)的另一

48、種方法是用中位數(shù)（中位數(shù)（median）。若若X是連續(xù)的，則是連續(xù)的，則X的中位數(shù)（比方說(shuō)的中位數(shù)（比方說(shuō)m）就是這樣一個(gè)）就是這樣一個(gè)數(shù)：數(shù)：pdf之下的一半面積在之下的一半面積在m之左，另一半面積在之左，另一半面積在m之右。之右。 當(dāng)當(dāng)X是離散的且取有奇數(shù)個(gè)值時(shí)，中位數(shù)就是按大小是離散的且取有奇數(shù)個(gè)值時(shí)，中位數(shù)就是按大小排序后居中的一個(gè)數(shù)。若排序后居中的一個(gè)數(shù)。若X可能取偶數(shù)個(gè)值，則實(shí)際上有可能取偶數(shù)個(gè)值，則實(shí)際上有兩個(gè)中位數(shù)；有時(shí)取這兩個(gè)數(shù)的平均，便得到唯一的一個(gè)兩個(gè)中位數(shù)；有時(shí)取這兩個(gè)數(shù)的平均，便得到唯一的一個(gè)中位數(shù)。中位數(shù)。 一般而言，中位數(shù)，有時(shí)記為一般而言，中位數(shù)，有時(shí)記為Med

49、（ X ），和期望），和期望值值E（ X ）是不相同的。作為集中趨勢(shì)的度量，不能說(shuō)哪）是不相同的。作為集中趨勢(shì)的度量，不能說(shuō)哪一個(gè)比另一個(gè)更好，兩者都是度量一個(gè)比另一個(gè)更好，兩者都是度量X分布中心的有效方法。分布中心的有效方法。2.2.集中趨勢(shì)的另一種度量：中位數(shù)集中趨勢(shì)的另一種度量：中位數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 盡管一個(gè)隨機(jī)變量的集中趨勢(shì)頗有價(jià)值，但它還不能盡管一個(gè)隨機(jī)變量的集中趨勢(shì)頗有價(jià)值，但它還不能告知我們關(guān)于這個(gè)隨機(jī)變量分布的一切。下圖給出了兩個(gè)告知我們關(guān)于這個(gè)隨機(jī)變量分布的一切。下圖給出了兩個(gè)具有相同均值的隨機(jī)變量的具有相同均值的隨機(jī)變量的pdf。顯然。顯然X的分布比的分布比Y的分布的

50、分布更緊密地集中在其中心周?chē)?。更緊密地集中在其中心周?chē)?.3.變異性的度量：方差與標(biāo)準(zhǔn)差變異性的度量：方差與標(biāo)準(zhǔn)差圖圖2.2.2 有相同均值但不相同分布的隨機(jī)變量有相同均值但不相同分布的隨機(jī)變量fXfY計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量X，令，令= =E（X）。為了度量）。為了度量X離其期離其期望值多遠(yuǎn)，有許多種方法，而最簡(jiǎn)單的一種代數(shù)方法就是望值多遠(yuǎn)，有許多種方法，而最簡(jiǎn)單的一種代數(shù)方法就是用差異的平方（用差異的平方（X-）2。（平方是為了消除距離度量的。（平方是為了消除距離度量的符號(hào)，由此得到的正值符合我們對(duì)距離的直觀認(rèn)識(shí)。）因符號(hào)，由此得到的正值符合我們對(duì)距離的直觀認(rèn)識(shí)

51、。）因這一距離隨這一距離隨X的每一結(jié)果而變，故本身就是一個(gè)隨機(jī)變量。的每一結(jié)果而變，故本身就是一個(gè)隨機(jī)變量。正如我們需要用一個(gè)數(shù)來(lái)總結(jié)正如我們需要用一個(gè)數(shù)來(lái)總結(jié)X的集中趨勢(shì)那樣，我們也的集中趨勢(shì)那樣，我們也需要用一個(gè)數(shù)來(lái)告訴我們需要用一個(gè)數(shù)來(lái)告訴我們X平均而言離平均而言離有多遠(yuǎn)。一個(gè)這有多遠(yuǎn)。一個(gè)這樣的數(shù)就是樣的數(shù)就是方差方差（variance），它告訴我們，它告訴我們X對(duì)其均值的對(duì)其均值的期望距離：期望距離：方差有時(shí)記為方差有時(shí)記為 ，由方程知方差必定非負(fù)。，由方程知方差必定非負(fù)。4.4. 方差方差 2XEXVar2X計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 性質(zhì)性質(zhì)1. 當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)c使得

