高中數學選修44第一講1

1、系系標標坐坐第一講第一講 .,.,何問題的坐標系何問題的坐標系這就是研究幾這就是研究幾系系質及其他幾何圖形的關質及其他幾何圖形的關的性的性通過方程研究它通過方程研究它建立它的方程建立它的方程適當的坐標系適當的坐標系選擇選擇根據幾何對象的特征根據幾何對象的特征現了數與形的結合現了數與形的結合從而實從而實系系、曲線與方程建立了聯、曲線與方程建立了聯有序實數對有序實數對平面上的點與坐標平面上的點與坐標通過直角坐標系通過直角坐標系我們知道我們知道.,.,.,方便方便標系和球坐標系會更加標系和球坐標系會更加用極坐標系、柱坐用極坐標系、柱坐時時立某些幾何圖形的方程立某些幾何圖形的方程在建在建需要建立不同坐

2、標系需要建立不同坐標系何圖形何圖形方法研究幾方法研究幾數數為便于用代為便于用代不方便不方便建立幾何圖形的方程并建立幾何圖形的方程并有時在直角坐標系下有時在直角坐標系下的復雜性的復雜性由于實現問題由于實現問題.的過程的過程決實際問題決實際問題系中解系中解標標下面我們先回顧直角坐下面我們先回顧直角坐平面直角坐標系平面直角坐標系一一平面直角坐標系平面直角坐標系1信息中心信息中心觀觀測測點點觀觀測測點點觀觀測測點點.),/.(.,:上上各各觀觀測測點點均均在在同同一一平平面面假假定定聲聲音音傳傳播播速速度度為為試試確確定定巨巨響響發(fā)發(fā)生生的的位位置置離離都都是是已已知知各各測測點點到到中中心心的的距距

3、們們晚晚它它聽聽到到巨巨響響的的時時間間比比正正東東觀觀測測點點一一聲聲巨巨響響兩兩個個觀觀測測點點同同時時聽聽到到北北西西、正正正正告告的的報報正正北北方方向向三三個個觀觀測測點點西西、到到位位于于正正東東、正正某某信信息息中中心心接接思思考考smms34010204;|,|,.,上上線線的垂直平分的垂直平分在線段在線段說明點說明點因此因此發(fā)出的響聲發(fā)出的響聲同時聽到由點同時聽到由點由于由于將三個觀測點記為將三個觀測點記為如圖如圖lBCPPCPBPCBCBA 11.,|,|,的的交交點點與與雙雙曲曲線線就就是是直直線線點點所所以以上上曲曲線線為為焦焦點點的的雙雙在在以以點點說說明明點點因因此

4、此晚晚聽聽到到響響聲聲的的時時間間比比由由于于lPBAPABPBPAsCBA 136034044.,的的位位置置具具體體確確定定點點標標系系通通過過建建立立適適當當的的直直角角坐坐征征下下面面利利用用問問題題的的幾幾何何特特P?能能有有利利于于解解決決這這個個問問題題怎怎樣樣建建立立直直角角坐坐標標系系才才思思考考ABCPl信息中心信息中心11 圖圖ABCPxyOl21 圖圖.,的的坐坐標標便便解解方方程程組組求求點點以以的的方方程程簡簡單單和和雙雙曲曲線線系系的的選選取取應應盡盡量量使使直直線線直直角角坐坐標標因因此此線線的的交交點點與與雙雙曲曲是是直直線線由由于于點點PllP.,立直角坐標

5、系建軸為直線原點以信息中心為如圖xBAO21 11020001020010202222 byaxxylCBA的方程為雙曲線的方程為直線于是.,的坐標分別為點由已知CBA, .,13405680340568010201020680002222222222 yxacbcaba為的方程雙曲線所以于是由已知得ABCPxyOl21 圖圖.,56805680 yxxy解得代入上述方程將的坐標為所以點左半支響聲應在雙曲線由已知P, .|.,mPO1068056805680 從而.,處距離方向北巨響在信息中心的西偏故m10680450?.,哪種方法更方便哪種方法更方便你認為你認為系系的位置有什么區(qū)別和聯的位置