52、使得P（X=c）=1時(shí)時(shí)此時(shí)此時(shí)E（X）=c，Var（X）=0。 也就是說(shuō)，任何常數(shù)的方差都是零，而且，若一個(gè)隨也就是說(shuō)，任何常數(shù)的方差都是零，而且，若一個(gè)隨機(jī)變量有零方差，則它本質(zhì)上就是常量。機(jī)變量有零方差，則它本質(zhì)上就是常量。 性質(zhì)性質(zhì)2. 對(duì)任意常數(shù)對(duì)任意常數(shù)a和和b，都有，都有 Var（aX+b）=a2Var（X）。 這意味著，把一個(gè)常數(shù)加到一個(gè)隨機(jī)變量上不會(huì)改這意味著，把一個(gè)常數(shù)加到一個(gè)隨機(jī)變量上不會(huì)改變其方差，但用一個(gè)常數(shù)去乘一個(gè)隨機(jī)變量使其方差增大變其方差，但用一個(gè)常數(shù)去乘一個(gè)隨機(jī)變量使其方差增大該常數(shù)的平方倍。例如，若該常數(shù)的平方倍。例如，若X指攝氏溫度，而指攝氏溫度，而Y=3

53、2+（9/5）X為華氏溫度，則為華氏溫度，則Var（Y）=（9/5）2Var（ X ）=（81/25）Var（ X ）方差的兩個(gè)重要性質(zhì)方差的兩個(gè)重要性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 一個(gè)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記為一個(gè)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記為sd（X），就是它的方），就是它的方差的正的平方根：差的正的平方根：sd（X）+ 。標(biāo)準(zhǔn)差有時(shí)又記。標(biāo)準(zhǔn)差有時(shí)又記做做 。標(biāo)準(zhǔn)差有兩個(gè)重要性質(zhì)可從方差的兩個(gè)性質(zhì)中直。標(biāo)準(zhǔn)差有兩個(gè)重要性質(zhì)可從方差的兩個(gè)性質(zhì)中直接推出。接推出。 性質(zhì)性質(zhì)1. 對(duì)任意常數(shù)對(duì)任意常數(shù)c，sd（c）=0 性質(zhì)性質(zhì)2. 對(duì)任意常數(shù)對(duì)任意常數(shù)a和和b，sd（aX+b）=|a|sd（X）特別是，若特別

54、是，若a0，則，則sd（aX）=asd（X）。）。5.5. 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 XVarX計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 作為方差和標(biāo)準(zhǔn)差性質(zhì)的一個(gè)應(yīng)用作為方差和標(biāo)準(zhǔn)差性質(zhì)的一個(gè)應(yīng)用而且本身也是而且本身也是有實(shí)際意義的一個(gè)問(wèn)題有實(shí)際意義的一個(gè)問(wèn)題假如給定隨機(jī)變量假如給定隨機(jī)變量X，我們將，我們將它減去其均值它減去其均值并除以其標(biāo)準(zhǔn)差并除以其標(biāo)準(zhǔn)差，便定義了一個(gè)新的隨，便定義了一個(gè)新的隨機(jī)變量機(jī)變量 Z這又可寫(xiě)為這又可寫(xiě)為Z=aX+b，其中，其中a=（1/）而）而b=-（/）?？桑?。可得：得：E（Z）=aE（X）+b=（/）-（/）=0 Var（Z）=a2Var（X）=2/2 =1因此，隨機(jī)變量因此，隨機(jī)變量Z

55、的均值為零，方差（或者標(biāo)準(zhǔn)差）為的均值為零，方差（或者標(biāo)準(zhǔn)差）為1。這一過(guò)程有時(shí)被稱(chēng)為將隨機(jī)變量這一過(guò)程有時(shí)被稱(chēng)為將隨機(jī)變量X標(biāo)準(zhǔn)化，而標(biāo)準(zhǔn)化，而Z則叫做則叫做標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量（準(zhǔn)化隨機(jī)變量（standardized random variable）。5.5. 標(biāo)準(zhǔn)化一個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化一個(gè)隨機(jī)變量X計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)1. 1.關(guān)聯(lián)度：協(xié)方差與相關(guān)關(guān)聯(lián)度：協(xié)方差與相關(guān) 雖然兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合雖然兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合pdf完整地描述了它們之間完整地描述了它們之間的關(guān)系，但對(duì)于它們大致如何互相變動(dòng)，仍需要一個(gè)扼要的關(guān)系，但對(duì)于它們大致如何互相變動(dòng)，仍需要一個(gè)扼要的度量手段。正如期望值和方差一樣，這類(lèi)

56、似于用一個(gè)數(shù)的度量手段。正如期望值和方差一樣，這類(lèi)似于用一個(gè)數(shù)字來(lái)概括整個(gè)分布的某一方面，現(xiàn)在要概括的便是兩個(gè)隨字來(lái)概括整個(gè)分布的某一方面，現(xiàn)在要概括的便是兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合機(jī)變量的聯(lián)合pdf。四、聯(lián)合與條件分布的特征四、聯(lián)合與條件分布的特征計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 兩個(gè)隨機(jī)變量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量X和和Y之間的之間的協(xié)方差（協(xié)方差（covariance）（有（有時(shí)也叫做總體協(xié)方差，以強(qiáng)調(diào)它考慮的是描述一個(gè)總體的時(shí)也叫做總體協(xié)方差，以強(qiáng)調(diào)它考慮的是描述一個(gè)總體的兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系），被定義為乘積（兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系），被定義為乘積（X-X）（）（Y-Y）的期望值：）的期望值：有時(shí)又記為有時(shí)又記為

57、。若。若 ，則平均而言，當(dāng)，則平均而言，當(dāng)X超過(guò)其均超過(guò)其均值時(shí)，值時(shí)，Y也超過(guò)其均值；若也超過(guò)其均值；若 ，則平均而言，當(dāng)，則平均而言，當(dāng)X超超過(guò)其均值時(shí)，過(guò)其均值時(shí)，Y低于其均值。低于其均值。2.2.協(xié)方差協(xié)方差YXYXEY ,XCovXY0XY0XY計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 計(jì)算計(jì)算 的幾個(gè)有用表達(dá)式如下：的幾個(gè)有用表達(dá)式如下： 協(xié)方差度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間的協(xié)方差度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間的線性相依性（線性相依性（linear dependence）。一個(gè)正的協(xié)方差表示兩隨機(jī)變量同向移動(dòng)，。一個(gè)正的協(xié)方差表示兩隨機(jī)變量同向移動(dòng)，而一個(gè)負(fù)的協(xié)方差則表示兩隨機(jī)變量反向移動(dòng)。而一個(gè)負(fù)的協(xié)方差則表示兩隨機(jī)

58、變量反向移動(dòng)。2.2.協(xié)方差協(xié)方差Y ,XCov YXYXXYYXYXYXYXXYXYXEYXEXEYYXEXYXEYXEY ,XovC計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 性質(zhì)性質(zhì)Cov.1：若：若X和和Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則注意：此性質(zhì)的反命題并不成立：注意：此性質(zhì)的反命題并不成立：X和和Y之間的協(xié)方差為之間的協(xié)方差為零并不意味著零并不意味著X和和Y相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 性質(zhì)性質(zhì)Cov.2：對(duì)任意常數(shù)：對(duì)任意常數(shù)a1，b1，a2和和b2，都有，都有此性質(zhì)的重要含義在于，兩個(gè)隨機(jī)變量之間的協(xié)方差會(huì)因此性質(zhì)的重要含義在于，兩個(gè)隨機(jī)變量之間的協(xié)方差會(huì)因?yàn)閷烧呋蛘邇烧咧怀艘砸粋€(gè)常數(shù)倍而改變。這在經(jīng)濟(jì)為將兩

59、者或者兩者之一乘以一個(gè)常數(shù)倍而改變。這在經(jīng)濟(jì)學(xué)中之所以重要，是因?yàn)橹T如貨幣變量和通貨膨脹率等，學(xué)中之所以重要，是因?yàn)橹T如貨幣變量和通貨膨脹率等，都可使用不同的度量單位進(jìn)行定義而不改變其實(shí)質(zhì)。都可使用不同的度量單位進(jìn)行定義而不改變其實(shí)質(zhì)。協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì)0YXCov，Y ,XCovaabYa ,bXaovC212211計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 最后，知道任何兩隨機(jī)變量之協(xié)方差的絕對(duì)值肯定不最后，知道任何兩隨機(jī)變量之協(xié)方差的絕對(duì)值肯定不會(huì)超過(guò)它們的標(biāo)準(zhǔn)差之積也有用處，此即著名的會(huì)超過(guò)它們的標(biāo)準(zhǔn)差之積也有用處，此即著名的柯西柯西-施施瓦茨不等式（瓦茨不等式（Cauchy-Schwartz ine

60、quality）。 性質(zhì)性質(zhì)COV.3協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì) YsdXsdY ,XovC計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 假定我們想知道勞動(dòng)總體中受教育程度和年薪之間的假定我們想知道勞動(dòng)總體中受教育程度和年薪之間的關(guān)系，我們就可令關(guān)系，我們就可令X代表教育，代表教育，Y代表薪水，然后計(jì)算它代表薪水，然后計(jì)算它們的協(xié)方差。然而我們得到的答案卻取決于教育和薪水的們的協(xié)方差。然而我們得到的答案卻取決于教育和薪水的度量單位。協(xié)方差性質(zhì)度量單位。協(xié)方差性質(zhì)Cov.2意味著，教育和薪水之間的意味著，教育和薪水之間的協(xié)方差，視薪水是以美元還是以千美元度量或者教育是以協(xié)方差，視薪水是以美元還是以千美元度量或者教育是以月