6、有什么區(qū)別和聯刻畫點刻畫點這種方法與用直角坐標這種方法與用直角坐標的位置的位置刻畫了點刻畫了點用角和距離用角和距離我們以信息中心為基點我們以信息中心為基點思考思考PP.現現了了坐坐標標法法思思想想上上述述問問題題的的解解決決充充分分體體.,的的位位置置關關系系與與平平面面直直角角坐坐標標系系探探究究建建立立適適當當的的上上的的中中線線分分別別為為邊邊滿滿足足的的三三邊邊已已知知例例CFBEABACCFBEacbcbaABC22251 )(AOBCEFxy31 圖圖.,的的位位置置關關系系與與探探究究通通過過觀觀察察操操作作打打開開的的幾幾何何畫畫板板CFBE.,建立直角坐標系軸線為所在的直邊為

7、原點點的頂以如圖解xABOAABC31 ,.,yxCcFcBFBA的坐標為設點為的坐標分別點由已知 02000., 22yxE的坐標為則點)(AOBCEFxy31 圖圖.,cxykxcykCFBECFBE 222斜率分別為所在直線的與線段 ,|,22222222222555ycxcyxBCABACacb 即可得由 .xccxy 2222整理得. 1 CFBEkk所以.,互相垂直與因此CFBE?,?些些什什么么立立直直角角坐坐標標系系時時應應注注意意為為建建你你認認程程題題的的過過問問直直角角坐坐標標系系下下解解決決不不同同的的比比較較問問題題嗎嗎決決直直角角坐坐標標系系解解不不同同的的你你能能

8、建建立立與與上上述述解解答答中中探探究究縮變換縮變換平面直角坐標系中的伸平面直角坐標系中的伸2.,些些問問題題我我們們研研究究過過下下面面一一中中在在三三角角函函數數圖圖象象的的學學習習 ?sinsinxyxy21 得得到到曲曲線線怎怎樣樣由由正正弦弦曲曲線線 .sinsin,sin,xyxyxyxPxy22141 就就變變成成曲曲線線正正弦弦曲曲線線那那么么縮縮為為原原來來的的將將橫橫坐坐標標持持縱縱坐坐標標不不變變保保取取一一點點上上任任曲曲線線在在正正弦弦如如圖圖.,觀看演變過程觀看演變過程打開幾何畫板打開幾何畫板41 圖圖2 1 12345611-xyOPPsinxy sin2xy ?

9、,的實質是什么的實質是什么來的來的縮為原縮為原將橫坐標將橫坐標不變不變保持縱坐標保持縱坐標你認為你認為發(fā)發(fā)系中的點的對應關系出系中的點的對應關系出標標角坐角坐從平面直從平面直思考思考21xy, ,換換變變縮縮是一個坐標壓是一個坐標壓縮為原來的縮為原來的將橫坐標將橫坐標變變不不保持縱坐標保持縱坐標實際上實際上21xy.,yyxx 21 1 .坐坐標標壓壓縮縮變變換換個個一一的的中中系系標標坐坐角角直直平平面面式式叫叫做做把把我我們們1 那么那么得到點得到點的的縮為原來縮為原來將橫坐標將橫坐標不變不變縱坐標縱坐標保持保持標系中的任意一點標系中的任意一點, ,yxPxy21 是平面直角坐是平面直角坐

10、即設即設yxP, ?sinsinxyxy32 得到曲線得到曲線怎樣由正弦曲線怎樣由正弦曲線 .sinsin,sin,xyxyyxyxPxy3351 就就變變成成曲曲線線那那么么正正弦弦曲曲線線倍倍伸伸長長為為原原來來的的將將縱縱坐坐標標不不變變保保持持橫橫坐坐標標上上任任取取一一點點在在正正弦弦曲曲線線如如圖圖.sinsin,的的過過程程變變換換為為曲曲線線觀觀察察由由曲曲線線利利用用幾幾何何畫畫板板xyxy3 2468102-4-6-1-2-3-321Oxy51 圖圖sinxy 3sinxy PP?,的實質是什么的實質是什么倍倍伸長為原來的伸長為原來的將縱坐標將縱坐標不變不變保持橫坐標保持橫

11、坐標你認為你認為發(fā)發(fā)出出系系關關應應對對點的點的的的中中從平面直角坐標系從平面直角坐標系思考思考3yx即即換換變變的伸長的伸長是一個坐標是一個坐標倍倍的的伸長為原來伸長為原來將縱坐標將縱坐標變變不不保持橫坐標保持橫坐標實際上實際上, ,3yx 那那么么得得到到點點倍倍的的伸伸長長為為原原來來標標將將縱縱坐坐不不變變持持橫橫坐坐標標, ,yxPyx3 是平面直角坐標是平面直角坐標設設yxP,保保標系中的任意一點標系中的任意一點,.,yyxx3 2 .個個坐坐標標伸伸長長變變換換一一的的中中系系標標坐坐角角面面直直平平式式叫叫做做把把我我們們2 ?sinsinxyxy231 得得到到曲曲線線怎怎樣

12、樣由由正正弦弦曲曲線線 .sinsin,;,: ,xyxyxy233216121 得得到到曲曲線線線線就就可可以以由由正正弦弦曲曲倍倍來來的的礎礎上上再再將將縱縱坐坐標標變變?yōu)闉樵谠诖舜嘶s縮為為原原來來的的將將橫橫坐坐標標不不變變持持縱縱坐坐標標先先保保如如圖圖合合成成的的這這是是上上述述實實際際上上換實驗換實驗板作伸縮變板作伸縮變利用幾何畫利用幾何畫61 圖圖123-32-1-Oxy5 .的坐標伸縮變換的坐標伸縮變換中中系系坐標坐標角角平面直平面直式叫做式叫做把把我們我們3y61 圖圖123-32-1-Ox5 ., ,yyxxyxPyxP321 那么那么后變?yōu)辄c后變?yōu)辄c變換變換述述過

13、上過上經經點點意一意一任任中的中的系系標標角坐角坐直直設平面設平面一樣一樣討論討論述述與上與上 3中中坐坐標標伸伸縮縮變變換換的的定定義義系系下下面面給給出出平平面面直直角角坐坐標標 .,.sinsin,.,.表表示示伸伸縮縮變變換換來來用用坐坐標標縮縮變變換換可可以以形形的的伸伸平平面面圖圖因因此此變變換換為為正正弦弦曲曲線線作作用用下下的的在在伸伸縮縮變變換換如如例例平平面面圖圖形形的的伸伸縮縮可可以以實實現現的的作作用用下下在在它它們們換換標標伸伸縮縮變變都都是是坐坐上上述述xyxy233321 平平面面直直.,簡簡稱稱伸伸縮縮變變換換換換變變角角坐坐標標系系中中的的坐坐標標伸伸縮縮 為為稱稱點點對對應應到到點點的的作作用用下下在在變變換換意意一一點點中中任任角角坐坐標標系系直直是是平平面面設設點點定定義義, ,.,yxPyxPyyxxyxP00 : .;,.,12032132222 yxyxyyxx過過伸伸縮縮變變換換經經應應的的圖圖形形對對所所列列方方程程求求下下系系中中標標在在直直角角坐坐例例.后后的的圖圖形形 由伸縮變換解1yyxx32 ,.,0032 yxyx形的方程是變換后的圖經過伸縮得到代入.,0032 yxyx線變成直直線經過伸縮變換后所以得到. , yyxx3121 .,19412